第九章 平面向量（A卷•基础提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第二册）

第九章 平面向量A卷•基础练

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、单选题

1．已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量基底的意义，逐项判断即可作答.

【详解】是平面内两个不共线的向量，

对于A，，即向量共线，A不是；

对于B，，即向量共线，B不是；

对于D，，即向量共线，D不是；

对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是.

故选：C

2．设D为△ABC所在平面内一点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量基本定理和向量的线性运算展开整理化简即可求解.

【详解】因为，也即，

整理化简可得：，

故选：.

3．已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ）

A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6

【答案】B

【分析】先根据向量的线性运算得到，然后再利用奔驰定理即可求解.

【详解】由可得：,

整理可得：，

由可得，整理可得：，

所以，整理得：，

由奔驰定理可得：，

故选：.

4．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，将用表示出来，求出，的值，即可求解．

【详解】由题意可得，

因为是平行四边形，所以，所以，所以，

因为，所以，

则．

故选:D

5．点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【分析】先证明成立得到，再利用向量的线性运算即可.

【详解】如图所示，延长交于，

显然，

由面积关系可得，所以，

而，

所以，

所以，即，

又由题可知，所以，

所以，整理得，

所以，

故选：A

6．已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用极化恒等式求解即可.

【详解】

取OC中点D，由极化恒等式得

又，∴的最小值为．

故选:C.

7．如图，正方形中，分别为的中点，且，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量线性运算可得，从而得到的值.

【详解】，，，

.

故选：C.

8．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由平面向量的线性运算可得，由，，三点共线，知，再根据基本不等式中的“乘1法”，即可得解．

【详解】因为点是的重心，且，，

所以，

因为，，三点共线，所以，即，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为．

故选：．

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答.

【详解】

对于A，，，与不垂直，A不正确；

对于B，，有，B正确；

对于C，，有，C不正确；

对于D，，由选项C知，，D正确.

故选：BD

10．已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上

C． D．

【答案】BC

【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项；

根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项.

【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确；

设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错.

故选：BC.

11．中，点M是边的中点，，则一定不是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】ABC

【分析】根据向量的加法、减法运算及数量积的运算求解即可.

【详解】因为点M是边的中点，

所以,

故由可得,

所以,

即,

故选：ABC

12．下列说法中正确的有（    ）

A．已知在上的投影向量为且，则；

B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；

C．若非零向量满足，则与的夹角是.

D．在中，若，则为锐角；

【答案】AC

【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A选项，结合平面向量数量积和向量共线的坐标运算即可判断B选项，根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D选项.

【详解】设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，所以，即，所以，故A正确；

因为，则，又因为与夹角为锐角，

所以，且与不共线，即，解得，所以则的取值范围是，故B错误；

因为，两边同时平方得，即，所以，即，

因此

，又因为向量夹角的范围是，所以，故C正确；

因为，所以，

因为，故，又因为，故，因此为钝角，故D错误，

故选：AC.

三、填空题

13．已知向量，满足，，，则实数______．

【答案】1

【分析】根据平面向量的坐标的线性运算求得，根据向量的模的坐标运算列方程即可得实数的值.

【详解】解：已知向量，满足，，所以，

则，解得.

故答案为：1.

14．如图，在平行四边形中，点满足，，与交于点，设，则_____.

【答案】

【分析】作辅助线，利用重心的性质即可求解.

【详解】如图，设是上除点外的令一个三等分点，

连接，连接交于，则.

在三角形中，是两条中线的交点，

故是三角形的重心，

结合可知，

由于是中点，

故.所以，由此可知.

故答案为：.

15．已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__.

【答案】

【分析】计算，，计算得到答案.

【详解】由题意得，

所以.

故答案为：

16．已知向量满足，则与的夹角为_______________．

【答案】

【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】，

，

设与的夹角为，

，

因为，

所以，

故答案为：

四、解答题

17．已知非零平面向量，的夹角为，.

(1)证明：；

(2)设，求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）首先将条件等式两边同时平方，根据向量的数量积运算求得.再将平方即可证明结论成立；

（2）将平方可得，然后根据二次函数的性质求解最值即可.

【详解】（1）由可得，所以.

又因为，的夹角为，故.

联立两式可得，结合是非零向量可得.

所以，则.

（2），

所以当时，取最小值，即取最小值.

18．如图， 正方形 中， 是 中点， 是 中点， 与 交于点 ， 求 的余弦值．

【答案】

【分析】运用平面向量数量积的方法求解.

【详解】设正方形ABCD的边长为2， ，

则有 ，  ，

，  ；

综上， .

19．如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．

(1)用，表示；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)

(2)3.

【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；

（2）根据（1）的结论，转化用，表示，

根据三点共线找出等量关系；

【详解】（1）在中，由,

又，

所以，

所以

（2）因为，

又，

所以，，

所以，

又三点共线，且在线外，

所以有：，

即.

20．已知平面向量，，，，且与的夹角为．

(1)求

(2)若与垂直，求k的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量的平方等于模长的平方和数量积公式求解即可；

（2）利用向量垂直数量积为0求解即可.

【详解】（1）由题意可得

，

所以.

（2）因为向量与垂直，

所以，

解得.

21．已知与的夹角为．

(1)求的值；

(2)设，求的夹角．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据可以得到答案；（2）计算即可.

【详解】（1）由已知，得：，

∴，

∴；

（2）∵，

，

∴，

由（1）得：，

∴，

∵，∴.

22．已知向量､的夹角为，且，设，.

(1)求；

(2)试用来表示的值；

(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用向量数量积运算求得正确答案.

（2）利用向量数量积运算求得正确答案.

（3）根据与的夹角为钝角列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）.

（2）

.

（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.

其中，而，

于是实数的取值范围是.