九年级上册23.1 图形的旋转当堂达标检测题

这是一份九年级上册23.1 图形的旋转当堂达标检测题，共19页。试卷主要包含了1 图形的旋转，【答案】120°等内容，欢迎下载使用。


要点一、旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
要点二、旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
要点三、旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点诠释：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
类型一、旋转的概念与性质
例1、如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是谁?
（2）旋转方向如何?
（3）经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？
（4）图中哪个角是旋转角？
（5）四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？
（6） AO与DO的长度有什么关系？ BO与EO呢？
（7）∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？
解析：（1）旋转中心是点O；（2）旋转方向是顺时针方向；（3）点A的对应点是点D,点B的对应点是点E;(4)∠AOD和∠BOE;(5) 四边形AOBC与四边形DOEF的图形全等，即形状一致，大小相等；（6）AO=DO,BO=EO;(7)∠AOD=∠BOE.
总结：通过具体实例认识旋转，了解旋转的概念和性质.
练习：如图，为等边三角形，D为内一点，经过旋转后到达 的位置.(1)旋转中心为_______,(2)旋转角为_________,(3) 是_____三角形。
类型二、确定旋转中心
例2、AB为旋转前的线段，CD为旋转后的对应线段，A、C为对应点，B、D为对应点，则旋转中
心在哪？
解析：两组对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心。
练习：如图，△DEF是△ABC关于某一点旋转后的图形，作出旋转中心O.

类型三、图形旋转的计算
例3、如图，已知长方形ABCD 的周长为20，AB=4，点E在BC上，且 AE⊥EF，AE=EF，求CF的长。
解析：易证△ABE≌△ECF，推出AB=EC=4，根据矩形周长求出BC=6，则CF=BE=BC-EC=BC-AB=2．
练习：如图（1）设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，求∠APB的度数.
例4、如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为
PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。
解析：将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△CP′B，连接PP′，由旋转的性质可知△BP′C≌△BPA，由此可得BP=BP′，AP=CP′=1；
根据已知可得△BPP′为等腰直角三角形，接下来根据勾股定理逆定理可得△PP′C为直角三角形，由此即可得解；
对于（2），过点A作AH⊥BP于点H，结合（1）的结论可得△APH为等腰直角三角形，由此可得AH=PH，AH2+HP2=AP2；
根据以上关系式可求出HP的值，进而可得HB的值，再根据S正方形ABCD=AB2=AH2+HB2即可解答本题.
练习：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心，逆时针旋转90°至ED，连结AE、CE，求△ADE的面积。
例5、如图，点F在正方形ABCD的边BC上，AE平分∠DAF ，请说明DE=AF-BF成立的理由 。
解析：延长FB至，则≌，所以，，
∵∥DE，∴，∵AE平分，
∴，∴，∴，
即
练习：如图，正方形ABCD内一点P，∠PAD＝∠PDA＝15°，连结PB、PC，请问：ΔPBC是等边三角形吗？为什么？

例6、在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角(0°＜＜90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于D，F两点．
(1)如图，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC是怎样的数量关系?并证明你的结论；
(2)如图，当＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；
(3)在(2)的情况下，求ED的长．
解析：(1)EA1=FC.
证明∵AB=BC，∴∠A=∠C.
由旋转可知,AB=BC1,∠A=∠C1,∠ABE=∠C1BF，
∴△ABE≌△C1BF.∴BE=BF,又∵BA1=BC，
∴BA1−BE=BC−BF.即EA1=FC.
(2)四边形BC1DA是菱形。
证明：∵∠A1=∠ABA1=30∘，∴A1C1∥AB,同理AC∥BC1.
∴四边形BC1DA是平行四边形。又∵AB=BC1，
∴四边形BC1DA是菱形。
(3)过点E作EG⊥AB于点G,则AG=BG=1.
由题意可知，在Rt△AEG中,AE=2GE=
由(2)知四边形BC1DA是菱形，
∴AD=AB=2，
∴ED=AD−AE=2−.
练习：若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
图1 图2 图3
图8
例7、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由．
B
C
N
M
图2
A
D
M
B
C
N
图3
A
D
B
C
N
M
图1
A
D
解析：
（1）分别证明△ABE≌△ADN、△AEM≌△ANM，根据全等三角形的性质解答；
（2）由（1）的证明方法相同，证明即可；
（3）根据题意求出△AFN的面积，根据全等三角形的性质解答．
一. 选择题
1.如图四个圆形网案中，分别以它们所在网的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A．B．C．D．
2.下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是( )

3. 有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )．
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )．
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．如图，△ADE绕点D的顺时针旋转，旋转的角是∠ADE，得到△CDB，那么下列说法错误的是( )．
A．DE平分∠ADB B．AD＝DC C．AE∥BD D．AE＝BC
6. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为( )

A.10° B.15° C.20° D.25°
二. 填空题
7.如图，△ABC与△ADE都是直角三角形，∠C与∠AED都是直角，点E在AB上，∠D=30°，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点______，至少旋转了_____.

8. 针表的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过15分钟，分针旋转了__________.
9．正三角形绕其中心至少旋转__________，可与其自身重合.
10. 一个平行四边形ABCD绕其对角线的交点旋转，至少要旋转________，才可与其自身重合.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为 cm．
12. 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△，则点P与点P′之间的距离为_____，∠APB=_______．

三． 综合题
13.如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
14. 如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，F是DC的延长线上一点，且∠BAE=∠FAE.
求证：BE+DF=AF.

15.如图，是边长为的正方形的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在点处，并将纸板绕点旋转，其半径分别交、于点，
求证：正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值
16、如图，画出绕点逆时针旋转所得到的图形．

17、如图，在ΔABC中，∠ ACB =90°，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。
18、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
F
B
A
D
C
E
G
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
F
B
A
D
C
E
G

19、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（ ）
A．B．C．D．﹣1
第二十三章旋转
23.1 图形的旋转
课后巩固
解析：一、选择题
1．【答案】D；
【解析】A图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，A不正确；
B图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，B不正确；
C图形顺时针旋转180°后，能与原图形完全重合，C不正确；
D图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，D正确，
故选：D．
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
【解析】连接对应点,做三条线段的垂直平分线，交点即是旋转中心。
5．【答案】C
【解析】因为旋转，△ADE≌△CDB,即可证得A,B,D成立.
6．【答案】B
【解析】因为△BCE旋转90°得到△DCF，所以EC=CF,∠CFD=∠CEB=60°,即
∠EFC=45°，所以∠EFD=60°45°=15°
二、填空题
7.【答案】A;60°.
8.【答案】90°
【解析】°
9.【答案】120°
10.【答案】180°
【解析】平行四边形的对角线互相平分.
11.【答案】42；
【解析】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=CD=12cm，
在Rt△ACB中，AB==13，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），
故答案为：42．
12.【答案】6；150°
【解析】△PAC绕点A逆时针旋转后得到
所以,,
即∠=60°，=AP= AP′=6，
所以∠=60°
又因为=6，=8，=10
所以△是直角三角形，
即∠=90°
所以∠APB=150°.
三．解答题
13.【解析】
（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=﹣1．
14.【解析】将△ABE绕A点逆时针旋转90°到△ADE′，则由正方形和旋转的特征可知，DE′=BE，∠DAE′=∠BAE，∠E′=∠AEB，
且DE′与DF成一条直线，
由于∠BAE=∠FAE，
而∠AEB=∠DAE，所以∠AEB=∠FAE′，
即∠E′=∠FAE′，
所以E′F=AF，故BE+DF=AF.
15.【解析】如图：因为∠AOD=∠MON=90°，即∠1+∠3=∠2+∠3
所以∠1=∠2
又因为正方形ABCD,所以OA=OD,∠BA0=∠ODA
所以△OAM≌△ODN,即AM=DN
所以AM+AN=AN+DN=AD=
16.
(∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=100°)
17.135°
18.（1）证明：∵EF⊥BD，
∴△DEF为直角三角形，
∵G为DF中点，
∴EG=DF,(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
在正方形ABCD中,∠BCD=90∘，
又G为DF中点，
∴CG=DF,(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴EG=CG.
（2）中结论仍然成立，即EG=CG.
证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点。
在△DAG与△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG(SAS)，
∴AG=CG；
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴△DMG≌△FNG(ASA)，
∴MG=NG；
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90∘，
∴四边形AENM是矩形，
在矩形AENM中，AM=EN，
在△AMG与△ENG中，
∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，
∴△AMG≌△ENG(SAS)，
∴AG=EG，
∴EG=CG.
19.【思路点拨】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．
【答案】D.
【解析】解：连接AC1，
∵四边形AB1C1D1是正方形，
∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1，
∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，
∴∠B1AB=45°，
∴∠DAB1=90°﹣45°=45°，
∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴四边形AB1C1D1的边长是1，
在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1==，
则DC1=﹣1，
∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，
∴∠C1OD=45°=∠DC1O，
∴DC1=OD=﹣1，
∴S△ADO=×OD•AD=，
∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1，
故选：D．