2023年四川省泸州市泸县第五中学中考数学二模试卷

这是一份2023年四川省泸州市泸县第五中学中考数学二模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省泸州市泸县五中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．化简|﹣|的结果是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
2．如左图所示的几何体，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，在图中依次是“福、禄、寿、喜、财”五个字的艺术剪纸，若将这五张图片打乱顺序后全部装入一个不透明的盒子中，从中随机抽取一张，抽到的图案中的文字是中心对称图形的概率是（　　）

A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．（a5）2＝a7 B．3x﹣2x＝1
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．﹣＝
5．东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：85，87，89，90，85，92，90．则这组数据的中位数为（　　）
A．85 B．90 C．89 D．87
6．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
7．设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根，则的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023
8．如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
9．如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，当k1x≤时，x的取值范围是（　　）

A．﹣1≤x＜0或x≥1 B．x≤﹣1或0＜x≤1
C．x≤﹣1或x≥1 D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1
10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC＝BD，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（　　）

A． B． C．2 D．1
11．如图，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，点P是AC延长线上一动点，PM⊥BC边与点M，PN⊥AB边与点N，连接MN，则MN的最小值为（　　）

A． B． C． D．
12．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a﹣2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，﹣1），N（x2，﹣1），若MN的长不小于2，则a的取值范围是（　　）
A．a≥ B．0＜a≤ C．﹣≤a＜0 D．a≤﹣
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是 　 　．
14．已知方程组中，x，y的值相等，则m＝　 　．
15．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为 　 　．
16．△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接EC并延长交BD于点P．若，则的值为 　 　．

三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
18．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF．求证：AE＝CF．

19．化简：．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．根据教育部印发《规定》，“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h．

请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数是 　 　人；
（2）请根据题中的信息补全频数分布直方图；
（3）D组对应扇形的圆心角为 　 　°；
（4）本次调查数据的中位数落在 　 　组内；
（5）若我市约有160000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少．

21．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）
参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75


23．已知反比例函数y＝与一次函数y＝kx+5（k≠0），一次函数的图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）当k＝﹣1时，如图，设直线y＝kx+5与双曲线y＝的两个交点为A、B（B在A的右边），求△OAB的面积；
（2）若直线y＝kx+5与双曲线y＝总有两个不同的交点，求k的取值范围；
（3）若直线y＝kx+5与双曲线y＝交于不同的两点M（x1，y1）、N（x2，y2），且满足|x1﹣x2|＝7，求k的值．

六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，求∠E的度数．
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD＝，求AD的长．

25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．




参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．化简|﹣|的结果是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数即可求解．
解：化简|﹣|的结果是．
故选：C．
【点评】考查了绝对值，关键是熟练掌握绝对值的性质．
2．如左图所示的几何体，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
解：从几何体的上面看可得图形如下：
．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，在图中依次是“福、禄、寿、喜、财”五个字的艺术剪纸，若将这五张图片打乱顺序后全部装入一个不透明的盒子中，从中随机抽取一张，抽到的图案中的文字是中心对称图形的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】从中随机抽取一张共有5种等可能结果，其中抽到的图案中的文字是中心对称图形的有3种结果，再根据概率公式求解即可．
解：从中随机抽取一张共有5种等可能结果，其中抽到的图案中的文字是中心对称图形的有3种结果，
所以从中随机抽取一张，抽到的图案中的文字是中心对称图形的概率为，
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数和中心对称图形的概念．
4．下列计算正确的是（　　）
A．（a5）2＝a7 B．3x﹣2x＝1
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．﹣＝
【分析】根据二次根式的加减法则对各选项进行解答即可．
解：A、（a5）2＝a10，原计算错误，不符合题意；
B、3x﹣2x＝x，原计算错误，不符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，原计算错误，不符合题意；
D、﹣＝3﹣2＝，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，涉及到合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键．
5．东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：85，87，89，90，85，92，90．则这组数据的中位数为（　　）
A．85 B．90 C．89 D．87
【分析】将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
解：将这组数据重新排列为：85，85，87，89，90，90，92，
所以这组数据的中位数为89．
故选：C．
【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据平角的定义求得∠3的度数，然后利用平行线的性质求得∠2的度数．
解：如图，
∵∠1＝60°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝30°
∴∠2＝∠3＝30°．
故选：A．

【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
7．设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根，则的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023
【分析】根据根与系数的关系得出a+b＝﹣1，再根据分式的除法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
解：因为a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得：a+b＝﹣1，
∴＝a+b＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系和求代数式的值，能根据根与系数的关系得出a+b＝﹣1是解此题的关键．
8．如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据点P运动路径分段写出△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数关系式即可．
解：∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠PEC＝∠D＝90°，
∴△PCE∽△CAD，
∴＝＝，
∵AD＝3，CD＝4，
∴AC＝＝5，
∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，
PE＝＝x，
CE＝＝x，
∴y＝PE•CE＝＝x2，
当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，
PE＝CD＝4，
CE＝8﹣x，
∴y＝PE•CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，
综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的性质，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
9．如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，当k1x≤时，x的取值范围是（　　）

A．﹣1≤x＜0或x≥1 B．x≤﹣1或0＜x≤1
C．x≤﹣1或x≥1 D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1
【分析】根据反比例函数的对称性求得B点的坐标，然后根据图象即可求得．
解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，
∴B（﹣1，﹣m），
由图象可知，当k1x≤时，x的取值范围是﹣1≤x＜0或x≥1，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数的对称性求得B点的坐标，以及数形结合思想的运用是解题的关键．
10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC＝BD，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（　　）

A． B． C．2 D．1
【分析】根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
解：∵AB为⊙O的直径，BC＝BD，
∴，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，AC＝2，
∴AE＝AC•cos∠BAC＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝4，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，点P是AC延长线上一动点，PM⊥BC边与点M，PN⊥AB边与点N，连接MN，则MN的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点C作CH⊥AB，根据已知条件求出AB的长度，再根据PM⊥BCPN⊥AB，得出点P，M，N，B四点共圆，从而把MN的最小转化为PB的最小，然后通过设未知数的方法，求出PB2的二次函数表达式，利用公式x＝﹣时取得最小值，通过PB取最小值时，PN与NB的数量关系，进行计算即可．
解：过点C作CH⊥AB，
∵∠A＝30°，AC＝8，
∴CH＝4，AH＝4，
∵∠B＝45°，
∴BH＝CH＝4，
∴AB＝4+4，
连接PB，取PB的中点Q，连接MQ，QN，
∵PM⊥BCPN⊥AB，
∴点P，M，N，B四点共圆，点Q为圆心，
∵∠B＝45°，
∴∠MQN＝2∠B＝90°，
∴MN＝QN，
∵PB＝2QN，
∴MN＝PB，
∴当PB最小时，MN最小，
设PN＝x，
∵∠A＝30°，
∴PA＝2x，AN＝x，
∴BN＝4+4﹣x，
∵PB2＝PN2+NB2，
∴PB2＝x2+（4+4﹣x）2＝4x2﹣（8+24）x+64+32，
∵4＞0，
∴当x＝＝+3时，即PN＝+3时，PB2有最小值，
此时BN＝4+4﹣x＝+1，
∴PN＝BN，
∴PB＝2BN＝2+2，
∴MN＝×（2+2）＝+，
故选：A．

【点评】本题考查勾股定理以及二次函数的应用，关键是找出点P，M，N，B四点共圆，从而把MN的最小转化为PB的最小．
12．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a﹣2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，﹣1），N（x2，﹣1），若MN的长不小于2，则a的取值范围是（　　）
A．a≥ B．0＜a≤ C．﹣≤a＜0 D．a≤﹣
【分析】由于抛物线所经过的M、N两点的纵坐标为﹣1，说明抛物线与直线y＝﹣1有两个交点，则x1，x2是方程ax2+2ax+3a﹣2＝﹣1有两个不相等的根，由根与系数的关系求得|x1﹣x2|便为MN的长度，再根据MN的长不小于2，列出a的不等式求得a的取值范围，再结合方程根的判别式与解的情况的关系求得a的取值范围，便可得出最后结果．
解：令y＝﹣1，得y＝ax2+2ax+3a﹣2＝﹣1，
化简得，ax2+2ax+3a﹣1＝0，
∵二次函数y＝ax2+2ax+3a﹣2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，﹣1），N（x2，﹣1），
∴△＝4a2﹣12a2+4a＝﹣8a2+4a＞0，
∴0＜a＜，
∵ax2+2ax+3a﹣1＝0，
∴x1+x2＝﹣2，，
∴，
即MN＝，
∵MN的长不小于2，
∴≥2，
∴a≤，
∵0＜a＜，
∴0＜a≤，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，关键是用根与系数的关系求出|x1﹣x2|的值．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是 　m＜2　．
【分析】根据反比例函数的图象的一个分支在第二象限，可得m﹣2＜0，解不等式即可求解．
解：∵反比例函数的图象的一个分支在第二象限，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2．
故答案为：m＜2．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
14．已知方程组中，x，y的值相等，则m＝　4　．
【分析】把y＝x代入方程组计算即可求出m的值．
解：根据题意得：y＝x，
代入方程组得：，
解得：，
则m＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为 　2　．
【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把+＝x12+2x2﹣1变形再整体代入可得＝4﹣k，解出k的值，并检验即可得k＝2．
解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵+＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，从而根据已知得到关于k的方程，注意最后要由求得的k值检验原方程是否有实数根．
16．△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接EC并延长交BD于点P．若，则的值为 　　．

【分析】设BC＝x，AB＝5x，根据勾股定理得到AC＝＝4x，根据旋转的性质得到AC＝AE＝4x，AD＝AB＝5x，∠AED＝ACB＝90°，DE＝BC，∠EAC＝∠DAB＝α，根据相似三角形的性质得到CE＝BD，过B作BF∥DE交EP的延长线于F，根据平行线的性质得到∠DEP＝∠F，根据全等三角形的性质得到PD＝BP＝BD，于是得到结论．
解：∵∠ACB＝90°，，
设BC＝x，AB＝5x，
∴AC＝＝4x，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AC＝AE＝4x，AD＝AB＝5x，∠AED＝ACB＝90°，DE＝BC，∠EAC＝∠DAB＝α，
∴∠AEC＝∠ACE＝（180°﹣α）∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣α），
∴∠AEC＝∠ADB，
∴△AEC∽△ADB，
∴＝＝＝，
∴CE＝BD，
过B作BF∥DE交EP的延长线于F，
∴∠DEP＝∠F，
∵∠DEP+∠AEC＝∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠DEP＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠F，
∴BF＝BC，
∴BF＝DE，
∵∠EPD＝∠BPF，
∴△DEP≌△BFP（AAS），
∴PD＝BP＝BD，
∴＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
【分析】先计算零次幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
解：
＝1+﹣2×+﹣1
＝1+﹣+﹣1
＝．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
18．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF．求证：AE＝CF．

【分析】首先根据平行四边形的性质得出∠A＝∠C，进而利用全等三角形的判定和性质得出即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AE＝CF．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出∠A＝∠C解答．
19．化简：．
【分析】先算括号里面的，再算除法即可．
解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．根据教育部印发《规定》，“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h．

请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数是 　400　人；
（2）请根据题中的信息补全频数分布直方图；
（3）D组对应扇形的圆心角为 　36　°；
（4）本次调查数据的中位数落在 　C　组内；
（5）若我市约有160000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少．

【分析】（1）根据A组的人数和百分比即可求出总人数；
（2）根据总人数和条形统计图即可求出C组人数即可补全频数分布直方图；
（3）先算出D组所占的百分比，再求出对应的圆心角；
（4）根据第200个和第201个数据所在的组即可求出中位数所在的组；
（5）根据不低于1h人数的百分比即可估算出全市达到国家规定体育活动时间的人数．
解：（1）∵A组有40人，占10%，
∴总人数为40÷10%＝400（人），
故答案为：400；
（2）C组的人数为400﹣40﹣80﹣40＝240（人），
统计图如下：

（3）D组所占的百分比为×100%＝10%，
∴D组所对的圆心角为360°×10%＝36°，
故答案为：36；
（4）中位数为第200个数据和第201个数据的平均数，都在C组，
∴中位数在C组，
故答案为：C；
（5）160000×＝112000（人），
∴估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有112000人．
【点评】本题主要考查统计图形的应用，最关键的是得出抽查人数，只需要看两个统计图里都已知的量即可，像中位数，众数，平均数这样的统计量中考比较爱考，要牢记它们的概念和计算公式．
21．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．
（2）根据当a＝50时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽[100﹣2（a﹣50）]盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．
解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，
由题意得：，
解得：，
∴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；
（2）w＝（a﹣40）[100﹣2（a﹣50）]＝﹣2（a﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当a＝70时，w有最大值，最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）
参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75


【分析】过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DG⊥BC于点G，可知四边形GDHB是矩形，根据题意，在Rt△CDG中，根据DG＝CD•cos37°和CG＝CD•sin37°求出DG和CG的长，再在Rt△ADH中，根据DH＝AH•tan65°求出DH的长，进一步即可求出BC的长．
解：过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：

则四边形GDHB是矩形，
∴GD＝BH，DH＝GB，
根据题意，CD＝300米，∠CDG＝37°，
∴DG＝CD•cos37°≈300×0.80＝240（米），
CG＝CD•sin37°≈300×0.60＝180（米），
∴HB＝240米，
∵AB＝450米，∠DAH＝65°，
∴AH＝210米，
∴DH＝AH•tan65°≈210×2.14＝449.4（米），
∴BC＝CG+BG＝180+449.4＝629.4≈629（米），
∴菜园与果园之间的距离为629米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形运用三角函数是解题的关键．
23．已知反比例函数y＝与一次函数y＝kx+5（k≠0），一次函数的图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）当k＝﹣1时，如图，设直线y＝kx+5与双曲线y＝的两个交点为A、B（B在A的右边），求△OAB的面积；
（2）若直线y＝kx+5与双曲线y＝总有两个不同的交点，求k的取值范围；
（3）若直线y＝kx+5与双曲线y＝交于不同的两点M（x1，y1）、N（x2，y2），且满足|x1﹣x2|＝7，求k的值．

【分析】（1）解析式联立，求得交点A、B的坐标，由直线解析式求得D的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOD﹣S△DOB求得即可；
（2）把y＝代入y＝kx+5，整理得到方程kx2+5x﹣6＝0，则判别式Δ＝25+24k＞0，进而求出k的取值范围；
（3）把y＝代入y＝kx+5，整理得到方程kx2+5x﹣6＝0，由根与系数的关系得到x1+x2＝，x1•x2＝，代入，得出（x1﹣x2）2＝+＝49，解得即可．
解：（1）解，得，
∴A（2，3），B（3，2）．
由一次函数y＝﹣x+5可知D（5，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△DOB＝5×3﹣5×2＝；
（2）由 kx+5＝，得kx2+5x﹣6＝0，△＝25+24k＞0，
∴且k≠0；
（3）由 kx+5＝，得kx2+5x﹣6＝0，
∴x1、x2为方程kx2+5x﹣6＝0的两个不相等的实数根．
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
＝＝，
解得k＝1或，
经检验k＝1或为方程的解，
∴k＝1或．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，函数和方程的关系，三角形的面积，联立它们的解析式整理得到的一元二次方程，有根时判别式△≥0；无交点时判别式Δ＜0．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，求∠E的度数．
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD＝，求AD的长．

【分析】（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC＝∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC＝OB，于是得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠OCB＝∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；
（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD＝3，DE＝3，BE＝6，在Rt△DAH中，AD＝＝＝．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，

∵AC＝CG，
∴，
∴∠ABC＝∠CBG，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴，，
∵OA＝OB，
∴AE＝OA＝OB，
∴OC＝OE，
∵∠ECO＝90°，
∴∠E＝30°；
（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，

∵∠E＝30°
∴∠EBD＝60°，
∴∠CBD＝EBD＝30°，
∵CD＝，
∴BD＝3，DE＝3，BE＝6，
∴AE＝BE＝2，
∴AH＝1，
∴EH＝，
∴DH＝2，
在Rt△DAH中，AD＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．


【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠CAO得到DE＝DG，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
（3）根据S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．

设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2
∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，
∴，
∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．
此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，
即点D的坐标为（﹣2，2）；

（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣，
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．