第二章 平面解析几何之圆锥曲线的方程（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）

班级              姓名             学号             分数           

第二章 平面解析几何之圆锥曲线的方程（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】抛物线的顶点为，焦点为，

设符合题意，则有

，

即，解得，

所以符合条件的点为，

故选：D

2．双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（    ）

A． B． C．32 D．42

【答案】A

【解析】根据、为双曲线的两焦点可得，

又直线、倾斜角之差为，所以，

根据余弦定理可得，

整理得①，

根据点P在双曲线上可得，

则②，

①-②得，，

则面积为.

故选：A.

3．椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】易得．设，，则．

在中，由余弦定理得，

即，则，

所以．

设点到轴的距离为，则，故，解得．

故选：C．

4．如图，、是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中错误的是（    ）．

A．

B．的内切圆与x轴相切于点（1，0）

C．若，则的离心率为

D．若，则椭圆方程为

【答案】A

【解析】对于A：由可得，

所以，即选项A错误；

对于B：设的内切圆的圆心为I，

且圆与边、、相切于N、M、K，

可得，，，

又因为，

所以，

又，解得，．

可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，即选项B正确；

对于C：在椭圆中，，，

则．

由，得 ，解得a＝3．

则的离心率，即选项C正确；

对于D：因为，，

则，．

若，则．

又c＝2，，解得，．

则椭圆的方程为，即选项D正确．

故选：A.

5．已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，，，

因为，都在椭圆上，所以，

所以，

故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，又因为，，

即，，所以，

因此的轨迹方程是．

故选：A．

6．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，

而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，

即，即，则，即.

故选：D．

7．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，

，

又

,

，，

，，则，

即线段的长度的取值范围是，

故选：C

8．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，

则．

又，所以当四边形的面积最小时，最小．

过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，

当点与坐标原点重合时，最小，此时．

故．

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列方程的图形为抛物线的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】对于A，方程化为表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，

且定点不在定直线上，原方程表示的图形是抛物线，A是；

对于B，方程表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，

而定点在定直线上，原方程表示的图形不是抛物线，B不是；

对于C，方程表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，

且定点不在定直线上，原方程表示的图形是抛物线，C是；

对于D，方程化为，方程表示的图形是抛物线，D是.

故选：ACD

10．如图，记椭圆，内部重叠区域（阴影部分）的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．P到，，，四点的距离之和必为定值

B．曲线C关于直线，均对称

C．曲线C所围区域的面积必小于36

D．曲线C的总长度必大于

【答案】BCD

【解析】对A，设，分别是椭圆的左、右焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，则，，，，当时，不是定值，A错误；

对B，用替换椭圆方程中的得，反之亦然，因此两个椭圆关于直线对称，同理，它们也关于直线对称，因此曲线C关于直线，对称，B正确；

对C，由椭圆方程知，曲线C在直线，围成的正方形内部，而正方形的面积为，故曲线C所围区域的面积必小于36，C正确；

对D，由椭圆的性质可知，曲线C上的点到原点距离的最小值为3，曲线C在以原点O为圆心，3为半径的圆的外部，而圆的周长为，因此曲线C的周长必大于，D正确．

故选：BCD．

11．已知的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，点的轨迹是双曲线

B．当时，点的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点）

C．当时，点在圆（除去点，）上运动

D．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大

【答案】BC

【解析】设，则．

当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点），A错误，B正确；

当时，方程为，则点C在圆（除去点，）上运动，C正确；

当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆（不含左、右顶点），则离心率，此时e随着m的增大而减小，D错误．

故选：BC．

12．设双曲线的两个焦点分别是，，以线段为直径的圆交双曲线于A，B，C，D四点，若A，B，C，D，，恰为正六边形的六个顶点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．四边形ABCD的面积为

C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为

【答案】ABC

【解析】不妨设点为左焦点，如图所示，因为，，所以，又，所以，A正确；根据对称性，可知四边形ABCD为矩形，又，，所以四边形ABCD的面积为，B正确；由双曲线的定义可得，即，则离心率，C正确；因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，D错误．故选ABC．

一题多解

对于A选项还可以如下求为圆的直径，点B在圆上，则，故A正确．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有______个．

【答案】4

【解析】当点A在圆M外时，连接QA，因点Q在线段PA的中垂线上，如图，

则，有，

因此点Q的轨迹是以点M，A为两焦点，实轴长为4的双曲线；

当点A在圆M内（除圆心M外）时，连接QA，因点Q在线段PA的中垂线上，如图，

则，有，

因此点Q的轨迹是以点M，A为两焦点，长轴长为4的椭圆；

当点A与圆心M重合时，有PM与PA重合，则线段PA的中垂线与PM交点Q是线段PM中点，即，

因此点Q的轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆；

当点A在圆M上时，圆M上点P与A不重合，弦PA的中垂线过圆心M，即线段PA的中垂线与PM交点Q是点M，

因此点Q的轨迹是点M，

所以所有可能的结果有4个.

故答案为：4

14．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______．

【答案】

【解析】如图，连接.

设（），则.

因为，，所以，.

在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．

故答案为：-2.

15．如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．

【答案】

【解析】由抛物线可得焦点，准线方程为，，

设，，直线AB的方程为，

由，可得，则，，

所以，

直线AB的一般方程为，

点到直线AB的距离，

所以，

所以的面积S的取值范围为，

故答案为：

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点连接，过点作交双曲线于点B，且，则______．

【答案】5

【解析】

由点是双曲线上一点和双曲线的离心率为，

得，解得，

所以，c＝2，

所以，．

所以直线的斜率为，

因为，所以直线的斜率为．p

设直线的倾斜角为，则，

所以，即，

因为，为锐角，

所以．

连接，在中，由余弦定理得，

又，所以，

所以．

故答案为：5

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)当时，求直线AB的方程.

【解析】（1）设圆的圆心坐标为，可得.

易知抛物线的焦点为，准线方程为，

由题意得，

解得（负值舍去），则抛物线C的方程为.

（2）由（1）知，设直线AB的方程为，

与抛物线的方程联立，可得，

，，则，，，

则AB的中点M的坐标为，易知，故，

直线OA的方程为，即，直线OB的方程为，即，

令，可得，，

则，

即，解得，

所以直线AB的方程为，

即或.

18．（12分）

已知椭圆的半焦距为，且长轴长是短轴长的2倍.

(1)求椭圆E的离心率；

(2)如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程.

【解析】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，

所以，即，

所以，

所以，即，

所以，即离心率为

（2）由（1）可知椭圆的方程为，

由题意得，圆心是线段的中点，且，

由题意可知直线的斜率存在，所以设直线的方程为，

设，

由，得，

则，，

因为，所以，解得，

所以，

所以

，

解得，

所以椭圆的方程为.

19．（12分）

已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．

【解析】（1）设圆心的坐标为，

则半径，

又因动圆在y轴上截得的弦长为8，

所以，

化简得，

即动圆圆心的轨迹C的方程为；

（2）如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线的距离为，到y轴的距离为，F到直线的距离为，

由抛物线的定义，可知，

所以，

由图可知的最小值为F到直线的距离，

所以，

所以的最小值为．

20．（12分）

设点、分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设定点，已知过点且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求m的取值范围．

【解析】（1）设，则有，，

，，

由题意可得，解得或（舍去），

所以，所以椭圆C的方程为．

（2）由（1）得，设的方程为，代入，

消元整理得，

设、，则，，

所以，

设的中点为，则，

因为，所以，即，

所以，所以，

因为直线不与坐标轴垂直，所以，

所以，解得．

21．（12分）

已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．

(1)求双曲线的方程；

(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．

【解析】（1）设直线的方程为，联立，得，

又，，代入上式得，即，

∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．

（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

联立得，∴，，

∴直线的方程为，直线的方程为，

联立直线与直线的方程可得：

，两边平方得，

又，满足，

∴

，

∴，∴，或，（舍去）

综上，在定直线上，且定直线方程为．

22．（12分）

已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当时，求的值；

(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．

【解析】（1）由题意，得解得∴，故的方程为．

（2）由（1）知，

∴直线AB的方程为，由即，

设，，

则，，

∴．

设O点到直线AB的距离为d，则．

∴．

（3）设AB直线方程，

设，，，，

由由定比分点坐标公式：，

由于A，C满足椭圆方程，故得

两式作差得③，

将①②代入③可得，和①进行联立，

即，解得：

由同理可得，

∴

，

故．