初中数学人教版九年级上册24.1.4 圆周角达标测试

24.1.4  圆周角

第1课时  圆周角定理及推论

    教学内容

    1．圆周角的概念．

    2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．

    推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．

    教学目标

    1．了解圆周角的概念．

    2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

    3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

    4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．

    设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．

    重难点、关键

    1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．

    2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．

    3．关键：探究圆周角的定理的存在．

    教学过程

    一、复习引入

    （学生活动）请同学们口答下面两个问题．

    1．什么叫圆心角？

    2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

    老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．

    （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．

    刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．

    二、探索新知

问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

    现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．

    1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？

    2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？

    3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

    （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．

    老师点评：

    1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．

    2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．

    3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．

    下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”

    （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示

    ∵∠AOC是△ABO的外角

    ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

    ∵OA=OB

    ∴∠ABO=∠BAO

    ∴∠AOC=∠ABO

    ∴∠ABC=∠AOC

（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．

    老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．

（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．

    老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC

    现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．

    从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：

    在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

    进一步，我们还可以得到下面的推导：

    半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

    下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．

    例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

    分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

    解：BD=CD

    理由是：如图24-30，连接AD

    ∵AB是⊙O的直径

    ∴∠ADB=90°即AD⊥BC

    又∵AC=AB

    ∴BD=CD

    三、巩固练习

    1．教材P92  思考题．

    2．教材P93  练习．

    四、应用拓展

例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：===2R．

    分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．

    证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB

    ∵CD是直径

    ∴∠DBC=90°

    又∵∠A=∠D

    在Rt△DBC中，sinD=，即2R=

    同理可证：=2R，=2R

    ∴===2R

    五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

    本节课应掌握：

    1．圆周角的概念；

    2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；

    3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．