初中数学人教版九年级上册21.2.2 公式法巩固练习

21.2.2  公式法（1）

判别一元二次方程根的情况

    教学内容

    用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．

    教学目标

    掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．

    通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．

    重难点关键

    1．重点：b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．

    2．难点与关键

    从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．

    教具、学具准备

    小黑板

    教学过程

    一、复习引入

    （学生活动）用公式法解下列方程．

    （1）2x2-3x=0    （2）3x2-2x+1=0    （3）4x2+x+1=0

    老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根

    二、探索新知

    从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：

    求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．

    因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．

    （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．

    （3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．

    例1．不解方程，判定方程根的情况

    （1）16x2+8x=-3    （2）9x2+6x+1=0

    （3）2x2-9x+8=0    （4）x2-7x-18=0

    分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．

    解：（1）化为16x2+8x+3=0

    这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0

    所以，方程没有实数根．

    （2）a=9，b=6，c=1，

    b2-4ac=36-36=0，

    ∴方程有两个相等的实数根．

    （3）a=2，b=-9，c=8

    b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0

    ∴方程有两个不相等的实根．

    （4）a=1，b=-7，c=-18

    b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0

    ∴方程有两个不相等的实根．

    三、巩固练习

    不解方程判定下列方程根的情况:

    （1）x2+10x+26=0        （2）x2-x-=0

    （3）3x2+6x-5=0          （4）4x2-x+=0

    （5）x2-x-=0        （6）4x2-6x=0

    （7）x（2x-4）=5-8x

    四、应用拓展

    例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

    分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．

    解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．

    ∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

    a<-2

    ∵ax+3>0即ax>-3

    ∴x<-

    ∴所求不等式的解集为x<-

    五、归纳小结

    本节课应掌握：

    b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0  一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．

    六、布置作业

    1．教材P46  复习巩固6  综合运用9  拓广探索1、2．

    2．选用课时作业设计．

            第五课时作业设计

    一、选择题

    1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（  ）．

    A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解

    B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解

    C．∵b2-4ac=8，∴方程有解

    D．∵b2-4ac=8，∴方程无解

    2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（  ）．

    A．a=0     B．a=2或a=-2

    C．a=2     D．a=2或a=0

    3．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（  ）．

    A．k≠2     B．k>2     C．k<2且k≠1    D．k为一切实数

    二、填空题

    1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．

    2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．

    3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）=0的根的情况是________．

    三、综合提高题

    1．不解方程，试判定下列方程根的情况．

    （1）2+5x=3x2    （2）x2-（1+2）x++4=0

    2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．

    3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．

    4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．

答案:

一、1．B  2．B  3．D

二、1．p2-4q=0  2．有两个不等实根  3．有两个不等实根

三、

1．（1）化为3x2-5x-2=0  b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0，有两个不等实根．

（2）b2-4ac=1+4+12-4-16=-3<0，没有实根．

2．∵c<0  ∴b2-4×1×c>0，方程有两个不等的实根．

3．b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，

∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．

4．设平均增长率为x，（1+x）2=720000000，

即50（1+x）2=72  解得x=20%，

∴年销售总额的平均增长率是20%．