第五章 一元函数的导数及其应用（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）

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班级              姓名             学号             分数           第五章  一元函数的导数及其应用 （B卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在R上单调递增，则实数b的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得，∵在R上单调递增，∴在R上恒成立，∴，即，解得．故选：B2．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知函数，则（    ）A．为偶函数 B．在区间单调递减C．的最小值为2e D．有1个零点【答案】C【解析】的定义域为，，A选项不正确；当时，， ，， ，即，不满足在区间单调递减，B选项不正确；因为，所以关于对称，当时，，令，因为在单调递增；而在也递增，由复合函数单调性可知，在区间上单调递增，故在处取最小值，C选项正确；时，，所以，所以没有零点，D选项不正确.故选：C.3．（2022·全国·高二专题练习）已知，为的导函数，则的大致图象是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴∴∴是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，将代入得：，排除C．故选：A．4．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围为（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，，故函数为奇函数，且不恒为零，故函数在上为增函数，由可得，则，所以，，解得.故选：A.5．（2022·四川泸州·高二期末（理））在给出的①，② ，③ 三个不等式中，正确的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】对于①：记.因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，即.当时，有，即.故①正确；记.因为，所以当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递减，所以当时，，即.对于②：当时，有，即.故②正确；对于③：当时，有，即，亦即.故③正确.故选：D6．（2022·浙江·杭州四中高二期中）设函数，，若函数只有1个零点，则函数在上的最大值为（    ）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由题知，，因为，所以，令，则，令，解得，故当，，当，，所以，故，则，故函数在上是增函数，所以，故A，B，D错误.故选：C.7．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（   ）A． B．C． D．【答案】C【解析】对A：∵为偶函数，则两边求导可得∴为奇函数，则令，则可得，则，A成立；对B：令，则可得，则，B成立；∵，则可得，则可得两式相加可得：，∴关于点成中心对称则，D成立又∵，则可得，则可得两式相减可得：∴以4为周期的周期函数根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立故选：C.8．（2022·山东青岛·高二期末）已知函数，曲线与直线有且仅有一个交点，则实数k的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，当且仅当时，取等号，所以当时，函数只有一个零点，即当时，曲线与直线有且仅有一个交点，所以当时，曲线与直线没有交点，所以.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2022·浙江·镇海中学高二期中）如图，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有（    ）A．有极大值，也有极小值B．是的极小值点C．是的极大值点D．是的极大值点【答案】ABD【解析】=，当时，，故，在上单调递减，当时，，故，在上单调递增，当时，，故，在上单调递减，当时，，故，在上单调递增，故在处取得极小值，在处取得极大值，处取得极小值.故ABD正确，C错误，故选：ABD.10．（2022·湖北·武汉市第一中学高二阶段练习）下列命题中是真命题有（    ）A．若，则是函数的极值点B．函数的切线与函数可以有两个公共点C．若函数在区间上有零点，则的值为0或3D．若函数的导数，且，则不等式的解集是【答案】BD【解析】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；C：函数在区间上有零点，故，则，明显，代入，得，不符合零点存在定理，故C错误；D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；故选：BD.11．（2022·山东泰安·高二期末）已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．函数的图像与直线只有一个公共点D．对任意的【答案】ACD【解析】对于A，因为函数在处取得极值，所以，，解得，故A正确.即对于B，因为真数，所以所以，欲证，只需证因为，定义域为所以，令，解得所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，即，所以，即，故B错误对于C，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，即证只有一个根，即只有一个根，由上述可得在递减，在递增，所以，故C正确对于D，由上述得恒成立，即恒成立，所以当时，，即因为所以且所以，即证，故D正确故选:ACD.12．（2022·江西·景德镇一中高二期中）关于函数，下列判断正确的是（    ）A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．对不等式在上恒成立D．对任意两个正实数，且，若，则【答案】BC【解析】对于A，，，令，得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，为的极小值点，A错误；对于B，，则，所以函数在上单调递减，又，所以函数有且只有1个零点，B正确；对于C，若在上恒成立，得在上恒成立，则令，则，令，，当时，，单调递减，，即，在上单调递减，故函数，则，C正确；对于D， 令， ，则在上单调递减，则，即， ，，结合A选项可得，，函数在上单调递增，则，即对任意两个正实数，且，若，则，D错误.故选：BC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2022·陕西·户县苍游中学高二期中（文））若直线和曲线相切，则实数的值为_________.【答案】1【解析】已知，得，设切点为，已知直线斜率，得，再将分别代入直线与曲线中可得解得.故答案为：14．（2022·全国·高二专题练习）对半径为1的气球以恒定的速度充气，可视为球体在不断膨胀，当半径增加至2时，其体积相对于半径的瞬时变化率为___________.【答案】【解析】由球的体积公式可得，得，所以时，体积关于半径的瞬时变化率为，故答案为：15．（2022·全国·高二专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】由，得，当在内为减函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，当在内为增函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，令，因为在内单调递增，在内单调递减，所以在内的值域为，所以或，所以函数在内单调时，a的取值范围是，故在上不单调时，实数a的取值范围是．故答案为：．16．（2022·全国·高二专题练习）设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是______．【答案】．【解析】由曲线上存在点，使得，即，下面证明，因为在定义域上严格递增，假设，则，不满足，同理，不满足，所以，那么函数，即函数在有解，所以，即，，令，则，，，单调递增，又，所以，所以a的取值范围是．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知函数．(1)求在点处的切线方程（其中为自然对数的底数）；(2)当时，证明：．【解析】（1），切线的斜率为，由得切点坐标为，所以在点处的切线方程.（2）当时， 令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得最小值，即.18．（12分）（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）已知函数，且．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有三个极值点，且，求证：．【解析】(1)对函数进行求导， ，，切点为 故切线为.(2) 由题意知，有三个实数跟，则，方程有两个根，即有两个交点令，当时，，故在上单调递增；     当时，，故在上单调递减；作出，的图象如图由图可知，，与的图象有两个交点，横坐标分别为，且要证即证即证，则则 即，由对数平均数表达式可得  故即可证得.19．（12分）（2022·辽宁实验中学高二期中）已知，，过原点做图像的切线，切点为M，已知(1)求的解析式；(2)若的图像与的图像有一条通过原点的公切线，求a的值．【解析】(1)设切点，∵，∴，∴，∴，又；∴，∴(2)此公切线即为（1）中的切线，∵，∴切线为，设与的图像切于点，又∵，∴，解得，∴20．（12分）（2022·陕西·西安中学高二期末（文））已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为.(1)求切线的倾斜角的取值范围；(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.【解析】(1)因为，则，解得，所以，则，故，，，，，切线的倾斜角的的取值范围是，，.(2)设曲线与过点，的切线相切于点，则切线的斜率为，所以切线方程为因为点，在切线上，所以 ，即，由题意，该方程有三解设，则，令，解得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，极大值为，所以实数的取值范围是.21．（12分）（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））已知函数.(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围(3)若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围.【解析】（1），则，因为切线与直线垂直，所以，解得.（2），则，在上单调递增，所以在上恒成立，即，令，则，当时取得最小值，，所以.（3）当时，，则单调递增，不可能有两个零点；当时，时，；时，，则在上单调递增，上单调递减，，解得，此时，，，令，则，，所以当时，单调递减，，所以当时，，即,所以所以有两个零点，故.22．（12分）（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）已知函数（其中）．(1)当a＝1时，求函数的单调区间；(2)，恒成立，求实数a的取值的集合．【解析】（1）∵，化简得：，设,，因此恒成立．∴在区间和上是单调递增函数．（2），（i）当x＞0时，恒成立，（ii）当x＜0时，恒成立，令，即：当x＞0时，，当x＜0时，，，令，，由则函数递增，x＞0时，，即：，当x＞0时，是减函数，，当x＜0时，，即：，当x＜0时，是增函数，，因此，在上是减函数，在上是减函数．当x＞0时，，当x＜0时，，又由洛必达法则得：，因此，x＞0时，，x＜0时，，综上可知：．