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2021-2022学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）计算（x3）2的结果是（ ）
A．x3 B．x4 C．x5 D．x6
2．（4分）当前新冠肺炎疫情仍处于全球大流行状态，南非专家称，奥密克戎毒株致人再感染新冠病毒的风险是其他毒株的3倍．奥密克戎毒株的半径约为0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为（ ）
A．4.5×108 B．45×10﹣7 C．4.5×10﹣8 D．0.45×10﹣9
3．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，4，6 B．3，3，5 C．5，5，10 D．6，7，14
4．（4分）2022年清明节，许多外地员工滞留在上海，小豪在长清给远在上海的父母打电话，电话费随着通话时间的变化而变化．在这个过程中，自变量和因变量分别是（ ）
A．小豪和父母 B．小豪和电话费
C．电话费和通话时间 D．通话时间和电话费
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+2a＝3a2 B．（b+a）（﹣a+b）＝a2﹣b2
C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）2＝a2+b2
6．（4分）如图所示，已知∠1＝72°，∠2＝108°，∠3＝69°，则∠4的度数为（ ）
A．108° B．72° C．69° D．68°
7．（4分）若关于x的二次三项式x2﹣ax+9是完全平方式，则a的值是（ ）
A．±6 B．6 C．﹣6 D．±3
8．（4分）如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A＝（ ）
A．20o B．30o C．40o D．50o
9．（4分）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
10．（4分）小明从家里出发骑单车去上学，骑行了一段时间后，想起今天考试须要带2B铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校．以下是他所用的时间与离家距离的关系示意图，根据如图中的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．小明家到学校的路程是1800米
B．小明在文具店停留了4分钟
C．本次上学途中，小明一共行了3400米
D．若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患
11．（4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”，计算（a+b）6的展开式中第四项的系数为（ ）
A．6 B．7 C．15 D．20
12．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）已知一个角是70°，那么它的补角是 度．
14．（4分）已知一个长方形的面积为6a2+8a，宽为2a，那么它的长为 ．
15．（4分）若am＝3，an＝2，则am+n＝ ．
16．（4分）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠DAB的度数为＝ ．
17．（4分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…
18．（4分）如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，三角形MNR的面积为y，如果y随x变化的图象如图2所示，则三角形MNR的最大的面积是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）﹣a•a3﹣2a4+（2a2）2．
20．（6分）应用乘法公式简便运算：
（1）982；
（2）1232﹣124×122．
21．（6分）已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠EFC＝∠ADC＝90°（ ）
∴EF∥AD（ ）
∴∠1＝ （两直线平行，内错角相等）
∠2＝∠DAC（ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠DAC＝∠DAB（ ）
即AD平分∠BAC（ ）
22．（8分）（1）化简：（a+3）2﹣（a+2）（a+3）；
（2）先化简，再求值：．
23．（8分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C．∠1＝40°，求∠2的度数．
24．（10分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．
（1）求∠ECD的度数；
（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．
25．（10分）在防疫期间，某口罩生产厂为提高生产效益引进了新的设备，其中甲表示新设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系，乙表示旧设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系．
（1）由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了 天；在生产的第7天时，新设备比旧设备多生产 万个口罩；
（2）请你求出新、旧设备每天分别生产多少万个口罩？
（3）在第 天，新旧设备所生产的口罩数量相同．
26．（12分）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
（1）图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含m，n的式子表示）；
（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：
（i）若m+n＝6，mn＝4，求（m﹣n）2的值；
（ii）若，求的值．
27．（12分）直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数；
（2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ 度（直接写出结果，不需说理）；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．
2021-2022学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）计算（x3）2的结果是（ ）
A．x3 B．x4 C．x5 D．x6
【解答】解：（x3）2＝x6，
故选：D．
2．（4分）当前新冠肺炎疫情仍处于全球大流行状态，南非专家称，奥密克戎毒株致人再感染新冠病毒的风险是其他毒株的3倍．奥密克戎毒株的半径约为0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为（ ）
A．4.5×108 B．45×10﹣7 C．4.5×10﹣8 D．0.45×10﹣9
【解答】解：0.000000045＝4.5×10﹣8．
故选：C．
3．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，4，6 B．3，3，5 C．5，5，10 D．6，7，14
【解答】解：A、2+4＝6，不能够组成三角形，不符合题意；
B、3+3＞5，能构成三角形，符合题意；
C、5+5＝10，不能构成三角形，不符合题意；
D、6+7＜14，不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
4．（4分）2022年清明节，许多外地员工滞留在上海，小豪在长清给远在上海的父母打电话，电话费随着通话时间的变化而变化．在这个过程中，自变量和因变量分别是（ ）
A．小豪和父母 B．小豪和电话费
C．电话费和通话时间 D．通话时间和电话费
【解答】解：∵电话费随着通话时间的变化而变化，
∴自变量是通话时间，因变量是电话费．
故选：D．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+2a＝3a2 B．（b+a）（﹣a+b）＝a2﹣b2
C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）2＝a2+b2
【解答】解：a2+2a不能合并，故选项A错误，不符合题意；
（b+a）（﹣a+b）＝b2﹣a2，故选项B错误，不符合题意；
（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2，故选项C正确，符合题意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
6．（4分）如图所示，已知∠1＝72°，∠2＝108°，∠3＝69°，则∠4的度数为（ ）
A．108° B．72° C．69° D．68°
【解答】解：∵∠1＝72°，∠2＝108°，
∴∠1+∠2＝72°+108°＝180°；
∴c∥d（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠4＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝69°，
∴∠4＝69°．
故选：C．
7．（4分）若关于x的二次三项式x2﹣ax+9是完全平方式，则a的值是（ ）
A．±6 B．6 C．﹣6 D．±3
【解答】解：中间一项为加上或减去x和3积的2倍，
故a＝±6．
故选：A．
8．（4分）如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A＝（ ）
A．20o B．30o C．40o D．50o
【解答】解：如图，∵直线m∥n，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝70°，
∴∠3＝70°，
∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝30°，
∴∠A＝40°．
故选：C．
9．（4分）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△BDE＝S△ABD，
S△EDC＝S△CAE＝S△ACD，
∴S△ABE＝S△ABC，S△CDE＝S△ABC，
∴S△ABE+S△CDE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC＝×16＝8．
故选：D．
10．（4分）小明从家里出发骑单车去上学，骑行了一段时间后，想起今天考试须要带2B铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校．以下是他所用的时间与离家距离的关系示意图，根据如图中的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．小明家到学校的路程是1800米
B．小明在文具店停留了4分钟
C．本次上学途中，小明一共行了3400米
D．若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患
【解答】解：A．根据图象，学校的纵坐标为1800，小明家的纵坐标为0，
故小明家到学校的路程是1800米；故本选项不符合题意；
B．根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，
故小明在书店停留了4分钟；故本选项不符合题意；
C．一共行驶的总路程＝1400+（1400﹣600）+（1800﹣600）＝3400（米）；故本选项不符合题意；
D．由图象可知：0～6分钟时，平均速度＝＝233（米/分），
6～8分钟时，平均速度＝（米/分），
12～16分钟时，平均速度＝（米/分），
所以，若骑单车的速度大于300米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有2分钟的超速骑行，存在安全隐患，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
11．（4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”，计算（a+b）6的展开式中第四项的系数为（ ）
A．6 B．7 C．15 D．20
【解答】解：经过观察发现：
（a+b）5展开式共有6项，展开式的各项系数分别为1，5，10，10，5，1，
（a+b）6展开式共有7项，展开式的各项系数分别为1，6，15，20，15，6，1，
∴（a+b）6的展开式中第四项的系数为20．
故选：D．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）已知一个角是70°，那么它的补角是 110 度．
【解答】解：∵180°﹣70°＝110°，
∴这个角的补角的度数为110°．
故答案为：110．
14．（4分）已知一个长方形的面积为6a2+8a，宽为2a，那么它的长为 3a+4 ．
【解答】解：长为：（6a2+8a）÷2a
＝3a+4，
故答案为：3a+4．
15．（4分）若am＝3，an＝2，则am+n＝ 6 ．
【解答】解：∵am•an＝am+n，
∴am+n＝am•an＝3×2＝6．
16．（4分）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠DAB的度数为＝ 15° ．
【解答】解：∵AC∥DE，
∴∠CAD＝∠ADE＝30°，
∴∠DAB＝∠BAC﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
17．（4分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 15 min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…
【解答】解：设一次函数的表达式为h＝kt+b，t每增加一个单位h增加或减少k个单位，
∴由表可知，当t＝3时，h的值记录错误．
将（1，2.4）（2，2.8）代入得，，
解得k＝0.4，b＝2，
∴h＝0.4t+2，
将h＝8代入得，t＝15．
故答案为：15．
18．（4分）如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，三角形MNR的面积为y，如果y随x变化的图象如图2所示，则三角形MNR的最大的面积是 12 ．
【解答】解：当R在PN上运动时，面积y不断在增大，
当到达点P时，面积开始不变，到达Q后面积不断减小，
由图2可知：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，
当x＝10时，点R与点Q重合，PQ＝10﹣4＝6，
所以矩形PQMN的面积为：4×6＝24，
所以三角形MNR的最大面积是24÷2＝12．
故答案为：12．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）﹣a•a3﹣2a4+（2a2）2．
【解答】解：（1）
＝﹣﹣1+1
＝0；
（2）﹣a•a3﹣2a4+（2a2）2
＝﹣a4﹣2a4+4a4
＝a4．
20．（6分）应用乘法公式简便运算：
（1）982；
（2）1232﹣124×122．
【解答】解：（1）原式＝（100﹣2）2
＝10000﹣400+4
＝99604；
（2）原式＝1232﹣（123+1）×（123﹣1）
＝1232﹣（1232﹣1）
＝1232﹣1232+1
＝1．
21．（6分）已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠EFC＝∠ADC＝90°（ 垂直的定义 ）
∴EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠1＝ ∠BAD （两直线平行，内错角相等）
∠2＝∠DAC（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠DAC＝∠DAB（ 等量代换 ）
即AD平分∠BAC（ 角平分线的定义 ）
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴EF∥AD（在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行），
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角等），
∠2＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠DAC＝∠DAB，
即AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
故答案是：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠BAD；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义．
22．（8分）（1）化简：（a+3）2﹣（a+2）（a+3）；
（2）先化简，再求值：．
【解答】解：（1）原式＝a2+6a+9﹣（a2+2a+3a+6）
＝a2+6a+9﹣a2﹣2a﹣3a﹣6
＝a+3；
（2）原式＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷（﹣xy）
＝﹣x2y2÷（﹣xy）
＝xy，
当x＝5，y＝﹣时，原式＝5×（﹣）＝﹣．
23．（8分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C．∠1＝40°，求∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠CBA，
∵∠1＝40°，
∴∠CBA＝40°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠CBA＝90°，
∴∠2＝50°．
24．（10分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．
（1）求∠ECD的度数；
（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝×80°＝40°．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝40°﹣20°＝20°；
（2）∵CD⊥AB于D，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CED＝90°﹣∠ECD＝90°﹣20°＝70°，
又∵∠B＝70°，
∴∠CED＝∠B．
同理可求出：∠CDF＝70°，
∴∠CDF＝∠B．
综上所述，与∠B相等的角有∠CED和∠CDF．
25．（10分）在防疫期间，某口罩生产厂为提高生产效益引进了新的设备，其中甲表示新设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系，乙表示旧设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系．
（1）由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了 2 天；在生产的第7天时，新设备比旧设备多生产 7.2 万个口罩；
（2）请你求出新、旧设备每天分别生产多少万个口罩？
（3）在第 2或4 天，新旧设备所生产的口罩数量相同．
【解答】解：（1）由图象知，新设备因工人操作不当停止生产了2天，
在生产的第7天时，新设备生产24万个，旧设备生产16.8万个，
24﹣16.8＝7.2（万个），
故答案为：2，7.2；
（2）新设备：4.8÷1＝4.8（万个/天），乙设备：16.8÷7＝2.4（万个/天），
答：甲设备每天生产4.8万个口罩，乙设备每天生产2.4万个口罩；
（3）①2.4x＝4.8，
解得x＝2；
②2.4x＝4.8（x﹣2），
解得x＝4；
答：在生产过程中，x为2或4时，新旧设备所生产的口罩数量相同．
26．（12分）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
（1）图②中画有阴影的小正方形的边长为 m﹣n （用含m，n的式子表示）；
（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：
（i）若m+n＝6，mn＝4，求（m﹣n）2的值；
（ii）若，求的值．
【解答】解：（1）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n），
故答案为：m﹣n；
（2）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n），面积为：（m﹣n）2，
（图②中画有阴影的小正方形的面积还可以表示为：（m+n）2﹣4mn，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）（i）∵m+n＝6，mn＝4，
∴（m﹣n）2
＝（m+n）2﹣4mn
＝62﹣4×4
＝36﹣16
＝20；
（ii）∵，
∴a2+
＝﹣2
＝52﹣2
＝25﹣2
＝23．
27．（12分）直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数；
（2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ 45 度（直接写出结果，不需说理）；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．
【解答】解：（1）如图1中，
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，∵∠OAB＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA＝ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．
（2）如图2中，
①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，
∵∠CBA＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝45°，
故答案为：45．
②不变，
理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
（3）如图3中，
∵∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，
∴∠DAO＝∠BAO，∠FAO＝∠EAP，
∴∠DAF＝∠BAO+EAP＝×180°＝90°，
∴∠D＝∠POD﹣∠DAO＝∠POB﹣∠BAO＝（∠POB﹣∠BAO）＝∠ABO，
①当∠DAF＝4∠D时，∠D＝22.5°，
∴∠ABO＝2∠D＝45°．
②当∠DAF＝4∠F时，∠F＝22.5°，∠D＝67.5°，
∴∠ABO＝2∠D＝135°（不合题意舍弃）．
③当∠F＝4∠D时，∠D＝18°，
∴∠ABO＝2∠D＝36°．
④当∠D＝4∠F时，∠D＝72°，
∴∠ABO＝2∠D＝144°（不合题意舍弃）．
综上所述，当∠ABO＝45°或36°时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍．
2021-2022学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）计算（x3）2的结果是（ ）
A．x3 B．x4 C．x5 D．x6
2．（4分）当前新冠肺炎疫情仍处于全球大流行状态，南非专家称，奥密克戎毒株致人再感染新冠病毒的风险是其他毒株的3倍．奥密克戎毒株的半径约为0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为（ ）
A．4.5×108 B．45×10﹣7 C．4.5×10﹣8 D．0.45×10﹣9
3．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，4，6 B．3，3，5 C．5，5，10 D．6，7，14
4．（4分）2022年清明节，许多外地员工滞留在上海，小豪在长清给远在上海的父母打电话，电话费随着通话时间的变化而变化．在这个过程中，自变量和因变量分别是（ ）
A．小豪和父母 B．小豪和电话费
C．电话费和通话时间 D．通话时间和电话费
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+2a＝3a2 B．（b+a）（﹣a+b）＝a2﹣b2
C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）2＝a2+b2
6．（4分）如图所示，已知∠1＝72°，∠2＝108°，∠3＝69°，则∠4的度数为（ ）
A．108° B．72° C．69° D．68°
7．（4分）若关于x的二次三项式x2﹣ax+9是完全平方式，则a的值是（ ）
A．±6 B．6 C．﹣6 D．±3
8．（4分）如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A＝（ ）
A．20o B．30o C．40o D．50o
9．（4分）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
10．（4分）小明从家里出发骑单车去上学，骑行了一段时间后，想起今天考试须要带2B铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校．以下是他所用的时间与离家距离的关系示意图，根据如图中的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．小明家到学校的路程是1800米
B．小明在文具店停留了4分钟
C．本次上学途中，小明一共行了3400米
D．若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患
11．（4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”，计算（a+b）6的展开式中第四项的系数为（ ）
A．6 B．7 C．15 D．20
12．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）已知一个角是70°，那么它的补角是 度．
14．（4分）已知一个长方形的面积为6a2+8a，宽为2a，那么它的长为 ．
15．（4分）若am＝3，an＝2，则am+n＝ ．
16．（4分）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠DAB的度数为＝ ．
17．（4分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…
18．（4分）如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，三角形MNR的面积为y，如果y随x变化的图象如图2所示，则三角形MNR的最大的面积是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）﹣a•a3﹣2a4+（2a2）2．
20．（6分）应用乘法公式简便运算：
（1）982；
（2）1232﹣124×122．
21．（6分）已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠EFC＝∠ADC＝90°（ ）
∴EF∥AD（ ）
∴∠1＝ （两直线平行，内错角相等）
∠2＝∠DAC（ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠DAC＝∠DAB（ ）
即AD平分∠BAC（ ）
22．（8分）（1）化简：（a+3）2﹣（a+2）（a+3）；
（2）先化简，再求值：．
23．（8分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C．∠1＝40°，求∠2的度数．
24．（10分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．
（1）求∠ECD的度数；
（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．
25．（10分）在防疫期间，某口罩生产厂为提高生产效益引进了新的设备，其中甲表示新设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系，乙表示旧设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系．
（1）由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了 天；在生产的第7天时，新设备比旧设备多生产 万个口罩；
（2）请你求出新、旧设备每天分别生产多少万个口罩？
（3）在第 天，新旧设备所生产的口罩数量相同．
26．（12分）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
（1）图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含m，n的式子表示）；
（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：
（i）若m+n＝6，mn＝4，求（m﹣n）2的值；
（ii）若，求的值．
27．（12分）直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数；
（2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ 度（直接写出结果，不需说理）；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．
2021-2022学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）计算（x3）2的结果是（ ）
A．x3 B．x4 C．x5 D．x6
【解答】解：（x3）2＝x6，
故选：D．
2．（4分）当前新冠肺炎疫情仍处于全球大流行状态，南非专家称，奥密克戎毒株致人再感染新冠病毒的风险是其他毒株的3倍．奥密克戎毒株的半径约为0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为（ ）
A．4.5×108 B．45×10﹣7 C．4.5×10﹣8 D．0.45×10﹣9
【解答】解：0.000000045＝4.5×10﹣8．
故选：C．
3．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，4，6 B．3，3，5 C．5，5，10 D．6，7，14
【解答】解：A、2+4＝6，不能够组成三角形，不符合题意；
B、3+3＞5，能构成三角形，符合题意；
C、5+5＝10，不能构成三角形，不符合题意；
D、6+7＜14，不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
4．（4分）2022年清明节，许多外地员工滞留在上海，小豪在长清给远在上海的父母打电话，电话费随着通话时间的变化而变化．在这个过程中，自变量和因变量分别是（ ）
A．小豪和父母 B．小豪和电话费
C．电话费和通话时间 D．通话时间和电话费
【解答】解：∵电话费随着通话时间的变化而变化，
∴自变量是通话时间，因变量是电话费．
故选：D．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+2a＝3a2 B．（b+a）（﹣a+b）＝a2﹣b2
C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）2＝a2+b2
【解答】解：a2+2a不能合并，故选项A错误，不符合题意；
（b+a）（﹣a+b）＝b2﹣a2，故选项B错误，不符合题意；
（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2，故选项C正确，符合题意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
6．（4分）如图所示，已知∠1＝72°，∠2＝108°，∠3＝69°，则∠4的度数为（ ）
A．108° B．72° C．69° D．68°
【解答】解：∵∠1＝72°，∠2＝108°，
∴∠1+∠2＝72°+108°＝180°；
∴c∥d（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠4＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝69°，
∴∠4＝69°．
故选：C．
7．（4分）若关于x的二次三项式x2﹣ax+9是完全平方式，则a的值是（ ）
A．±6 B．6 C．﹣6 D．±3
【解答】解：中间一项为加上或减去x和3积的2倍，
故a＝±6．
故选：A．
8．（4分）如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A＝（ ）
A．20o B．30o C．40o D．50o
【解答】解：如图，∵直线m∥n，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝70°，
∴∠3＝70°，
∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝30°，
∴∠A＝40°．
故选：C．
9．（4分）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△BDE＝S△ABD，
S△EDC＝S△CAE＝S△ACD，
∴S△ABE＝S△ABC，S△CDE＝S△ABC，
∴S△ABE+S△CDE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC＝×16＝8．
故选：D．
10．（4分）小明从家里出发骑单车去上学，骑行了一段时间后，想起今天考试须要带2B铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校．以下是他所用的时间与离家距离的关系示意图，根据如图中的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．小明家到学校的路程是1800米
B．小明在文具店停留了4分钟
C．本次上学途中，小明一共行了3400米
D．若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患
【解答】解：A．根据图象，学校的纵坐标为1800，小明家的纵坐标为0，
故小明家到学校的路程是1800米；故本选项不符合题意；
B．根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，
故小明在书店停留了4分钟；故本选项不符合题意；
C．一共行驶的总路程＝1400+（1400﹣600）+（1800﹣600）＝3400（米）；故本选项不符合题意；
D．由图象可知：0～6分钟时，平均速度＝＝233（米/分），
6～8分钟时，平均速度＝（米/分），
12～16分钟时，平均速度＝（米/分），
所以，若骑单车的速度大于300米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有2分钟的超速骑行，存在安全隐患，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
11．（4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”，计算（a+b）6的展开式中第四项的系数为（ ）
A．6 B．7 C．15 D．20
【解答】解：经过观察发现：
（a+b）5展开式共有6项，展开式的各项系数分别为1，5，10，10，5，1，
（a+b）6展开式共有7项，展开式的各项系数分别为1，6，15，20，15，6，1，
∴（a+b）6的展开式中第四项的系数为20．
故选：D．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）已知一个角是70°，那么它的补角是 110 度．
【解答】解：∵180°﹣70°＝110°，
∴这个角的补角的度数为110°．
故答案为：110．
14．（4分）已知一个长方形的面积为6a2+8a，宽为2a，那么它的长为 3a+4 ．
【解答】解：长为：（6a2+8a）÷2a
＝3a+4，
故答案为：3a+4．
15．（4分）若am＝3，an＝2，则am+n＝ 6 ．
【解答】解：∵am•an＝am+n，
∴am+n＝am•an＝3×2＝6．
16．（4分）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠DAB的度数为＝ 15° ．
【解答】解：∵AC∥DE，
∴∠CAD＝∠ADE＝30°，
∴∠DAB＝∠BAC﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
17．（4分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 15 min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…
【解答】解：设一次函数的表达式为h＝kt+b，t每增加一个单位h增加或减少k个单位，
∴由表可知，当t＝3时，h的值记录错误．
将（1，2.4）（2，2.8）代入得，，
解得k＝0.4，b＝2，
∴h＝0.4t+2，
将h＝8代入得，t＝15．
故答案为：15．
18．（4分）如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，三角形MNR的面积为y，如果y随x变化的图象如图2所示，则三角形MNR的最大的面积是 12 ．
【解答】解：当R在PN上运动时，面积y不断在增大，
当到达点P时，面积开始不变，到达Q后面积不断减小，
由图2可知：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，
当x＝10时，点R与点Q重合，PQ＝10﹣4＝6，
所以矩形PQMN的面积为：4×6＝24，
所以三角形MNR的最大面积是24÷2＝12．
故答案为：12．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）﹣a•a3﹣2a4+（2a2）2．
【解答】解：（1）
＝﹣﹣1+1
＝0；
（2）﹣a•a3﹣2a4+（2a2）2
＝﹣a4﹣2a4+4a4
＝a4．
20．（6分）应用乘法公式简便运算：
（1）982；
（2）1232﹣124×122．
【解答】解：（1）原式＝（100﹣2）2
＝10000﹣400+4
＝99604；
（2）原式＝1232﹣（123+1）×（123﹣1）
＝1232﹣（1232﹣1）
＝1232﹣1232+1
＝1．
21．（6分）已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠EFC＝∠ADC＝90°（ 垂直的定义 ）
∴EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠1＝ ∠BAD （两直线平行，内错角相等）
∠2＝∠DAC（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠DAC＝∠DAB（ 等量代换 ）
即AD平分∠BAC（ 角平分线的定义 ）
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴EF∥AD（在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行），
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角等），
∠2＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠DAC＝∠DAB，
即AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
故答案是：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠BAD；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义．
22．（8分）（1）化简：（a+3）2﹣（a+2）（a+3）；
（2）先化简，再求值：．
【解答】解：（1）原式＝a2+6a+9﹣（a2+2a+3a+6）
＝a2+6a+9﹣a2﹣2a﹣3a﹣6
＝a+3；
（2）原式＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷（﹣xy）
＝﹣x2y2÷（﹣xy）
＝xy，
当x＝5，y＝﹣时，原式＝5×（﹣）＝﹣．
23．（8分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C．∠1＝40°，求∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠CBA，
∵∠1＝40°，
∴∠CBA＝40°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠CBA＝90°，
∴∠2＝50°．
24．（10分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．
（1）求∠ECD的度数；
（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝×80°＝40°．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝40°﹣20°＝20°；
（2）∵CD⊥AB于D，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CED＝90°﹣∠ECD＝90°﹣20°＝70°，
又∵∠B＝70°，
∴∠CED＝∠B．
同理可求出：∠CDF＝70°，
∴∠CDF＝∠B．
综上所述，与∠B相等的角有∠CED和∠CDF．
25．（10分）在防疫期间，某口罩生产厂为提高生产效益引进了新的设备，其中甲表示新设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系，乙表示旧设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系．
（1）由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了 2 天；在生产的第7天时，新设备比旧设备多生产 7.2 万个口罩；
（2）请你求出新、旧设备每天分别生产多少万个口罩？
（3）在第 2或4 天，新旧设备所生产的口罩数量相同．
【解答】解：（1）由图象知，新设备因工人操作不当停止生产了2天，
在生产的第7天时，新设备生产24万个，旧设备生产16.8万个，
24﹣16.8＝7.2（万个），
故答案为：2，7.2；
（2）新设备：4.8÷1＝4.8（万个/天），乙设备：16.8÷7＝2.4（万个/天），
答：甲设备每天生产4.8万个口罩，乙设备每天生产2.4万个口罩；
（3）①2.4x＝4.8，
解得x＝2；
②2.4x＝4.8（x﹣2），
解得x＝4；
答：在生产过程中，x为2或4时，新旧设备所生产的口罩数量相同．
26．（12分）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
（1）图②中画有阴影的小正方形的边长为 m﹣n （用含m，n的式子表示）；
（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：
（i）若m+n＝6，mn＝4，求（m﹣n）2的值；
（ii）若，求的值．
【解答】解：（1）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n），
故答案为：m﹣n；
（2）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n），面积为：（m﹣n）2，
（图②中画有阴影的小正方形的面积还可以表示为：（m+n）2﹣4mn，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）（i）∵m+n＝6，mn＝4，
∴（m﹣n）2
＝（m+n）2﹣4mn
＝62﹣4×4
＝36﹣16
＝20；
（ii）∵，
∴a2+
＝﹣2
＝52﹣2
＝25﹣2
＝23．
27．（12分）直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数；
（2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ 45 度（直接写出结果，不需说理）；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．
【解答】解：（1）如图1中，
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，∵∠OAB＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA＝ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．
（2）如图2中，
①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，
∵∠CBA＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝45°，
故答案为：45．
②不变，
理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
（3）如图3中，
∵∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，
∴∠DAO＝∠BAO，∠FAO＝∠EAP，
∴∠DAF＝∠BAO+EAP＝×180°＝90°，
∴∠D＝∠POD﹣∠DAO＝∠POB﹣∠BAO＝（∠POB﹣∠BAO）＝∠ABO，
①当∠DAF＝4∠D时，∠D＝22.5°，
∴∠ABO＝2∠D＝45°．
②当∠DAF＝4∠F时，∠F＝22.5°，∠D＝67.5°，
∴∠ABO＝2∠D＝135°（不合题意舍弃）．
③当∠F＝4∠D时，∠D＝18°，
∴∠ABO＝2∠D＝36°．
④当∠D＝4∠F时，∠D＝72°，
∴∠ABO＝2∠D＝144°（不合题意舍弃）．
综上所述，当∠ABO＝45°或36°时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍．
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