苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数单元测试达标测试

第四章 指数与对数  能力提升测试

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．化简 (a>0)等于（       ）

A．6a B．－a

C．－9a D．9a2

【答案】C

【点拨】根据指数运算法则进行运算.

【详解】

故选：C

2．已知，，化简得（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由题意：，

故选：B

3．已知，那么用表示是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】因为，所以

所以==，

故选：A．

4．已知，，则（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】根据题意得，

，

因为，所以.

故选：D.

5．若，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【点拨】将已知等式条件两边平方可得，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值.

【详解】由题设，，即，

又，且，

所以.

故选：A.

6. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】，

，

．

故选：B．

7．（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【点拨】根据对数的运算算出结果即可.

【详解】，

故选：A

8．已知，均为正实数，若，，则（    ）

A．或2 B． C． D．1

【答案】AD

【解析】令，则，

所以，即，

解得或，即或，所以或，

因为，代入得或，

所以，或，，

所以或.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A.  B. （）

C. （） D. （）

【答案】CD

【解析】对于选项A，因为（），而（），故A错误；

对于选项B，因为（），故B错误；

对于选项C，（），故C正确；

对于选项D，（），故D正确．

故选:CD

10．若，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：AD.

11. 下列运算（化简）中正确的有（       ）．

A．

B．

C．

D．

【答案】ABD

【点拨】根据指数幂的运算法则逐一验证即可

【详解】对于A：，故A正确；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确；

故选：ABD

12．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】正数满足，令（），

则，，，

对A，，故A正确；

对B，，

，，所以，

，所以，

所以，故B错误；

先判断D，由于，

由两边平方整理可得：，故D正确；

对C，由D知，可得，故C正确.

故选：ACD.

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知，，则______．

【答案】

【点拨】利用分数指数幂将问题转化为有已知有关，再代入可求解.

【详解】因为，，

所以．

故答案为：

14. ___．

【答案】

【点拨】本题考查指数对数的运算，只需熟悉常用的对数运算性质和指数运算性质，逐一运算即可.

【详解】

＝9

．

故答案为：102.

15.已知，则的值为___________．

【答案】

【解析】因为，所以，

所以.

故答案为：

16.若，，且，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】因为，

所以

，所以 ，即

所以

当且仅当，即，此时时取等号

所以最小值为

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、化简：

（1）

（2）

【答案】（1）    （2）2

【解析】（1）原式

（2）

18、（1）计算：；

（2）已知，试用，表示．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式．

（2）．

19． 求下列各式的值；

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【点拨】分析：（1）利用 进行化简，求得答案；

（2）先将式子和化成完全平方式，再化简，即得答案.

【解析】(1)= ．

(2)原式=

因为，所以，

当，即时，

当，即时，,

所以.

20．（1）计算

（2）化简：.

【答案】（1）；（2）

【点拨】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）化根式为分数指数幂，运用指数的云算法化简求值.

【详解】（1）

；

（2）原式.

21．已知集合，集合．记集合中最小元素为，集合中最大元素为．

(1)求及，的值；

(2)证明：函数在上单调递增；并用上述结论比较与的大小．

【答案】(1)，，；

(2)证明见解析，

【点拨】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出；

（2）根据单调性的定义即可证明函数在上单调递增，再根据单调性以及对数的性质即可比较出大小．

【详解】（1）因为，所以，，即．因为，所以，．

（2）设为上任意两个实数，且，则，，，即，所以在上单调递增．所以，所以．

22、

（1）当时，解关于x的方程；

（2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围；

（3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围

【答案】（1）；（2）或；（3）

【点拨】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验.

【详解】（1）∵

∴

∴

（2）对数有意义，则，解得：或，

所以实数x的取值范围为或；

（3）

即

=①

方程两边同乘x得：

即②

当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求

当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求

当且时方程②的解为或，

若是方程①的解，则，即

若是方程①的解，则，即

则要使方程①有且仅有一个解，则

综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是