第二章 常用逻辑用语（B卷•能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第一册）

第二章 常用逻辑用语  能力提升测试

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　)

A．{1}   B．{4} 

C．{1,3}   D．{1,4}

【答案】D

【详解】由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．

2．已知命题p：∀x>0，x2≥2，则它的否定为(　　)

A．∀x>0，x2<2   B．∀x≤0，x2<2

C．∃x≤0，x2<2   D．∃x>0，x2<2

[解析]D

3．下列命题中，存在量词命题的个数是(　　)

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；

③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．0   B．1

C．2   D．3

[答案]　B

[解析]命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．

4．已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简p，根据充分不必要条件的定义列不等式求的范围.

【详解】由可得∴  ：

又p是q的充分不必要条件，且q：，∴   ∴ 

故选：A.

5．下列命题是存在量词命题的是(　　)

A．一次函数的图象都是上升的或下降的

B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0

C．存在实数大于或者等于3

D．菱形的对角线互相垂直

[答案]　C

[解析]　选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．

6．下列存在量词命题中，是假命题的是(　　 )

A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0

B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除

C．有的三角形没有外接圆

D．某些四边形不存在外接圆

[答案]　C

[解析]A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题．只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C.

7．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

[答案]　A

[解析]　因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

8．“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A．

【详解】a2＋(b－1)2＝0⇒a＝0且b＝1，而a(b－1)＝0⇒a＝0或b＝1，

故“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的充分不必要条件．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知A、B为实数集R的非空集合，则A⫋B的必要不充分条件可以是（　　）

A．A∩B＝A B．A∩∁RB＝∅ C．∁RB⫋∁RA D．B∪∁RA＝R

【答案】ABD

【分析】

根据集合之间的关系和必要不充分条件的定义即可判断．

【详解】

解：因为A⫋B⇔∁RB⫋∁RA，所以∁RB⫋∁RA是A⫋B的充分必要条件，

因为A⫋B⇒A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∩∁RB＝∅⇔B∪∁RA＝R，

故选：ABD．

10．设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】

利用充分条件，必要条件和充要条件的定义判断.

【详解】

电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；

电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；

电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；

电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．

故选：BD．

11．下列各题中，p是q的充要条件的有（　　）

A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分 

B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例 

C．p：xy＞0；q：x＞0，y＞0 

D．p：x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根；q：a+b+c＝0（a≠0）

[解析]四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，故p不是q的充要条件；

两个三角形相似与两个三角形三边成比例可以互相推导，故p是q的充要条件；

xy＞0不能推出x＞0，y＞0，可能x＜0，y＜0，故p不是q的充要条件；

x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，将1代入方程可得a+b+c＝0，

当a+b+c＝0时，c＝﹣a﹣b代入方程ax2+bx+c＝0得ax2+bx﹣a﹣b＝（ax+a+b）（x﹣1）＝0，解得x＝1，故p是q的充要条件；

故选：BD．

12．下列结论正确的是（　　）

A．“x2＞1”是“x＞1”的充分不必要条件 

B．设M⫋N，则“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件 

C．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件 

D．“a＞1且b＞1”是“a+b＞2且ab＞1”的充分必要条件

[解析]A中，由“x2＞1”，不能推出“x＞1，不满足充分性，由“x＞1”可得“x2＞1”，满足必要性，

故A错误；

B中，由M⫋N，则“x∉N”可以推导“x∉M”，但“x∉M”不能推导“x∉N”，故“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件，故B正确；

C中，由“a，b都是偶数”得到“a+b是偶数”，当a+b是偶数，a，b可能都是奇数，故“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，故C正确；

D中，由“a＞1且b＞1”推导“a+b＞2且ab＞1”，而“a+b＞2且ab＞1”，取a＝3，b，

不满足“a＞1且b＞1”，“a＞1且b＞1”是“a+b＞2且ab＞1”的充分必不要条件，故D不正确．

故选：BC．

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

[解析]因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以或

解得m≥9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．

14．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．

[解析]由于A＝{x|0＜x＜1}，所以AB，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．

15．给出下列四个命题：

①y＝⇔xy＝1；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．

其中全称量词命题是________．

[解析]　①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．

16．已知α，β是实数，给出三个论断：

①|α＋β|＝|α|＋|β|；

②|α＋β|>5；

③|α|>，|β|>.

以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________.

【答案】①③⇒②

【分析】根据绝对值的性质判断或举反例说明．

【详解】①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5，

若①②成立，如，但③不成立，

若②③成立，如，但①不成立．

故答案为：①③⇒②．

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．

[解析]∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，

又“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，∴B⫋A.

当B＝∅时，得a＝0；

当B≠∅时，由题意得B＝{1}或B＝{2}．

则当B＝{1}时，得a＝1；当B＝{2}时，得a＝.

综上所述，实数a组成的集合是.

18、已知，.

（I）是否存在m，使得p是q的充要条件？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由：

（II）从下面三个条件中任选一个，求m的取值范围.

①p是q的必要条件  ②q是p的充分条件   ③是的充分条件

【答案】（I）不存在，理由见解析；（II）

【分析】

（I）求出不等式的等价条件，结合充要条件的定义建立方程进行求解即可；

（II）根据所选条件，利用集合的子集关系进行求解即可.

【详解】

解：（I）由，

解得：，

若p是q的充要条件，

则，

即，此时方程组无解，

即不存在，使p是q的充要条件；

（II）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，

若选①，p是q的必要条件，

则，

当时，，

即成立；

当时，且，

解得：，

综上所述：；

若选择②，q是p的充分条件，

则，

当时，，

即成立；

当时，且，

解得：，

综上所述：；

若选择③，是的充分条件，

即q是p的充分条件，

则，

当时，，

即成立；

当时，且，

解得：，

综上所述：.

19．命题，使得成立.若是真命题，求实数的取值范围。

【答案】

【详解】命题，使得成立.若是真命题

则命题的否定为：，使得成立，为假命题.

所以在上恒成立，

由，当且仅当时取得等号.

所以 ，所以

20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．

（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）（2，3）；（2）（1，2]．

【分析】

先由p、q分别解出对应的不等式：

（1）若a＝1，且p∧q为真，取交集，求出x的范围；

（2）由p是q的必要不充分条件，得到两个解集的包含关系，求出a的范围.

【详解】

解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．

命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．

（1）a＝1时，p：1＜x＜3．

p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．

实数x的取值范围是（2，3）．

（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，又a＞0，解得1＜a≤2．

∴实数a的取值范围是（1，2]．

21．已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．

[解析]①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，

∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，

∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0.∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.

综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．

22、∃a∈Z，使关于x的分式方程＋＝4的解为正数，且∀y＜－2，关于y的不等式组成立．求符合条件的a的值．

[解析]分式方程＋＝4的解为x＝且a≠2，∵关于x的分式方程＋＝4的解为正数，∴＞0且a≠2，∴a＜6且a≠2.

解不等式①，得y＜－2；解不等式②，得y≤a.

∵关于y的不等式组的解集为y＜－2，∴a≥－2.∴－2≤a＜6且a≠2.

∵a为整数，∴a＝－2，－1,0,1,3,4,5.