初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程一课一练

21.3  一元二次方程根的判别式

1. 根的判别式：

对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为: (x+)2=

因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。

我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，

当=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根；

当=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；

当=b2－4ac＜0时，没有实数根。

上述性质反过来也成立。

2. 判别式的应用

(1) 不解方程，判断方程的根的情况；

(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；

(3) 证明方程的根的性质；

(4) 运用于解综合题。

类型一、不解方程，判断下列方程根的情况

例1、不解方程，判断下列方程根的情况
(1) 2x2－5x+10=0
(2) 16x2－8x+3=0
(3) (－)x2－x+=0
(4) x2－2kx+4(k－1)=0 (k为常数)
(5) 2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m为常数)
(6) 4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n为常数)

解析：①解这类题目时，一般要先求出⊿=b2－4ac，然后对⊿=b2－4ac进行化简或变形，使⊿=b2－4ac的符号明朗化，进而说明⊿=b2－4ac的符号情况，得出结论。对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方等。

②应首先将关于x的方程整理成一般形式，再求⊿=b2－4ac。
③当⊿=b2－4ac≥0时，方程有实数根，反之也成立。

练习：不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)2x2+3x-4=0　              (2)ax2+bx=0(a≠0)

类型二、根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；

例2、已知关于x的方程x2－(m－2)x+m2=0
(1) 有两个不相等实根，求m的范围.
(2) 有两个相等实根，求m的值，并求此时方程的根.
(3) 有实根，求m的最大整数值.

解析：含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由⊿=b2-4ac的不同情况求得。

练习1：已知方程ax²+4x-1=0,则

（1）当a取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）当a取何值时，方程有两个相等的实数根？

（3）当a取何值时，方程没有实数根?

练习2：已知关于x的方程(m+2)x2－2(m－1)x+m+1=0有两个不相等的实数根，并且一次项系数不小于零，试求m的取值范围。

解析：由已知条件可知m的取值范围应同时满足:

①二次项系数不等于零，②⊿=b2－4ac＞0，③一次项系数不小于零这三个条件，因而可列出不等式组求解。

例3、已知m为非负整数，且关于x的方程m(x－1)2+3x+2=2x2有两个实数根，求m的值，并求出这时方程的根。

解析：首先要把方程整理成一般形式，注意应保证二次项系数不等于零。因为已知方程有两个实数根，所以⊿=b2－4ac≥0，由此可求出m的取值范围，再由m是非负整数来确定m的值，从而使问题得解。

练习1：k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；

练习2：已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A.m>﹣1  B.m＞1   C.m＜1且m≠0   D.m＞﹣1且m≠0

类型三、已知系数的关系证明根的情况

例4、证明：当a、b、c为实数，且b=a+c时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。

解析：要证明一元二次方程有实数根，只需证明它的判别式大于或等于零。

练习：求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

类型四、已知一个一元二次方程的根的情况，判断另一个一元二次方程的根的情况

例5、已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，求证:方程x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。

解析：由已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，可得到一个关于n的关系式，再以此为基础证明方程x2+nx+2n－1=0的根的判别式⊿=b2－4ac＞0，问题即可得解。

类型五、一元二次方程的特殊解的问题

例6、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2－4x+4=0与x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数。

解析：因为两个一元二次方程的根都是整数，所以两个方程都有实数根，可先求出使两个方程都有实数根的m的值，然后从中筛选出使两个方程的根都是整数的整数m的值。

总结：求方程的特殊解的问题，可先求出方程的通解，然后再根据题目对解的特殊要求筛选出特殊解。

1. 填空：

(1) 方程(m+1)x2－mx+m=0有相等的实数根，则m的值是_____；

(2) 关于x的方程2x(kx－4)－x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是_____；

(3) 方程2x2－(2m+1)x+m=0的根的判别式的值是9，则m=_____；

(4) 若关于x的一元二次方程kx2－(2k－1)x+k=0有实根，则k的取值范围是_____，若方程无实根，则k的取值范围是_____。

2. 选择题(四选一)：

(1) 下到方程中，有两个不相等的实数根的是(      )

A、x2+x+2=0 　　 B、x2－2x+1=0

C、 x2+1=0 　　　D、x2+x=0

(2) 方程(x－1)(x－2)=k2一定(    )

A、有两个相等的实数根          B、没有实数根

C、有两个不相等的实数根        D、以上三种情况均有可能

(3) 关于x的方程2kx2+(8k+1)x=－8k有两个实根，则k的取值范围是(      )
A、k＞－       B、 k≥－且k≠0

C、k=－　　　　D、k＞－且k≠0

3. 方程(m－1)x2+16x+10=0有两个不相等实根，求m的取值范围。

4. 方程kx2－10kx+15k+2=0有两个相等的实数根，求k的值及方程的根。

5. 若方程(m－4)x2－2mx+2m+5=0的根的判别式的值是40，求m的值。

6. 一元二次方程2x(kx－4)－x2+6=0没有实数根，求k的最小整数值。

7. 已知一元二次方程x2+3x+a=0有整数根，a是非负整数，求方程的整数根。

8.不解方程，判别方程根的情况： .

9. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．

请你判断△ABC的形状．

21.3  一元二次方程根的判别式

例1、答案：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0
∴ 方程没有实数根

(2)⊿=(－8)2－4×16×3=0
∴ 方程有两个相等的实数根

(3) ⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0
∴方程有两个不相等实根

(4) ⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16
=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0
∴ 方程有实数根

(5) ⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1)
=16m2－8m+1－8m+8
=16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0
∴ 方程有两个不相等实根

(6) ⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)

=4n2－16n2+32n－80

=－12n2+32n－80

=－12(n－)2－＜0
∴ 方程没有实数根

练习：解：（1）∵△= b2－4ac=32-4×2×（-4）=9+32=41＞0  ∴方程有两个不相等实根

（2）∵△= b2－4ac= b2－4×a×0=b2≥0  ∴方程有两个实数根。

例2、解：⊿=b2－4ac=[－(m－2)]2－4××m2=－4m+4

（1）⊿=－4m+4＞0时方程有两个不相等的实根，解得m＜1

∴ 当m＜1时方程有两个不相等实根

（2）方程有两个相等实根，

∴ ⊿=b2－4ac =0

∴ －4m+4=0 解得m=1

∴ 当m=1时方程有两个相等实根为

x1=x2=－=－=－2

（3）∵方程有实根，

∴⊿=b2－4ac≥0

∴ －4m+4≥0 解得m≤1，其最大整数值为1，

∴ 方程有实根m的最大整数值为1。

练习1：（1）a>-4  （2）a=-4 （3）a<-4

练习2：解：根据已知条件，可得:

解这个不等式组，得:

∴ 且。

例3、解：整理原方程，得: (m－2)x2－(2m－3)x+(m+2)=0

∵ 方程有两个实数根，⊿=b2－4ac≥0

∴

解得 m≤且m≠2。

∵ m是非负整数。

∴ m=0或m=1。

当m=0时，原方程为2x2－3x－2=0

解这个方程得: x1=2，x2=－。

当m=1时，原方程为x2－x－3=0。

解这个方程，得:x=

x1=，x2=。

练习1、分析：这是判别式的逆用，由题意知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；

解析：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k

（1）∵方程有两个不相等的实数根，　∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9

（2）∵方程有两个相等的实数根，　∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9

（3）∵方程没有实数根，　∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9

练习2：D

例4、证明∵⊿=b2－4ac，又b=a+c，a≠0。

∴ ⊿=(a+c)2－4ac=(a－c)2。

∵ (a－c)2≥0

∴ ⊿=b2－4ac≥0。

∴ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。

练习： 分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。

 证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)　=4m2-4(m4+5m2+4)

 　=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)　=-4(m2+2)2

 ∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,　　∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0.

 ∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

例5、证明：∵方程x2+2x－n+1=0没有实数根，

∴ 22－4(－n+1)＜0，

即n＜0。

∵ 方程x2+nx+2n－1=0的判别式⊿=n2－4(2n－1)=n2－8n+4，且n＜0，

∴ n2＞0，－8n＞0，

∴ n2－8n+4＞0。

∴ ⊿=n2－4(2n－1)＞0。

∴ 方程x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。

例6、解：∵ 一元二次方程mx2－4x+4=0有实数根，

∴ m≠0且⊿=b2－4ac =16－16m≥0

∴ m≤1且m≠0 ①

∵ 方程x2－4mx+4m2－4m－5=0有实数根，

∴ ⊿=b2－4ac =16m2－4(4m2－4m－5)≥0。

∴ m≥－ ②

由①、②得－≤m≤1，且m≠0。

∴ m的整数解为－1或1。

当m=－1时，方程mx2－4x+4=0的根不是整数，不符合题意，舍去。

当m=1时，方程mx2－4x+4=0的根为x1=x2=2，

方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的根为x3=5，x4=－1。

∴ 当m=1时，方程mx2－4x+4=0与方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数。

课后巩固

答案

1. (1)m1=0，m2=－； (2) 2；
(3) 2,－1； 　　(4) k≤且k≠0，k＞。

2. (1) D (2) C (3) B
3. m＜且m≠1
4. k=，x1=x2=5
5. ⊿=〔－2m〕2－4(m－4)(2m+5)=－4m2+12m+80=40
∴ m1=5，m2=－2
6. k=2
7. ∵ 方程有整数根，
∴⊿=9－4a≥0，
∴ a≤。
∴ a是非负整数，
∴ a=0，1，2。
当a=0时，x2+3x=0，
∴ x1=0，x2=－3。
当a=1时，x2+3x+1=0，
∴ x=，不是整数根。
当a=2时，x2+3x+2=0，
∴ x1=－1，x2=－2。
∴ 所求的整数根为0，－1，－2，－3。

8.【答案】无实根.

9.答案：△ABC为直角三角形