初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试练习题

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试练习题，共24页。试卷主要包含了1 二次函数的图像与性质，二次函数的概念，二次函数y=ax2的图象的性质，已知二次函数回答下列问题等内容，欢迎下载使用。

22.1.1二次函数的认识
要点一、二次函数的概念
1.二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，其中；⑤.
例1、下列函数解析式中，是二次函数的是 ．
① y=3x﹣1 ②y=ax2+bx+c ③ s=2t2﹣2t+1 ④y=x2+ ⑤
解析： ①y=3x﹣1是一次函数，
②y=ax2+bx+c （a≠0）才是二次函数，
③s=2t2﹣2t+1是二次函数
④y=x2+不是二次函数
⑤化简后不含项
练习：下列函数中，哪些是二次函数？
(1) (2) (3)
(4) y=3(x－1)²+1 (5)y=(x+3)²－x² (6)
(7)s=3－2t² (8) (9) y=mx²+nx+p (m,n,p为常数)
例2、如果函数是二次函数，求m的值．
解析：根据题意，得 解得m＝0．
练习：如果函数是二次函数，求的值．
1．下列函数中是二次函数的有（ ）.
①y=x+；②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2；④y=+x．
A．4个 B．3个 C.2个 D．1个
2．函数是二次函数，则m的值是( )．
A．3 B．-3 C．±2 D．±3
3、 是二次函数，则的值为______________
22.1.2 二次函数的图像与性质
要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
要点诠释：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质，见下表：
要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
4、二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
要点诠释：
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
类型一、二次函数y=ax2(a≠0)的图象
例1、如图所示正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD
的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是( )．

类型二、二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
①二次函数y=ax2(a≠0)开口方向的判断
例2、的开口 ，对称轴 ，顶点坐标是
练习：若抛物线的开口向下，则m的值为( )．
A．3 B．-3 C． D．
②二次函数y=ax2(a≠0)开口大小的判断
│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴。
例3、在抛物线①y＝2x2，②，③中．图象开口大小顺序为( )．
A.①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞①＞③ D．②＞③＞①
练习：函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．

③二次函数y=ax2(a≠0)的顶点坐标和对称轴
二次函数y=ax2(a≠0)的顶点坐标（0,0），对称轴：y轴
例4、抛物线的顶点坐标，对称轴分别是( )．
A．(2，0)，直线x＝-4 B．(-2，0)，直线x＝4
C．(1，3)，直线x＝0 D．(0，-4)，直线x＝0
练习：在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（ ）．
A．关于y轴对称，抛物线的开口向上 B．关于y轴对称，抛物线的开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
④二次函数y=ax2(a≠0)的函数变化规律
a>0时，x>0，y随x增大而增大；x<0，y随x增大而减小.
a<0时，x>0，y随x增大而减小；x<0，y随x增大而增大.
例5、已知(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线(a≠0)上的两点．当时，，
则a的取值范围是________．
练习：二次函数，当时，对应的的大小是 .（用>,<或=表示）
⑤求抛物线y=ax2(a≠0)的解析式
例6、图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，
水面宽4m．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．

A． B． C． D．
练习：如图所示，桥拱是抛物线形，桥拱上有一点P，其坐标为(2，-1)，当水位在AB位置时，水
面宽12米，求水面离拱顶的高度h．
⑥二次函数y=ax2(a≠0)的应用
例7、如图，点A是抛物线上的一点，轴于B,若B点坐标为（-2,0）
则A点的坐标为______________，=_______________.
练习：如图，点P是抛物线上第一象限内的一个点，点A（3,0）.
（1）设点P的坐标为（x,y），求△OPA的面积S与y的关系式.
（2）S是y的什么函数？S是x的什么函数？
类型三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
例8．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．
(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；
(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．
解析：本例题把函数与函数的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数与的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．可以看作是把的图象向上或向下平移个单位得到的．
例9、求下列抛物线的解析式：
（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；
（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．
解析：（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，
又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．
（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为，
又∵ 该抛物线过点（3，-2），∴ ，解得．
∴ 所求抛物线为．
总结：抛物线形状相同则相同，再由开口方向可确定的符号，由顶点坐标可确定的值，从而确定抛物线的解析式．
练习：按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）形状与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式.
（2）对称轴是y轴，顶点纵坐标是，且经过（1，2）的点的解析式.
1、已知抛物线的解析式为y＝-3x2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________，
当x＞0时，y随x的增大而________．
2、(1)抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
(2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．
(3)抛物线向 平移 个单位后，得到抛物线.
3、二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则 ．
4、抛物线y=﹣x2不具有的性质是（ ）．
A.开口向上 B. 对称轴是y轴
C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D. 最高点是原点
5、过点A（0，1）一条与x轴平行的直线与抛物线相交于点M,N,则M,N两点的坐标是
6、抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）．
7、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？
8、在直角坐标系中，二次函数图像的顶点坐标C（3,-4）在x轴上截得线段AB的长为4.
（1）求出二次函数解析式；
（2）点P在x轴上方的抛物线上，且，求出点P的坐标；
（3）在y轴上找一点Q，使QA+QC最小，请直接写出这时点Q的坐标.
9、把的图像向下平移两个单位，得到的函数图像是___________，再以原函数顶点为中心，旋转后得到的图像函数解析式是___________
22.1.3 抛物线与抛物线的关系
要点一、函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
2.函数的图象与性质
要点诠释：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
要点二、二次函数的平移
在学习二次函数图象及性质时，课本中先介绍函数的图象及性质，然后经过图象的平移得出和一般式的图象及性质。但在学习过程中，学生对向左移还是向右移，向上移还是向下移，或移动之后函数解析式如何变化，经常搞错。在教学实践中，将此问题归纳为“左+右-，上+下-”八字法，学生不仅较快掌握，并且不易出错。以下解释这八字法的含义。
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左+右-，上+下-”．
要点诠释：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
类型一、函数的图象与性质
①二次函数的顶点的坐标和对称轴
例1、二次函数的顶点的坐标是 ，对称轴是 ．
解析：二次函数的顶点的坐标，对称轴是x=h
练习1：抛物线的开口向_______，对称轴是________，顶点坐标是_______．
练习2：若抛物线y=a（x+m）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，开口方向相同，
则点（a，m）关于原点的对称点为________．
②二次函数的变化规律
例2、已知二次函数，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是 ．
练习：若二次函数．当≤ 1时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．=l B．>l C．≥l D．≤ 1
③二次函数的取值范围和最值
例3、若二次函数中的x取值为2≤x≤5，则该函数的最大值为 ；最小值为 ．
练习：二次函数y=（x﹣1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为 ．
类型二、函数的平移
例4、把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线。
分析：根据“左+右-，上+下-”，向左平移2个单位，应变成，向下平移3个单位，应由变成，所以得到的是抛物线。
练习：抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )
A.y=(x+3)2－2 B.y=(x－3)2+2 C.y=(x－3)2－2 D.y=(x+3)2+2
例5、把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线。
分析：根据“左+右-，上+下-”，向右平移3个单位，应变成，向上平移2个单位，应由变成，所以得到的是抛物线。
练习：将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ）．
A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7）
例6、如何平移函数的图象，得到函数的图象。
分析：∵，，∴是负数，根据“左+右-”应该向右平移个单位，∵，，∴是正数，根据“上+下-”应向上平移1个单位。所以，可以“先向右平移个单位，再向上平移1个单位”得到。
练习： 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单
位长度得到的抛物线．
(1)求出a、h、k的值；
(2)在同一坐标系中，画出与的图象；
(3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而
减小，并求出函数的最值；
(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?
例7、如何平移函数的图象，得到函数的图象。
分析：∵，，∴是正数（+），根据“左+右-”应该向左平移个单位，∵，，∴是负数（-），根据“上+下-”应向下平移4个单位。所以，可以“先向左平移个单位，再向下平移4个单位”得到。
练习：把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
1.把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
2.把抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ）
B.
C. D..
3.抛物线向 平移 个单位，得到.
4.抛物线可以通过怎样的平移能够得到抛物线
5.学校商店销售一种练习本所获得的总利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式为，则下列叙述正确的是（ ）
A.当时，利润有最大值48元 B.当时，利润有最大值48元
C.当时，利润有最小值48元 D.当时，利润有最小值48元
6.当，二次函数的最大值为4，则实数h的值为________．
7.二次函数的在的范围内最大值是4，则a的值等于________．
8.把抛物线向右平移4个单位，向下平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为________．
9.已知二次函数回答下列问题：
（1）用配方法将其化成的形式
（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴
（3）当取何值时，随增大而增大；当取何值时，随增大而减小？
10. 已知、、、、五个点，抛物线经过其中的三个点．
（1）求证：两点不可能同时在抛物线上；
（2）点A在抛物线上吗？为什么？
（3）求和的值．
22.1二次函数的图像与性质
22.1.1二次函数的认识
例1、③ 练习：（1）（2）（4）（7）（8）例2-练习：K=-1，-2，-3，-4，-5，-6
课后巩固
1.C 2.B 3.
22.1.2 二次函数的图像与性质
例1.D 2.向下 x=0 (0,0) 练习：D 例3.D
练习： 例4、D 练习：C
a<0 练习： 例6、C 练习：9m
（-2，-4） 4 练习：（1） （2）S是y的一次函数，S是x的二次函数
练习：（1）（2）
课后巩固
1.下 y轴 （0,0）减少 2.(1)下；y轴；（0，-5）.(2)y=3x2+1, y=-3x2+1. (3)下；10.
3.2；1 4.A 5. （-，1） 6.上升 7. 8.（1）（2）P1（）P2（）（3）Q（0，-1） 9.
22.1.3 抛物线与抛物线的关系
例1-练习1：向下 x=-3 (-3,-5) 练习2：（2，-3）
例2. 练习：C 例3.5 练习：或
例4-练习：A 例5-练习：B
例6-练习：解析：(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度，
再向右平移1个单位长度得到的抛物线是，
∴ ，，．
(2)函数与的图象如图所示．
(3)观察的图象知，当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．
(4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2．
总结：先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．
例7-练习：【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），当x≥1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大.
课后巩固
C 2.D 3.左平移5个单位 4.向上平移2个单位，向右平移2个单位 5.A 6.h=-4或3 7.=2 8.
解：（1）y=−12x2−x+4=−12(x+1)2+92；(2)由(1)可得顶点为(−1, 92)；对称轴x=−1；(3)图象开口向下，x<−1时，函数为增函数，此时y随x增大而增大；
当x>−1时，函数为减函数，此时y随x增大而减小．
10.解：(1)∵抛物线y=a(x−1)2+k的对称轴为x=1，
而C(−1, 2)，E(4, 2)两点纵坐标相等，
由抛物线的对称性可知，C、E关于直线x=1对称，
又∵C(−1, 2)与对称轴相距2，E(4, 2)与对称轴相距3，
∴C、E两点不可能同时在抛物线上；(2)假设点A(1, 0)在抛物线y=a(x−1)2+k(a>0)上，
则a(1−1)2+k=0，解得k=0，
因为抛物线经过5个点中的三个点，
将B(0, −1)、C(−1, 2)、D(2, −1)、E(4, 2)代入，
得出a的值分别为a=−1，a=12，a=−1，a=29，
所以抛物线经过的点是B，D，
又因为a>0，与a=−1矛盾，
所以假设不成立．
所以A不在抛物线上；(3)将D(2, −1)、C(−1, 2)两点坐标代入y=a(x−1)2+k中，得
a+k=−14a+k=2，
解得a=1k=−2，
或将E、D两点坐标代入y=a(x−1)2+k中，得
9a+k=2a+k=−1，
解得a=38k=−118，
综上所述，a=1k=−2或a=38k=−118．
函数
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a>0
向上
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而增大；
x<0时，y随x增大而减小.
当x=0时
y最小=0
y=ax2
a<0
向下
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而减小；
x<0时，y随x增大而增大.
当x=0时，
y最大=0
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．