人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程课堂检测

22.2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

要点一、二次函数与之间的相互关系

1.顶点式化成一般式
　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．

2.一般式化成顶点式

  ．

对照，可知，．

∴  抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．

要点诠释：

1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．

2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数的图象的画法

1.一般方法：列表、描点、连线；

2.简易画法：五点定形法.

其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．

(2)求抛物线与坐标轴的交点，

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．

要点诠释：

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

要点三、二次函数的图象与性质

1.二次函数图象与性质

2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系

要点四、求二次函数的最大（小）值的方法

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．

要点诠释：

如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．

类型一、二次函数的图象与性质

例1、求抛物线的对称轴和顶点坐标．

解析：解法1（配方法）：

                   ．

∴  顶点坐标为，对称轴为直线．

解法2（公式法）：∵  ，，，∴ ，

．

∴  顶点坐标为，对称轴为直线．

解法3（代入法）：∵  ，，，

∴  ．

将代入解析式中得，．

∴  顶点坐标为，对称轴为直线．

总结：所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

练习：把一般式化为顶点式．

（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；

（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.

题型二、函数的图像判断

例2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

解析:∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，∴a＞0，

∵对称轴在y轴的左侧，∴b＞0，

∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．故选A．

类型二、二次函数的最值

例3、求二次函数的最小值.

解法1(配方法)：∵

                ，

               ∴  当x＝-3时，．

 解法2(公式法)：∵  ，b＝3，

∴  当时，

．

 解法3(判别式法)：∵  ，∴  ．

                   ∵  x是实数，∴  △＝62-4(1-2y)≥0，∴  y≥-4．

                      ∴  y有最小值-4，此时，即x＝-3．

总结：在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．

练习：用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，

矩形场地的面积S最大？

类型三、二次函数解析式的判定

①二次函数一般式

例4、已知二次函数图象经过（1,0）（2，0）和（0，2）三点，则该函数图象的关系式是          

②二次函数顶点式

例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，﹣4），且过点 B（3，0）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．

练习1、已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象与y轴交于点 A（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是 B（﹣2，0）．

（1）求二次函数的关系式，并写出顶点坐标；

（2）将二次函数图象沿x轴向左平移个单位长度，求所得图象对应的函数关系式．

2、已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的关系式．

3、抛物线的顶点在直线y=2 上，则a=              ．

4、已知抛物线 y=x2+（m﹣1）x﹣的顶点的横坐标是2，则m的值是      ．

5、如果抛物线 y=x2﹣6x+c﹣2 的顶点到x轴的距离是 3，那么c的值等于（     ）

A．8  B．14  C．8 或 14 D．﹣8 或﹣14

6、抛物线 y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线 y=﹣2x2 相同，则y=ax2+bx+c 的函数关系式为（                 ）

A．y=﹣2x2﹣x+3  B．y=﹣2x2+4x+5  C．y=﹣2x2+4x+8   D．y=﹣2x2+4x+6

类型四、由二次函数图像确定二次函数的解析式

例6、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）

A. B.  C.  D.

练习：1、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）

A．    B．

 C．    D．

2、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）

A.    B. 

C.    D.

3、如图，抛物线的函数表达式是（ ）

A.  B． 

C.  D．

1.如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数 y1=﹣x+m 与二次函数 y2=ax2 +bx﹣3 的图象上．

（1）求m的值和二次函数的解析式．

（2）请直接写出使 y1＞y2 时自变量x的取值范围．

2.已知二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点（2，0）、（﹣1，6）

（1）求二次函数的解析式；

（2）不用列表，在下图中画出函数图象，观察图象写出y＞0 时，x的取值范围．

3.已知二次函数图象的顶点是（﹣1，2），且过点．

（1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；

（2）求证：对任意实数，点 M（，﹣）都不在这个二次函数的图象上．

4.已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于 A、B 两点．

（1）试确定此二次函数的解析式；

（2）判断点 P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在， 试说明理由．

5、已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.

6、形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为　           　．

7、已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.

8、已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式　              ．

9、已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，

（1）求二次函数的解析式；

（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．

22.2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

例1-练习：【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).

       （2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.

例3-练习：【答案】

（0<L<30）．

（m）时，场地的面积S最大，为225m2．

例4.

例5.（1） （2）（4,0）

练习1.（1） （2） 2. 3.2或-1

4.-3 5.C 6.D 例6.D 练习1.B 练习2.D 练习3.D

课后巩固

1. （1） （2）
2. （1）  （2）或

3.解答：

(1)依题意可设此二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2，

又点(0,32)在它的图象上，

所以=a+2,解得,a=−，

所求为y=−(x+1)2+2,或y=−x2−x+32.

令y=0,得x1=1,x2=−3，

画出其图象；

(2)证明：若点M在此二次函数的图象上，

则−m2=−(m+1)2+2，

得m2−2m+3=0，

方程的判别式：4−12=−8<0，该方程无实根，

所以,对任意实数m,点M(m,−m2)都不在这个二次函数的图象上。

4.（1） （2）在面积为6

5.解析：设所求抛物线的解析式为（）.

由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.

解之，得

抛物线的解析式为

该抛物线的顶点坐标为.

6.【思路点拨】形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为y=﹣2（x﹣h）2+k，其中（h，k）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式．

【答案】y=﹣2x2﹣5．

7.所以抛物线的函数关系式为：；

8.【答案】y=﹣x2﹣2x+　.

9.（1）；

（2）∴△ABP的面积S===