苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程课后测评

这是一份苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程课后测评，共8页。试卷主要包含了直接开平方法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，配方法的应用等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程解法（1） 一、单选题知识点一、直接开平方法解一元二次方程1．方程（x+1）2＝0的根是（　　）A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根2．一元二次方程的解是（ ）A． B． C． D．3．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）A． B． C． D．4．方程 x2=（x﹣1）0  的解为（    ）A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0知识点二、配方法解一元二次方程5．用配方法解方程，变形后的结果正确的是(   )A． B． C． D．6．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（　　）A．3 B．4 C．6 D．97．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ）．A． B．C． D．8．一元二次方程根的情况是（   ）A．无实数根 B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3知识点三、配方法的应用9．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）A． B． C． D．10．不论x，y为什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值(　　)A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数11．对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（ ）A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定12．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 二、填空题知识点一、直接开平方法解一元二次方程13．方程的根是_______．14．方程x2﹣4＝0的解是_____．15．已知，则的值为__________．16．若一元二次方程的两个根是与，则________．知识点二、配方法解一元二次方程17．规定：，如：，若，则＝__.18．已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为_____．19．若x2-6xy+9y2=0，则=_________.20．一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是________．知识点三、配方法的应用21．若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．22．用配方法解方程时，可配方为，其中________．23．若将方程x2+2x﹣1=0配方成（x+a）2=h的形式，则a+h的值是_____．24．已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则△ABC是_____________三角形；若a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC是_________三角形． 三、解答题知识点一、配方法解一元二次方程25．用适当的方法解方程：(1) 　          (2) - 2x＝5(3) x 2 -4x+2＝0                (4)    26．解下列方程：（1）x2+10x+25=0            （2）x2﹣x﹣1=0．  知识点二、配方法的应用27．阅读下面的解答过程，求y2＋4y＋8的最小值．解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y+2)2+4≥4，∵(y＋2)2≥0即(y＋2)2的最小值为0，∴y2＋4y＋8的最小值为4.仿照上面的解答过程，求m2＋m＋4的最小值和4﹣x2＋2x的最大值.   28．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x　   　）2+　   　；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
参考答案1．B【分析】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.解：(x+1)2＝0,所以 x+1=0,所以x1＝x2＝﹣1,故选B.【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.2．D【分析】这个式子先移项，变成x2=4，从而把问题转化为求4的平方根．解：移项得，x2=4开方得，x=±2，故选D．【点拨】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．3．D解：将两边开平方，得，则则另一个一元一次方程是．故选D．4．A【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x的值即可.解：∵(x-1)0有意义，∴x-1≠0，即x≠1，∵x2=（x﹣1）0∴x2=1，即x=±1∴x=-1.故选A.【点拨】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.5．D【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.解：，，，所以，故选D.【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.6．A解：根据题意得:|x2–4x+4|+=0，所以|x2–4x+4|=0，=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．7．A【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.解：移项得，二次项系数化1的，配方得即故选：A【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．8．D解：分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值．（x+1）（x﹣3）=2x﹣5整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3．故选D．点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．9．D解：根据配方的正确结果作出判断：．故选D．10．A【分析】把代数式x2+y2+2x-4y+7根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解．解：x2+y2+2x-4y+7= x2 +2x+1+y2-4y+4+2=（x+1）2+（y-2）2+2≥2，则不论x，y是什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值总不小于2，故选A.11．B解：试题解析：x2-5x+8=x2-5x++=（x-）2+，任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，所以（x-）2+的最小值是，故多项式x2-5x+8的值是一个正数，故选B．考点：1.配方法的应用；2.非负数的性质：偶次方．12．A【解析】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．13．【分析】利用直接开平方法解方程.解：，∴，故答案为：.【点拨】此题考查一元二次方程的解法：直接开平方法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.14．±2【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．解：x2﹣4＝0，移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，故答案为：±2．【点拨】此题主要考查了解一元二次方程，掌握方法是解答此题的关键．15．1.【分析】先把化成完全平方式，然后直接开平方，即可求解．解：∵,∴,∴,∴,∴.故答案为1.【点拨】本题考查用直接开平方法解一元二次方程和完全平方公式，本题中对已知等式进行变形时，应把看成一个整体进行计算.16．【分析】先利用直接开平方法得到x=±，再根据方程的两个根互为相反数，得出3m+1+m﹣9=0，求出m的值，得出方程的两个根分别是7与﹣7，从而得出答案．解：∵ax2=b（ab＞0）∴x2=（ab＞0），∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴3m+1+m﹣9=0，解得：m=2，∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是7与﹣7，∴49a=b，∴=49．故答案为49．【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．17．1或-3【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．解：依题意得：（2+x）x=3，整理，得 x2+2x=3，所以 （x+1）2=4，所以x+1=±2，所以x=1或x=-3．故答案是：1或-3．【点拨】用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．18．3【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．解：依题意得：，解得 ∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3=0，解得a=3．故答案是：3．点睛：考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．19．3【分析】根据完全平方公式把左边写成完全平方的形式，即可求出x与y 的关系.解：∵x2-6xy+9y2=0，∴(x-3y)2=0，∴x=3y，∴=3.故答案为3.【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20．x1=x2=2【分析】根据配方法即可解方程.解：x2﹣4x+4=0（x-2）2=0∴x1=x2=2【点拨】本题考查了用配方法解一元二次方程,属于简单题,选择配方法是解题关键.21．-7【分析】利用配方法把变形为（x-2）-9，则可得到m和k的值，然后计算m+k的值．解：x−4x−5=x−4x+4−4−5=(x−2) −9，所以m=2，k=−9，所以m+k=2−9=−7.故答案为-7【点拨】此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握运算法则.22．-6【分析】把方程左边配成完全平方，与比较即可.解：，，，可配方为，.故答案为.【点拨】本题考查用配方法来解一元二次方程，熟练配方是解决此题的关键.23．3【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，则把方程左边写成完全平方的形式得到（x+1）2=2，于是得到a=1，h=2，然后计算a+h即可．解：x2+2x=1，x2+2x+1=1+1，（x+1）2=2，所以a=1，h=2，所以a+h=1+2=3．故答案是：3．【点拨】考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．24．直角;    等边.    【解析】【分析】把25分成9、16，利用配方法把a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0改写为(a-3)2+(b-4)2+=0，利用非负数的性质求出a、b、c的值，根据勾股定理逆定理判断即可；利用配方法把a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0改写为(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,再利用非负数的性质,可分别求出a、b、c的的关系.解：∵a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，∴(a-3)2+(b-4)2+=0，∴a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形；∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a=b，b=c，a=c，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形.故答案为直角；等边.【点拨】此题考查了配方法的应用、勾股定理逆定理、非负数的性质,解题的关键是注意配方法的步骤,在变形的过程中不要改变式子的值.25．（1）x1=6,x2=0；（2）x1=1+,x2=1−；（3）x1=2+,x2=2−；（4）x1=3,x2=.【分析】（1）可以变形为：（x-3）2=9，直接开方求解．（2）两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解；（3）常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解；（4）移项，方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解：(1)(x−3)2−9=0；   (x−3)2=9，∴x−3=±3，∴x1=6,x2=0；             (2)x2−2x=5；x2−2x+1=5+1，(x−1)2=6，∴x−1=±，∴x1=1+,x2=1−；    (3)x2−4x+2=0；x2−4x=−2，x2−4x+4=−2+4，(x−2)2=2，∴x−2=±，∴x1=2+,x2=2−；    (4)2(x−3)=3x(x−3)2(x−3)−3x(x−3)=0，(x−3)(2−3x)=0，∴x−3=0或2−3x=0，∴x1=3,x2=.【点拨】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解一元二次方程-配方法，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则.26．（1）x1=x2=﹣5；（2）x1=，x2=．解：（1）配方，得：（x+5）2=0，开方，得：x+5=0，解得x=﹣5，x1=x2=﹣5；（2）移项，得：x2﹣x=1，配方，得：x2﹣x+=，，开方，得，．【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，其步骤是：①转化：将方程化为ax2+bx+c=0的形式；②移项：将常数项移到等号的右边，即ax2+bx=-c；③系数化1：将二次项系数化为1，即化为的形式；④配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，即；⑤整理：把左边写成完全平方式， ；⑥开方：两边开平方求出未知数的值.27．； 5【分析】多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．解：（1）m2+m+4=(m+)2+，∵（m+）2≥0，∴(m+)2+≥．则m2+m+4的最小值是；，∵≤0，∴≤5，∴最大值是5.【点拨】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．28．（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再求x＋y的值；（3）将两式相减，再配方即可作出判断．解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，则x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，则x+y＝2﹣1＝1；（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2﹣1＞2x﹣3．【点拨】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．