中考数学一轮复习考点提高练习专题12 二次函数（教师版）

这是一份中考数学一轮复习考点提高练习专题12 二次函数（教师版），共14页。试卷主要包含了二次函数的概念，根据图像判断a,b,c的符号，二次函数与一元二次方程的关系，函数平移规律，故答案为8，上述结论中正确的是　 　等内容，欢迎下载使用。

专题12 二次函数
专题知识回顾



1．二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质


y
x
O





（1）对称轴：
（2）顶点坐标：
（3）与y轴交点坐标（0，c）
（4）增减性：
当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；
当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式。
（1）一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0).
已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式

已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式
已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c的符号
（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y轴交点坐标（0，c）
5．二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。
抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0
>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；
=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；
<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。
6．函数平移规律：左加右减、上加下减.图像平移步骤
（1）配方为： ，确定顶点（h,k）
（2）对x轴， 左加右减；对y轴， 上加下减。
7.二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等，那么对称轴
专题典型题考法及解析



【例题1】（2019湖北荆州）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是　 　．
【答案】7
【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，
即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，
故答案为：7．
【例题2】（2019广西贺州）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是　　（填写序号）．

【答案】①③④
【解析】根据图象可得：，，
对称轴：，
，
，
，
，故①正确；
把代入函数关系式中得：，
由抛物线的对称轴是直线，且过点，可得当时，，
，故②错误；
，
，
即：，故③正确；
由图形可以直接看出④正确．
故答案为：①③④．
【例题3】（2019贵州省毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
15
20
30
…
y（袋）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元
【答案】见解析。
【解析】根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可；
利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
（1） 依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b得
，解得
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40
（2）依题意，设利润为w元，得
w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400
整理得w＝﹣（x﹣25）2+225
∵﹣1＜0
∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
专题典型训练题


一、选择题
1.（2019广西河池）如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是　　

A． B． C． D．
【答案】．
【解析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
.由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本选项正确，不符合题意；
.由抛物线与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意；
.由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合题意；
.由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意．故选：．
2.（2019哈尔滨）将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，故选B．
3.（2019湖北咸宁）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　）
A．y＝x B．y C．y＝x2 D．y＝﹣x2
【答案】D
【解析】∵A（﹣1，m），B（1，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y＝x，y的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；
∵n＞0，
∴m﹣n＜m；
由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴D选项正确。
4.（2019年陕西省）已知抛物线，当时，，且当时， y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据“当时，”，得到一个关于m不等式，在根据抛物线，可知抛物线开口向上，再在根据“当时， y的值随x值的增大而减小”，可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，从而列出第二个关于m的不等式，两个不等式联立，即可解得答案．
因为抛物线，
所以抛物线开口向上．
因为当时，，
所以 ①，
因为当时， y的值随x值的增大而减小，
所以可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，
所以②，
联立不等式①，②，解得．
5.（2019广西梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】关于的一元二次方程的解为，，可以看作二次函数与轴交点的横坐标，
二次函数与轴交点坐标为，，如图：
当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或；
又
，；
，
故选：A．

6.（2019四川泸州）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2
【答案】D
【解析】y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵抛物线的对称轴为直线xa，抛物线开口向上，
而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．

7.（2019四川省雅安市）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2) 2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图像可以由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【答案】C
【解析】根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2) 2+1，得它的顶点是（2，1），对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图像开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以C是错误的，故选C．
二、填空题
8.（2019黑龙江哈尔滨）二次函数的最大值是 ．
【答案】8
【解析】∵a＝﹣1＜0，∴y有最大值，
当x＝6时，y有最大值8．故答案为8．
9. (2019黑龙江大庆)如图抛物线y＝(p>0),点F(0,p),直线l:y＝－p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F＝a,B1F＝b,则△A1OB1的面积＝______(只用a,b表示).


【答案】
【解析】先由边相等得到∠A1FB1＝90°,进而得到A1B1的长度,由等面积法得到点F到A1B1的距离,进而得到△A1OB1的高,求出三角形面积.
设∠A＝x,则∠B＝180°－x,由题可知,AA1＝AF,BB1＝BF,所以∠AFA1＝,∠BFB1＝,所以∠A1FB1＝90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1＝,所以点F到A1B1的距离为,因为点F(0,p),直线l:y＝－p,△A1OB1的高为,所以△A1OB1的面积＝··＝

10.（2019江苏镇江）已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是 ．
【答案】．
【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB的长不大于4，求出a的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a2＋a＋1的最小值．
∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1，
∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x＝－2．
∵抛物线过点A(m，3)，B(n，3)两点，
∴当y＝3时，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝，当a＞0时，x＝－2±．
∴A(－2－，3)，B(－2＋，3)．
∴AB＝2．
∵线段AB的长不大于4，
∴2≤4．
∴a≥．
∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋，
∴当a＝，(a2＋a＋1)min＝(a＋)2＋＝．
11.（2019江苏镇江）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是　　．
【答案】
【解析】抛物线过点，两点，

线段的长不大于4，


的最小值为：；
故答案为．
12.（2019内蒙古赤峰）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是　 　．（填上所有正确结论的序号）


【答案】②③④
【解析】由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），
①∵a＞0，
∴b＜0；
∴①错误；
②当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0；
②正确；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，
由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3
∴④正确；
故答案为②③④．
三、解答题
13.（2019北京市）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】见解析。
【解析】先求出A点的坐标为，由平移规律求得点B的坐标；由A、B两点的纵坐标相同，得A、B为对称点进而求出抛物线对称轴方程；根据a的符号分类讨论分析解答即可.
（1）∵当x=0时，抛物线；
∴抛物线与y轴交点A点的坐标为，
∴由点A向右平移2个单位长度得点B的坐标为；即.
（2） ∵由A、B两点的纵坐标相同，得A、B为对称点.∴抛物线对称轴方程为；即
直线.
（3） ①当时，. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可
能同时经过点B和点Q，所以线段PQ和抛物线没有交点.
②当时，. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点，此时，即.
综上所述：当时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点.
14.（2019辽宁本溪）工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系.
（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？

【答案】见解析。
【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用.
认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；根据利润=（售价-成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值．
（1） 当0＜x≤20且x为整数时，y=40；
当20＜x≤60且x为整数时，y=-x+50；
当x＞60且x为整数时，y=20；
（2）设所获利润w（元），
当0＜x≤20且x为整数时，y=40，
∴w=(40-16)×20=480元，
当0＜x≤20且x为整数时，y=40，
∴当20＜x≤60且x为整数时，y=-x+50，
∴w=(y-16)x=(-x+50-16)x，
∴w=-x2+34x，
∴w=-（x-34）2+578，
∵-＜0，
∴当x=34时，w最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
15．（2019•湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
【答案】见解析。
【解析】根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方程组即可解题；根据题意，可设A种礼盒降价m元/盒，则A种礼盒的销售量为：（10+）盒，再列出关系式即可．
（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，
则有，解得
故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．

（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意
总利润W＝（120﹣m﹣72）（10+）+800
化简得W＝m2+6m+1280＝﹣（m﹣9）2+1307
∵a＝＜0
∴当m＝9时，取得最大值为1307，
故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
16. （2019广西省贵港市）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点的坐标并求直线的表达式；
（3）设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标．

【答案】见解析。
【解析】函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
（1）函数表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）、，则点，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式得：，解得：，
故直线的表达式为：；
（3）设点、点，
①当是平行四边形的一条边时，
点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，
同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，
即：，，
解得：，，
故点、的坐标分别为、；
②当是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：，，
解得：，，
故点、的坐标分别为、；
故点、的坐标分别为或、或．