数学八年级下册18.2.2 菱形第1课时导学案

第十八章  平行四边形

18.2.2  菱  形

第1课时  菱形的性质

学习目标：1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；

2. 探索并证明菱形的性质定理；
3. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.

重点：探索并证明菱形的性质定理.

难点：应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.

一、知识回顾

1.平行四边形是什么？它有哪些性质？

2.矩形有哪些不同于平行四边形的性质？

二、新知预习

1.我们知道矩形是由平行四边形角的变化得到，如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?

2.自主学习：

(1)菱形的定义：有一组邻边_________的平行四边形.

(2)菱形是特殊的平行四边形，平行四边形_________是菱形.

三、自学自测

1.菱形是常见的图形，你能举出一些生活中的实例吗？

2.菱形是特殊的平行四边形，你能根据平行四边形的性质，说出菱形的3条性质吗？

四、我的疑惑

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一、要点探究

探究点1：菱形的性质

活动1  如何利用折纸、剪切的方法,既快又准确地剪出一个菱形纸片？观看下面讲解：

        第一步：从下往上对折纸片；

      第二步：从左往右对折纸片；第三步：画斜线，剪下直角三角形.

活动2   在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图）.

想一想  1.菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.

        2.根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两条对角线有什么关系?

        猜想1：菱形的四条边都__________.          

        猜想2：菱形的两条对角线互相_______，并且每一条对角线________一组对角.

证一证  已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.     

求证:(1)AB = BC = CD =AD；

     (2)AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

       ∴AB___CD，AD___BC.

       又∵AB=AD,

       ∴AB___BC___CD___AD.

      （2）∵AB = AD,

       ∴△ABD是______三角形.

       又∵四边形ABCD是平行四边形,

       ∴OB___OD.

       在等腰三角形ABD中,

       ∵OB = OD，

       ∴AO___BD，AO平分∠BAD，

       即AC___BD，∠DAC____∠BAC.

       同理可证∠DCA___∠BCA，∠ADB___∠CDB，∠ABD___∠CBD.

要点归纳：菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.

例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．

例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.

方法总结:菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．

例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.

针对训练

1.如图，在菱形ABCD中,已知∠A＝60°,AB＝5,则△ABD的周长是    （    ）                                

A.10            B.12            C.15           D.20

2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.

探究点2：菱形的面积

想一想: 1.菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形ABCD的面积呢?

2.前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?

3.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD,

∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC

=________+________

=____AC(_____+_____)

=_____________.

要点归纳：菱形的面积 = 底×高 = ___________乘积的一半.

典例精析

例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.

方法总结:菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．

例5(教材P56例3变式)如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：

（1）两条对角线的长度；

（2）菱形的面积．

方法总结:菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.

针对训练

如图，已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）

A.2.4cm                 B.4.8cm    

C.5cm                   D.9.6cm

二、课堂小结

1.   菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（    ）

A.对角相等                    B.对边相等

C.对角线互相垂直              D.对角线相等

2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（　　）

A.18             B.16       

C.15             D.14

3.根据下图填一填：

（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是 ______.

（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______.

（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_______. 

（4）菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为______.

（5）菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为1∶2,则菱形最短的那条对角线长为______.

4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.

求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.

5. 如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．

6. 如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过

B点作作BE∥AC，CE与BE相交于点E.