2023年四川省泸州市泸县四中中考数学二模试卷

这是一份2023年四川省泸州市泸县四中中考数学二模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省泸州市泸县四中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣3的倒数是（　　）
A．3 B．1 C．﹣ D．
2．据悉，珠海市2022年GDP为4045.4亿元，其中4045.4亿元用科学记数法表示为（　　）
A．4045.4×108 B．4.0454×108
C．4.0454×1011 D．0.40454×1012
3．下列运算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．3a2•2a3＝6a6
C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．a8÷a4＝a2
4．如图，在AB∥CD中，∠AED＝126°，AE平分∠CAB，则∠ACD的度数为（　　）

A．54° B．72° C．70° D．63°
5．反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣3 D．m＞﹣3
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
B．某种彩票中奖的概率是，则购买10张这种彩票一定会中奖
C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100
D．甲．乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝3.2，s乙2＝1，则乙的射击成绩较稳定
7．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角∠ABM＝25°，测得AB＝2.4m．则OC的长为（　　）

A．1.2cos25° B．1.2sin25° C． D．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADB的度数是（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
9．下列命题为假命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
10．在矩形OABC中，顶点C在第一象限且在反比例函数y＝（k≠0）上，BC与y轴交于点D，且CD＝3BD．AO与x轴负半轴的夹角的正弦值为，连接OB，S△OBD＝3，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
11．已知关于x的方程有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（　　）
A．a＞0 B．2＜a＜8 C．a＞8 D．0＜a＜8
12．如图．在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，DG⊥AC于G，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②；③DF＝DC；④．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．已知圆锥的底面半径是20，母线长30，则圆锥的侧面积为 　 　．
14．因式分解：a3﹣4a＝　 　．
15．若整数a使关于x的分式方程的解为整数，且使关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　．
16．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在直线AC上，2CE＝AC，AD＝6，BE＝5，则△ABC的面积是 　 　．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：6sin45°﹣|1|（π﹣2021）0．
18．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC．求证：AC＝DF．

19．先化简：（），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
组别
分数段
频次
频率
A
60≤x＜70
17
0.17
B
70≤x＜80
30
a
C
80≤x＜90
b
0.45
D
90≤x＜100
8
0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　；
（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．

21．为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．

23．如图，当登山缆车的吊箱从点A到达点B时，其行程为200米，从点B到顶点D行程为240米，已知缆车行驶路线AB与水平面的夹角∠α＝16°，路线BD与水平面的夹角∠β＝42°，那么缆车从点A到点D垂直上升的距离是多少米？（结果精确到1米，已知sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，sin42°≈0.67，cos42°≈0.73）

六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．已知等腰△ABC，AB＝AC，且BC＝CD，连接AD交BC于点E，以DE为直径的⊙O上有一点F，使得，连接CF交DE于点G，若∠BAD＝90°．
（1）判断AC与⊙O的关系，并说明理由；
（2）若CE＝1，求CF•GF的值．

25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．

（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣3的倒数是（　　）
A．3 B．1 C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
解：﹣3的倒数是﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查了倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．据悉，珠海市2022年GDP为4045.4亿元，其中4045.4亿元用科学记数法表示为（　　）
A．4045.4×108 B．4.0454×108
C．4.0454×1011 D．0.40454×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：4045.4亿＝4.0454×1011，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．下列运算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．3a2•2a3＝6a6
C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．a8÷a4＝a2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，不符合题意；
B、3a2•2a3＝6a5，不符合题意；
C、（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，符合题意；
D、a8÷a4＝a4，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
4．如图，在AB∥CD中，∠AED＝126°，AE平分∠CAB，则∠ACD的度数为（　　）

A．54° B．72° C．70° D．63°
【分析】由平行线的性质可求得∠BAE＝54°，再由角平分线的定义可得∠BAC＝108°，再次利用平行线的性质即可求∠ACD的度数．
解：∵AB∥CD中，∠AED＝126°，
∴∠ACD+∠BAE＝180°，∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AED＝54°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAC＝2∠BAE＝108°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝72°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
5．反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣3 D．m＞﹣3
【分析】根据反比例函数的性质得出m﹣3＜0，进而即可求解．
解：∵反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
B．某种彩票中奖的概率是，则购买10张这种彩票一定会中奖
C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100
D．甲．乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝3.2，s乙2＝1，则乙的射击成绩较稳定
【分析】根据抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义进行判断即可．
解：A．为确保载人航天器的每个零件合格，应采取全面调查，不能用抽查，因此选项A不符合题意；
B．某种彩票中奖的概率是，买10张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；
C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100袋洗衣粉的质量，样本容量为100，因此选项C不符合题意；
D．由于平均数相同，方差小的比较稳定，因此乙的射击成绩较稳定，所以选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量，理解抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义是正确判断的前提．
7．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角∠ABM＝25°，测得AB＝2.4m．则OC的长为（　　）

A．1.2cos25° B．1.2sin25° C． D．
【分析】根据题意得出OB＝1.2m，在Rt△OBC中，根据正弦的定义即可求解．
解：∵O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，AB＝2.4m，
∴OB＝1.2m，
在Rt△OBC中，
∵∠ABM＝25°，
∴，
∴OC＝OB×sin∠ABM＝1.2sin25°，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADB的度数是（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据圆周角定理求出∠ABC，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，计算即可．
解：∵＝，∠BDC＝50°，
∴∠ABC＝∠BDC＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝130°﹣50°＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9．下列命题为假命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．
解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．
10．在矩形OABC中，顶点C在第一象限且在反比例函数y＝（k≠0）上，BC与y轴交于点D，且CD＝3BD．AO与x轴负半轴的夹角的正弦值为，连接OB，S△OBD＝3，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，由题意可知∠1＝∠2＝∠3，由CD＝3BD，S△OBD＝3可知S△OCD＝9，设BD＝a，则CD＝3a，利用三角函数求得OD＝5a，
利用S△OBC＝9，求得a的值，在△OCE中利用三角函数求得OE和CE的长，从而求得点C的坐标，即可求得k的值．
【解答】
解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠AOC＝∠BCO＝90°，
∴∠1+∠COE＝90°，
∵CE⊥x轴，
∴∠2+∠COE＝90°，CE∥x轴，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵CD＝3BD，S△OBD＝3，
∴S△OBC＝4S△OBD＝12，
设BD＝a，则CD＝3a，
∵sin∠1＝，
∴sin∠2＝sin∠3＝，
∴，
∴OD＝5a，
∴OC＝4a，
S△OBC＝×4a×4a＝12，
∴a＝，
∴OC＝，
∵sin∠2＝，
∴，
∴OE＝，
∴CE＝，
C（，），
∴k＝，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角函数，反比例函数k的几何意义等知识的综合运用，求出点C的坐标，是解决本题的关键．
11．已知关于x的方程有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（　　）
A．a＞0 B．2＜a＜8 C．a＞8 D．0＜a＜8
【分析】先去绝对值符号，再求a的范围．
解：当a＜0时，方程无解，
当a＝0时，方程的解为x＝0，不合题意．
当a＞0时，原方程化为：＝±a．
∴x2﹣ax+2a＝0①或x2+ax﹣2a＝0②．
∵方程②的判别式Δ＝a2+8a＞0，
∴方程②有两个不等实数根．
∵原方程有且仅有两个不同的实数解，
∴方程①没有实数根．
∴Δ＝a2﹣8a＜0．
∴0＜a＜8
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的解，去绝对值和分母是求解本题的关键．
12．如图．在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，DG⊥AC于G，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②；③DF＝DC；④．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，∠ABC＝90°，利用∠AFE＝∠CBA，∠EAF＝∠BCA可判断△AEF∽△CAB，则可对①进行判断；通过证明EF∥DG，则利用平行线分线段成比例得到＝＝，则可对②进行判断；利用△AEF∽△CAB得到＝＝，所以AF＝FG＝CG，于是得到DG垂直平分CF，则可对③进行判断；设△AEF的面积为S，利用三角形面积公式得到S△DEF＝S，S△DFG＝S△DCG＝S△DAF＝2S，然后利用△AEF∽△CFB得到＝＝，所以S△ABF＝2S，则S四边形CDEF：S△ABF＝（S+2S+2S）：2S，于是可对④进行判断．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠ABC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∵∠AFE＝∠CBA，∠EAF＝∠BCA，
∴△AEF∽△CAB，所以①正确；
∵BE⊥AC，DG⊥AC，
∴EF∥DG，
∴＝，
而E是AD边的中点，
∴AE＝AD，
∴AF＝AG，所以②正确；
∵AE＝AD，AD＝BC，
∴AE＝BC，
∵△AEF∽△CFB，
∴＝＝，
∵AF＝FG，
∴AF＝FG＝CG，
∴DG垂直平分CF，
∴DC＝DF，所以③正确；
设△AEF的面积为S，则S△DEF＝S，
∴S△DFG＝S△DCG＝S△DAF＝2S，
∵△AEF∽△CFB，
∴＝＝，
∴S△ABF：S△AEF＝1：2，
即S△ABF＝2S，
∴S四边形CDEF：S△ABF＝（S+2S+2S）：2S，
∴S四边形CDEF＝S△ABF．所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．运用相似三角形的性质可证明线段之间的关系，也可进行几何计算．也考查了矩形的性质．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．已知圆锥的底面半径是20，母线长30，则圆锥的侧面积为 　600π　．
【分析】根据扇形面积公式计算，得到答案．
解：∵圆锥的底面半径是20，
∴圆锥的底面周长为：2π×20＝40π，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为40π，
∴圆锥的侧面积为：×40π×30＝600π，
故答案为：600π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
14．因式分解：a3﹣4a＝　a（a+2）（a﹣2）　．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
15．若整数a使关于x的分式方程的解为整数，且使关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为 　2　．
【分析】利用一元一次不等式组的解集，得到关于a的取值范围，利用解分式方程的方法求得分式方程的解，并依据已知条件确定a的取值，将所有满足条件的整数a的值相加即可得出结论．
解：关于x的一元一次不等式组的解集为a﹣5＜x≤﹣，
∵关于x的一元一次不等式组有解，
∴a﹣5＜﹣，
∴a＜4．
关于x的分式方程的解为为x＝，
∵原分式方程有可能产生增根3，
∴≠3，
∴a≠1．
∵整数a使关于x的分式方程的解为整数，a＜4，
∴a＝﹣1或3，
∴所有满足条件的整数a的值之和为﹣1+3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，一元一次不等式组的解和解一元一次不等式组，考虑分式方程的增根情形是解题的关键．
16．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在直线AC上，2CE＝AC，AD＝6，BE＝5，则△ABC的面积是 　16或　．
【分析】分两种情形：当点E在点A与点C之间时；当点E在AC的延长线上时，分别勾股定理与等腰三角形的性质求解即可．
解：如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，
∴AD是底边BC的中线，
∵2CE＝AC，
∴G为△ABC的重心，
∵AD＝6，BE＝5，
∴DG＝AD＝2，BG＝BE＝3，
∴在直角△BDG中，由勾股定理得到：BD＝＝，BC＝2BD＝，
∴S△ABC＝BC×AD＝16．
如图2，作EG⊥BC于G．
∵EG∥AD，
∴＝＝＝2，
∴EG＝3，设CG＝a，则BD＝CD＝2a，
∴在直角△BEG中，由勾股定理得到：BG＝＝4，
∴5a＝4，
∴a＝，
∴BC＝，
∴S△ABC＝BC×AD＝××6＝．
故答案为：16或．


【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的综合运用．本题的难点是得到BC的长．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：6sin45°﹣|1|（π﹣2021）0．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
解：原式＝6×﹣（﹣1）﹣2×1
＝3﹣+1﹣2
＝1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC．求证：AC＝DF．

【分析】由AD＝BE知AB＝ED，结合∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC，依据“ASA”可判定△ABC≌△DEF，依据两三角形全等对应边相等可得AC＝DF．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．先化简：（），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
【分析】利用分式的混合运算的法则将原式化简，再利用分式的分母不为0，选取x＝0代入运算即可．
解：原式＝
＝
＝
＝﹣（x﹣2）
＝﹣x+2，
由题意得：x+2≠0，x﹣2≠0，
∴x＝0．
∴原式＝﹣0+2＝2．
【点评】本题主要考查了分式的化简运算，利用分式的分母不为0，选取x的值是解题的关键．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
组别
分数段
频次
频率
A
60≤x＜70
17
0.17
B
70≤x＜80
30
a
C
80≤x＜90
b
0.45
D
90≤x＜100
8
0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）表中a＝　0.3　，b＝　45　；
（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．

【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；
（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；
（3）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；
解：（1）本次调查的总人数为17÷0.17＝100（人），
则a＝＝0.3，b＝100×0.45＝45（人），
故答案为：0.3，45；

（2）360°×0.3＝108°，
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；

（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，
列树形图得：

∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，
∴甲、乙两名同学都被选中的概率为＝．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
【分析】（1）首先设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，根据题意可得等量关系：3600元购买的科普类图书的本数﹣20＝用2700元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，根据“费用不超过1600元”列出不等式并解答．
解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，
依题意：﹣20＝，
解之得：x＝15．
经检验，x＝15是所列方程的根，且符合题意，
所以（1+20%）x＝18．
答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，
依题意：18a+15（100﹣a）≤1600，
解之得：a≤．
因为a是正整数，
所以a最大值＝33．
答：最多可购“科普类”图书33本．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程（不等式），注意分式方程不要忘记检验．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．

【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y＝．通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，设直线AB的解析式为y＝ax+b，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，令该解析式中y＝0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．

设反比例函数解析式为y＝．
∵AE⊥x轴，
∴∠AEO＝90°．
在Rt△AEO中，AO＝5，sin∠AOC＝，∠AEO＝90°，
∴AE＝AO•sin∠AOC＝3，OE＝＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，3）．
∵点A（﹣4，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴3＝，解得：k＝﹣12．
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
（2）∵点B（m，﹣4）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣4＝﹣，解得：m＝3，
∴点B的坐标为（3，﹣4）．
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
将点A（﹣4，3）、点B（3，﹣4）代入y＝ax+b中得：
，解得：，
∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1．
令一次函数y＝﹣x﹣1中y＝0，则0＝﹣x﹣1，
解得：x＝﹣1，即点C的坐标为（﹣1，0）．
S△AOB＝OC•（yA﹣yB）＝×1×[3﹣（﹣4）]＝．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出直线AB的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
23．如图，当登山缆车的吊箱从点A到达点B时，其行程为200米，从点B到顶点D行程为240米，已知缆车行驶路线AB与水平面的夹角∠α＝16°，路线BD与水平面的夹角∠β＝42°，那么缆车从点A到点D垂直上升的距离是多少米？（结果精确到1米，已知sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，sin42°≈0.67，cos42°≈0.73）

【分析】过点D作DG⊥AC交AC的延长线于G，作BH⊥DG于H，根据正弦的定义分别求出BC、DH，计算即可．
解：过点D作DG⊥AC交AC的延长线于G，作BH⊥DG于H，
则四边形BCGH为矩形，
∴HG＝BC，
在△ABC中，sin∠BAC＝，
则BC＝AB•sin∠BAC＝200×sin16°≈200×0.28＝56（米），
在Rt△DBH中，sin∠DBH＝，
则DH＝BD•sin∠DBH≈240×0.67＝160.8（米），
∴DG＝DH+GH≈217（米），
答：缆车从点A到点D垂直上升的距离约为217米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．已知等腰△ABC，AB＝AC，且BC＝CD，连接AD交BC于点E，以DE为直径的⊙O上有一点F，使得，连接CF交DE于点G，若∠BAD＝90°．
（1）判断AC与⊙O的关系，并说明理由；
（2）若CE＝1，求CF•GF的值．

【分析】（1）连接OC，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接BD，交⊙O于点H，连接EH，EF，利用圆周角定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理求得EF2，再利用相似三角形的判定与性质得到，则CF•GF＝EF2．
解：（1）AC与⊙O相切，理由：
连接OC，如图，

∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B．
∵∠BAE＝90°，
∴∠B+∠AEB＝90°．
∵∠AEB＝∠OEC，
∴∠ACB+∠OCE＝90°，
∴∠OCA＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OC为⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切；
（2）连接BD，交⊙O于点H，连接EH，EF，如图，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠ECD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ECD＝90°，
∴点A，C，D，B四点共圆，
∵AB＝AC，
∴∠ADC＝∠ADB，
∴，
∴EC＝EH＝1．
∵DE为⊙O的直径，
∴EH⊥BD．
∵BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝45°，
∴△EBH为等腰直角三角形，
∴BE＝EH＝，
∴BC＝BE+EC＝+1，
∴CD＝BC＝+1，
∴DE＝＝．
∵，
∴EF＝DF．
∵DE为⊙O的直径，
∴∠EFD＝90°，
∴△EFD为等腰直角三角形，
∴EF＝DE＝．
∵，
∴∠ECF＝∠DCF＝∠BCD＝45°，
∴∠FED＝∠ECF＝45°，
∵∠EFC＝∠CFE，
∴△EFG∽△CFE，
∴，
∴CF•GF＝EF2＝1+．

【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系定理，圆的切线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．

（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．
解：（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×（﹣5）+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣5，0）代入得0＝﹣5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．

【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．