数学八年级下册16.1 二次根式第2课时学案及答案

第十六章  二次根式

16.1  二次根式

第2课时  二次根式的性质

学习目标：1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；

2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.

重点：掌握二次根式的两个性质：.

难点：会利用二次根式的性质解题.

一、知识回顾

1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？

2.使式子有意义的条件是_______________.

一、要点探究

探究点1：的性质

活动1   如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？

活动2   为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？

a(a≥0)  算术平方根            平方运算     

观察两者有什么关系？

根据活动 2 直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：

要点归纳：一般地，(a____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.

典例精析

例1 计算：

例2  在实数范围内分解因式：

方法总结:本题逆用了在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.

针对训练

计算：

探究点2：的性质

填一填：

a(a≥0)                                     

              平方运算                 算术平方根    

观察两者有什么关系？

思考：当 a＜0 时，

a(a≥0)                                     

              平方运算                 算术平方根    

观察两者有什么关系？

要点归纳：的性质：

即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

典例精析

例3 化简：

方法总结:利用化简求值时，而 3.14＜π，要注意a的正负性.

练一练

1. 计算：

辩一辩：请同学们快速分辨下列各题的对错：

例4  实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:

【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.

方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.

例5   已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：

分析：

探究点3：代数式的定义

 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

想一想  到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？

典例精析

例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；

（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.

方法总结:列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．

针对训练

1.在下列各式中，不是代数式的是（　　）

A.7           B.3＞2        C.           D.

2. 如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.

二、课堂小结

1.化简得（    ）

A. ±4         B. ±2         C.  4            D.-4

2.当1<x<3时，的值为（    ）

A.3                B.-3             C.1             D.-1

3.下列式子是代数式的有                     (       )

①a2+b2 ; ②; ③13; ④x=2; ⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧

A.3个                B.4个            C.5个             D.6个

 4.化简：

（1）＝_______ ; （2）＝_______;              

（3）; （4）.

5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_________.

能力提升

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.一般地，我们把形如的式子叫作二次根式.

2. a≥0

课堂探究

一、要点探究

探究点1：的性质

活动1：正方形的边长为， 用边长表示正方形的面积为 ，

又∵面积为 a，即                     . 

活动2： 

根据活动 2：0,2,4，

要点归纳：≥，它本身

例1： 解：

例2：解：

针对训练

解：

探究点2：的性质

填一填：

思考：

典例精析

例3：解：

练一练

1：解：

辨一辨：（1）×（2）×（3）√（4）√

议一议：

例4：解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a -b＜0，

∴ 原式 = | a | - | b | + | a - b |=  - a - b -（a - b）=  -2a.

【变式题】解：根据数轴可知 b＜a＜0，

∴ a + 2b＜0，a - b＞0，则 = | a + 2b | + | a - b |

= - a - 2b + a - b = - 3b．

例5 解：∵ a、b、c 是 △ABC 的三边长，

∴ a + b + c＞0，b + c＞a，b + a＞c，

∴ 原式 = | a + b + c| - | b + c - a | + | c - b - a | = a + b + c - ( b + c - a ) + ( b + a - c)

 = a + b + c - b - c + a + b + a - c = 3a + b - c．

探究点3：代数式的定义

概念学习：数  ，  表示数的字母

代数式：整式，分式，二次根式

例6 解：

(1) 船在这条河中顺水行驶的速度是 (v+2.5) km/h，逆水行驶的速度是      

    (v - 2.5)km/h．

(2)  设贺卡的长为 5x ，则宽为 3x. 依题意得 15x2 = S，

所以 所以它的长为

针对训练

1.B  2.

当堂检测

1.C    2.D     3.C    4. 3,4,7,8  5. 1

6.  (1)    (2)   (3)  (4)

(5)      (6)

7. 解：(1) 由题意得 a + 2≥0，-4 - 2a≥0，∴  a = -2.

                                         (1)  解：由题意得 -a2≥0，又∵a2≥0，∴ a2 = 0，∴ a = 0，