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中考数学一轮复习考点提高练习专题14 函数综合题（教师版）
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这是一份中考数学一轮复习考点提高练习专题14 函数综合题（教师版），共25页。试卷主要包含了一次函数与二次函数的综合，一次函数与反比例函数的综合，二次函数与反比例函数的综合，满足关系式z＝﹣2x+120．等内容，欢迎下载使用。
专题14 函数的综合问题
专题知识回顾
1.一次函数与二次函数的综合。
2.一次函数与反比例函数的综合。
3.二次函数与反比例函数的综合。
4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。专题典型题考法及解析
【例题1】(2019黑龙江绥化)一次函数y1＝－x+6与反比例函数y2＝(x>0)的图象如图所示.当y1>y2时,自变量x的取值范围是______.
第18题图
【答案】2
【答案】2.
【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点A和点M的坐标，然后将二次函数的解析式配方写出y=a(x-1)2+-a的形式，得出点P的坐标，进而得出OP的方程，进而得出点B的坐标，最后根据M为线段AB的中点，可得=4，进而得出答案.
令x=0，可得y=，
∴点A的坐标为（0，），
∴点M的坐标为（2，）.
∵y=ax2-2ax+=a(x-1)2+-a，
∴抛物线的顶点P的坐标为（1，-a），
∴直线OP的方程为y=(-a)x，
令y=，可得x=，
∴点B的坐标为（，）.
∵M为线段AB的中点，
∴=4，解得a=2。
【例题3】（2019广西省贵港市）如图，菱形的边在轴上，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点，与轴交于点，连接，．
（1）求，的值；
（2）求的面积．
【答案】将解析。
【解析】由菱形的性质可知，，点代入反比例函数，求出；将点代入，求出；求出直线与轴和轴的交点，即可求的面积；
（1）由已知可得，
菱形，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
将点代入，
；
（2），
直线与轴交点为，
专题典型训练题
1.（2019广东深圳）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=ax+b与y=的图象为（ ）
【答案】C
【解析】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系；符号判断。先根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象确定a，b，c的正负，则判断一次函数与反比例函数的图象所在的象限．
由二次函数的图象可知，a<0，b>0，c<0．当a<0，b>0，c<0时，一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限；反比例函数y=位于第二、四象限，选项C符合．故选C．
2.（2019四川省雅安市） 已知函数的图像如图所示，若直线y=x+m与该图像恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 ___________.
【答案】0
由y=x+m与得，整理得，当有两个交点
，解得m<，
当直线y=x+m经过原点时与函数的图像有两个
不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0，∴m的取值范围为0
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ；
（2）当PQ＝3时，求t的值；
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．
当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），
∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，
∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，
∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．
故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．
（2）当PQ＝3时，25t2﹣80t+100＝（3）2，
整理，得：5t2﹣16t+11＝0，
解得：t1＝1，t2．
（3）经过点D的双曲线y（k≠0）的k值不变．
连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．
∵OC＝6，BC＝8，
∴OB10．
∵BQ∥OP，
∴△BDQ∽△ODP，
∴，
∴OD＝6．
∵CB∥OA，
∴∠DOF＝∠OBC．
在Rt△OBC中，sin∠OBC，cos∠OBC，
∴OF＝OD•cos∠OBC＝6，DF＝OD•sin∠OBC＝6，
∴点D的坐标为（，），
∴经过点D的双曲线y（k≠0）的k值为．
4. （2019湖南湘西）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．
（1）求函数y和y＝kx+b的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式组0kx+b的解集．
【答案】见解析。
【解析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y，可得m＝3×2＝6，
∴反比例函数解析式为y，
∵OB＝4，
∴B（0，﹣4），
把点A（3，2），B（0，﹣4）代入一次函数y＝kx+b，可得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x﹣4；
（2）不等式组0kx+b的解集为：x＞3．
5.（2019山东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y=相交于A（－2，a）、B 两点，BC⊥x 轴，垂足为 C，△AOC的面积是2．
（1）求 m、n的值；
（2）求直线 AC的解析式．
【答案】见解析。
【解析】根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称，则B（2，a），由于BC⊥x轴，所以C（2，0），先利用三角形面积公式得到×2×a＝2，解得a＝2，则可确定A（﹣2，2），然后把A点坐标代入y＝mxy＝mx和y＝中即可求出m，n；根据待定系数法即可得到直线AC的解析式．
（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣2，a）、B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴B（2，﹣a），
∴C（2，0）；
∵S△AOC＝2，
∴×2×a＝2，解得a＝2，
∴A（﹣2，2），
把A（﹣2，2）代入y＝mx和y＝得﹣2m＝2，2＝，解得m＝﹣1，n＝﹣4；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵直线AC经过A、C，
∴，解得
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1．
6.（2019湖北咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．
（1）第40天，该厂生产该产品的利润是 元；
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
【答案】见解析。
【解析】由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40，则可求得第40天的利润．利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40
则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元
故答案为1600
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得
，解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+70
（Ⅰ）当0＜x≤30时
w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120）
＝﹣2x2+100x+1200
＝﹣2（x﹣25）2+2450
∴当x＝25时，w最大值＝2450
（Ⅱ）当30＜x≤50时，
w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800
∵w随x的增大而减小
∴当x＝31时，w最大值＝2320
∴
第25天的利润最大，最大利润为2450元
②（Ⅰ）当0＜x≤30时，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400元
解得x1＝20，x2＝30
∵抛物线w＝﹣2（x﹣25）2+2450开口向下
由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400
此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天
（Ⅱ）当30＜x≤50时，
由①可知当天利润均低于2400元
综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．
7. （2019贵州省毕节市）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；
S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×3＝2，即可求解；
∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；
利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．
（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×3＝2，
yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；
（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）；
（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
8.（2019贵州黔西南州）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；
S△CPD：S△BPD＝1：2，则BDBC2，即可求解；
∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；
利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．
（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BDBC2，
yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；
（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x（舍去正值），
故点P（，）；
（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC3×3（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
9.（2019湖北十堰）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且m，试确定满足条件的点P的个数．
【答案】见解析。
【解析】利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．
可能．分三种情形①当DE＝DF时，②当DE＝EF时，③当DF＝EF时，分别求解即可．
如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．
（1）由题意：，
解得，
∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2+3，
∴顶点D坐标（2，3）．
（2）可能．如图1，
∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），
∴AB＝8，AD＝BD＝5，
①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．
②当DE＝EF时，
又∵△BEF∽△AED，
∴△BEF≌△AED，
∴BE＝AD＝5
③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，
△FDE∽△DAB，
∴，
∴，
∵△AEF∽△BCE
∴，
∴EBAD，
答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．
（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，（n﹣2）2+3]，
则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH4×[（n﹣2）2+3]3×（n﹣2）4×3（n﹣4）2，
∵0，
∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，
∵m，
∴当点P在BD的右侧时，m的最大值，
观察图象可知：当0＜m时，满足条件的点P的个数有4个，
当m时，满足条件的点P的个数有3个，
当m时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．
10.（2019湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
【答案】见解析。
【解析】求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式．
通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
B、O、E、F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EF＝OB的关系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标．
（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2
∴A（4，0），B（0，2）
把A（4，0），B（0，2），代入，得
，解得
∴抛物线得解析式为
（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F
∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE
∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE
∴∠DBE＝∠ABE
∴∠DBE＝∠BAC
设D点的坐标为（x，），则BF＝x，DF
∵tan∠DBE，tan∠BAC
∴，即
解得x1＝0（舍去），x2＝2
当x＝2时，3
∴点D的坐标为（2，3）
（3）
当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF
设E（m，），F（m，）
EF＝|（）﹣（）|＝2
解得m1＝2，，
当BO为对角线时，OB与EF互相平分
过点O作OF∥AB，直线OF交抛物线于点F（）和（）
求得直线EF解析式为或
直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为或
∴E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）
11.（2019湖南湘西）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】见解析。
【解析】由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标．由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式．画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'．易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案．
因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积．又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PE平行y轴交直线OD于点E，把△ODP拆分为△OPE与△DPE的和或差来计算，故存在等量关系．设点P坐标为t，用t表示PE的长即列得方程．求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件．
由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，0）．易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值．
（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2
∴A（2，0）
∵OA：AD＝1：3
∴AD＝3OA＝6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E
∴ 解得：
∴抛物线的解析式为yx2﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'
∵yx2﹣4x（x﹣4）2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）
∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称
∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）
∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°
∴∠BAM＝45°
∴BM＝AB＝4
∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上
∴M'（6，4），FM＝FM'
∵N为CD中点
∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上
∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小
∴C四边形MNGF＝MN+M'N'21012
∴四边形MNGF周长最小值为12．
（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．
过点P作PE∥y轴交直线OD于点E
∵D（2，﹣6）
∴OD，直线OD解析式为y＝﹣3x
设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）
①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧
∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）t2+t
∴S△ODP＝S△OPE+S△DPEPE•xPPE•（xD﹣xP）PE（xP+xD﹣xP）PE•xD＝PEt2+t
∵△ODP中OD边上的高h，
∴S△ODPOD•h
∴t2+t2
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧
∴PE＝yP﹣yEt2﹣4t﹣（﹣3t）t2﹣t
∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPEPE•xPPE•（xP﹣xD）PE（xP﹣xP+xD）PE•xD＝PEt2﹣t
∴t2﹣t2
解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6
∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．
（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4
∴K（m，0），L（2+m，0）
连接AC，交KL于点H
∵S△ACD＝S四边形ADLKS矩形ABCD
∴S△AHK＝S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴
∴AH＝CH，即点H为AC中点
∴H（4，﹣3）也是KL中点
∴
∴m＝3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度．
专题14 函数的综合问题
专题知识回顾
1.一次函数与二次函数的综合。
2.一次函数与反比例函数的综合。
3.二次函数与反比例函数的综合。
4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。专题典型题考法及解析
【例题1】(2019黑龙江绥化)一次函数y1＝－x+6与反比例函数y2＝(x>0)的图象如图所示.当y1>y2时,自变量x的取值范围是______.
第18题图
【答案】2
【答案】2.
【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点A和点M的坐标，然后将二次函数的解析式配方写出y=a(x-1)2+-a的形式，得出点P的坐标，进而得出OP的方程，进而得出点B的坐标，最后根据M为线段AB的中点，可得=4，进而得出答案.
令x=0，可得y=，
∴点A的坐标为（0，），
∴点M的坐标为（2，）.
∵y=ax2-2ax+=a(x-1)2+-a，
∴抛物线的顶点P的坐标为（1，-a），
∴直线OP的方程为y=(-a)x，
令y=，可得x=，
∴点B的坐标为（，）.
∵M为线段AB的中点，
∴=4，解得a=2。
【例题3】（2019广西省贵港市）如图，菱形的边在轴上，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点，与轴交于点，连接，．
（1）求，的值；
（2）求的面积．
【答案】将解析。
【解析】由菱形的性质可知，，点代入反比例函数，求出；将点代入，求出；求出直线与轴和轴的交点，即可求的面积；
（1）由已知可得，
菱形，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
将点代入，
；
（2），
直线与轴交点为，
专题典型训练题
1.（2019广东深圳）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=ax+b与y=的图象为（ ）
【答案】C
【解析】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系；符号判断。先根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象确定a，b，c的正负，则判断一次函数与反比例函数的图象所在的象限．
由二次函数的图象可知，a<0，b>0，c<0．当a<0，b>0，c<0时，一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限；反比例函数y=位于第二、四象限，选项C符合．故选C．
2.（2019四川省雅安市） 已知函数的图像如图所示，若直线y=x+m与该图像恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 ___________.
【答案】0
由y=x+m与得，整理得，当有两个交点
，解得m<，
当直线y=x+m经过原点时与函数的图像有两个
不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0，∴m的取值范围为0
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ；
（2）当PQ＝3时，求t的值；
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．
当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），
∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，
∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，
∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．
故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．
（2）当PQ＝3时，25t2﹣80t+100＝（3）2，
整理，得：5t2﹣16t+11＝0，
解得：t1＝1，t2．
（3）经过点D的双曲线y（k≠0）的k值不变．
连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．
∵OC＝6，BC＝8，
∴OB10．
∵BQ∥OP，
∴△BDQ∽△ODP，
∴，
∴OD＝6．
∵CB∥OA，
∴∠DOF＝∠OBC．
在Rt△OBC中，sin∠OBC，cos∠OBC，
∴OF＝OD•cos∠OBC＝6，DF＝OD•sin∠OBC＝6，
∴点D的坐标为（，），
∴经过点D的双曲线y（k≠0）的k值为．
4. （2019湖南湘西）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．
（1）求函数y和y＝kx+b的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式组0kx+b的解集．
【答案】见解析。
【解析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y，可得m＝3×2＝6，
∴反比例函数解析式为y，
∵OB＝4，
∴B（0，﹣4），
把点A（3，2），B（0，﹣4）代入一次函数y＝kx+b，可得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x﹣4；
（2）不等式组0kx+b的解集为：x＞3．
5.（2019山东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y=相交于A（－2，a）、B 两点，BC⊥x 轴，垂足为 C，△AOC的面积是2．
（1）求 m、n的值；
（2）求直线 AC的解析式．
【答案】见解析。
【解析】根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称，则B（2，a），由于BC⊥x轴，所以C（2，0），先利用三角形面积公式得到×2×a＝2，解得a＝2，则可确定A（﹣2，2），然后把A点坐标代入y＝mxy＝mx和y＝中即可求出m，n；根据待定系数法即可得到直线AC的解析式．
（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣2，a）、B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴B（2，﹣a），
∴C（2，0）；
∵S△AOC＝2，
∴×2×a＝2，解得a＝2，
∴A（﹣2，2），
把A（﹣2，2）代入y＝mx和y＝得﹣2m＝2，2＝，解得m＝﹣1，n＝﹣4；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵直线AC经过A、C，
∴，解得
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1．
6.（2019湖北咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．
（1）第40天，该厂生产该产品的利润是 元；
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
【答案】见解析。
【解析】由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40，则可求得第40天的利润．利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40
则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元
故答案为1600
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得
，解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+70
（Ⅰ）当0＜x≤30时
w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120）
＝﹣2x2+100x+1200
＝﹣2（x﹣25）2+2450
∴当x＝25时，w最大值＝2450
（Ⅱ）当30＜x≤50时，
w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800
∵w随x的增大而减小
∴当x＝31时，w最大值＝2320
∴
第25天的利润最大，最大利润为2450元
②（Ⅰ）当0＜x≤30时，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400元
解得x1＝20，x2＝30
∵抛物线w＝﹣2（x﹣25）2+2450开口向下
由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400
此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天
（Ⅱ）当30＜x≤50时，
由①可知当天利润均低于2400元
综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．
7. （2019贵州省毕节市）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；
S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×3＝2，即可求解；
∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；
利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．
（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×3＝2，
yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；
（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）；
（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
8.（2019贵州黔西南州）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；
S△CPD：S△BPD＝1：2，则BDBC2，即可求解；
∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；
利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．
（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BDBC2，
yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；
（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x（舍去正值），
故点P（，）；
（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC3×3（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
9.（2019湖北十堰）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且m，试确定满足条件的点P的个数．
【答案】见解析。
【解析】利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．
可能．分三种情形①当DE＝DF时，②当DE＝EF时，③当DF＝EF时，分别求解即可．
如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．
（1）由题意：，
解得，
∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2+3，
∴顶点D坐标（2，3）．
（2）可能．如图1，
∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），
∴AB＝8，AD＝BD＝5，
①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．
②当DE＝EF时，
又∵△BEF∽△AED，
∴△BEF≌△AED，
∴BE＝AD＝5
③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，
△FDE∽△DAB，
∴，
∴，
∵△AEF∽△BCE
∴，
∴EBAD，
答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．
（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，（n﹣2）2+3]，
则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH4×[（n﹣2）2+3]3×（n﹣2）4×3（n﹣4）2，
∵0，
∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，
∵m，
∴当点P在BD的右侧时，m的最大值，
观察图象可知：当0＜m时，满足条件的点P的个数有4个，
当m时，满足条件的点P的个数有3个，
当m时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．
10.（2019湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
【答案】见解析。
【解析】求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式．
通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
B、O、E、F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EF＝OB的关系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标．
（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2
∴A（4，0），B（0，2）
把A（4，0），B（0，2），代入，得
，解得
∴抛物线得解析式为
（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F
∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE
∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE
∴∠DBE＝∠ABE
∴∠DBE＝∠BAC
设D点的坐标为（x，），则BF＝x，DF
∵tan∠DBE，tan∠BAC
∴，即
解得x1＝0（舍去），x2＝2
当x＝2时，3
∴点D的坐标为（2，3）
（3）
当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF
设E（m，），F（m，）
EF＝|（）﹣（）|＝2
解得m1＝2，，
当BO为对角线时，OB与EF互相平分
过点O作OF∥AB，直线OF交抛物线于点F（）和（）
求得直线EF解析式为或
直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为或
∴E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）
11.（2019湖南湘西）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】见解析。
【解析】由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标．由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式．画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'．易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案．
因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积．又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PE平行y轴交直线OD于点E，把△ODP拆分为△OPE与△DPE的和或差来计算，故存在等量关系．设点P坐标为t，用t表示PE的长即列得方程．求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件．
由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，0）．易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值．
（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2
∴A（2，0）
∵OA：AD＝1：3
∴AD＝3OA＝6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E
∴ 解得：
∴抛物线的解析式为yx2﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'
∵yx2﹣4x（x﹣4）2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）
∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称
∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）
∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°
∴∠BAM＝45°
∴BM＝AB＝4
∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上
∴M'（6，4），FM＝FM'
∵N为CD中点
∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上
∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小
∴C四边形MNGF＝MN+M'N'21012
∴四边形MNGF周长最小值为12．
（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．
过点P作PE∥y轴交直线OD于点E
∵D（2，﹣6）
∴OD，直线OD解析式为y＝﹣3x
设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）
①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧
∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）t2+t
∴S△ODP＝S△OPE+S△DPEPE•xPPE•（xD﹣xP）PE（xP+xD﹣xP）PE•xD＝PEt2+t
∵△ODP中OD边上的高h，
∴S△ODPOD•h
∴t2+t2
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧
∴PE＝yP﹣yEt2﹣4t﹣（﹣3t）t2﹣t
∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPEPE•xPPE•（xP﹣xD）PE（xP﹣xP+xD）PE•xD＝PEt2﹣t
∴t2﹣t2
解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6
∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．
（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4
∴K（m，0），L（2+m，0）
连接AC，交KL于点H
∵S△ACD＝S四边形ADLKS矩形ABCD
∴S△AHK＝S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴
∴AH＝CH，即点H为AC中点
∴H（4，﹣3）也是KL中点
∴
∴m＝3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度．
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