专题02 数与式和方程的压轴真题训练-挑战2023年中考数学压轴真题汇编（全国通用）

专题02  数与式和方程的压轴真题训练

一．整式的加减（共2小题）

1．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，

给出下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；

③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．

以上说法中正确的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解答】解：①如（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，（x﹣y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故①符合题意；

②x﹣y﹣z﹣m﹣n的相反数为﹣x+y+z+m+n，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意；

③第1种：结果与原多项式相等；

第2种：x﹣（y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；

第3种：x﹣（y﹣z）﹣（m﹣n）＝x﹣y+z﹣m+n；

第4种：x﹣（y﹣z﹣m）﹣n＝x﹣y+z+m﹣n；

第5种：x﹣（y﹣z﹣m﹣n）＝x﹣y+z+m+n；

第6种：x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；

第7种：x﹣y﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n；

第8种：x﹣y﹣z﹣（m﹣n）＝x﹣y﹣z﹣m+n；故③符合题意；

正确的个数为3，

故选：D．

2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．

下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．

其中正确的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解答】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，

故①正确；

②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，

故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

故②正确；

③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，

∴2×2×2＝8种，

所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．

故选：D．

二．多项式乘多项式（共1小题）

3．（2022•南通）已知实数m，n满足m+n＝2+mn，则（2m﹣3n）+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（　　）

A．24 B． C． D．﹣4

【答案】B

【解答】解：方法1、∵m+n＝2+mn，

∴（2m﹣3n）+（m+2n）（m﹣2n）

＝4m+9n﹣12mn+m﹣4n

＝5m+5n﹣12mn

＝5（mn+2）﹣12mn

＝10﹣7mn，

∵m+n＝2+mn，

∴（m+n）＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），

∴mn≥﹣，

∴（m﹣n）＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），

∴mn≤2，

∴﹣≤mn≤2，

∴﹣14≤﹣7mn≤，

∴﹣4≤10﹣7mn≤，

即（2m﹣3n）+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，

故选：B．

方法2、设m+n＝k，则m+2mn+n＝k，

∴mn+2+2mn＝k，

∴mn＝k﹣，

∴原式＝10﹣7mn＝﹣k+≤，

故选：B．

三．零指数幂（共1小题）

4．（2022•娄底）若10＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．

例如：10＝100，则2＝lg100；10＝1，则0＝lg1．

对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．

例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）+lg5×lg2+lg2的值为（　　）

A．5 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【解答】解：原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2

＝lg5×lg（5×2）+lg2

＝lg5lg10+lg2

＝lg5+lg2

＝lg10

＝1．

故选：C．

四．有理数的乘方（共1小题）

5．（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2个不同的数据二维码，现有四名网友对2的理解如下：

YYDS（永远的神）：2就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

DDDD（懂的都懂）：2等于200；

JXND（觉醒年代）：2的个位数字是6；

QGYW（强国有我）：我知道2＝1024，10＝1000，所以我估计2比10大．

其中对2的理解错误的网友是 　  　（填写网名字母代号）．

【答案】DDDD

【解答】解：（1）∵2就是200个2相乘，

∴YYDS（永远的神）的说法正确；

∵2就是200个2相乘，200是2个200相乘，

∴2不等于200，

∴DDDD（懂的都懂）说法不正确；

∵2＝2，2＝4，2＝8，2＝16，2＝32，…，

∴2的尾数2，4，8，6循环，

∵200÷4＝50，

∴2的个位数字是6，

∴JXND（觉醒年代）说法正确；

∵2＝1024，10＝1000，

∴2＝（2）＝（1024），10＝（10）＝1000，

∵1024＞1000，

∴2＞10，

∴QGYW（强国有我）说法正确；

故答案为：DDDD．

五．二元一次方程组的应用（共1小题）

6．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】D

【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，

∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4，

∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，

最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6，

∴，

解得：，

∴x+y＝12，

故选：D．

六．高次方程（共1小题）

7．（2022•重庆）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 　    ．

【答案】4：3　

【解答】解：设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元，

由题意得：20%•2y•x+30%•a•3x+20%•y•2x＝25%（2xy+3ax+2xy），

15a＝20y，

∴＝，

则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3．

故答案为：4：3．

七．分式方程的解（共2小题）

8．（2022•重庆）关于x的分式方程+＝1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）

A．13 B．15 C．18 D．20

【答案】A

【解答】解：解分式方程得：x＝a﹣2，

∵x＞0且x≠3，

∴a﹣2＞0且a﹣2≠3，

∴a＞2且a≠5，

解不等式组得：，

∵不等式组的解集为y≥5，

∴＜5，

∴a＜7，

∴2＜a＜7且a≠5，

∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6＝13，

故选：A．

9．（2022•德阳）如果关于x的方程＝1的解是正数，那么m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＜﹣D．m＜﹣1且m≠﹣2

【答案】D

【解答】解：两边同时乘（x﹣1）得，

2x+m＝x﹣1，

解得：x＝﹣1﹣m，

又∵方程的解是正数，且x≠1，

∴，即，

解得：，

∴m的取值范围为：m＜﹣1且m≠﹣2．

故答案为：D．

10．（2021•达州）若分式方程﹣4＝的解为整数，则整数a＝　 ．

【答案】±1

【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），

整理得﹣2ax＝﹣4，

整理得ax＝2，

∵x，a为整数，

∴a＝±1或a＝±2，

∵x＝±1为增根，

∴a≠±2，

∴a＝±1．

故答案为：±1．

11．（2020•大庆）已知关于x的一元二次方程：x﹣2x﹣a＝0，有下列结论：

①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；

②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；

③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．

以上4个结论中，正确的个数为　　．

【答案】3

【解答】解：∵x﹣2x﹣a＝0，

∴Δ＝4+4a，

∴①当a＞﹣1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，

②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，

③方程的根为x＝＝1±，

∵a＞﹣1，

∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，

④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，

故答案为3．

12．（2020•常德）阅读理解：对于x﹣（n+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

x﹣（n+1）x+n＝x﹣nx﹣x+n＝x（x﹣n）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x+nx﹣1）．

理解运用：如果x﹣（n+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x+nx﹣1＝0，

因此，方程x﹣n＝0和x+nx﹣1＝0的所有解就是方程x﹣（n+1）x+n＝0的解．

解决问题：求方程x﹣5x+2＝0的解为 　                  ．

【答案】 　x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣

【解答】解：∵x﹣5x+2＝0，

∴x﹣4x﹣x+2＝0，

∴x（x﹣4）﹣（x﹣2）＝0，

∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，

则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x+2x﹣1）＝0，

∴x﹣2＝0或x+2x﹣1＝0，

解得x＝2或x＝﹣1，

故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．