初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式第1课时学案

第十六章  二次根式

16.1  二次根式

第1课时  二次根式的概念

学习目标：1.理解二次根式的概念；

2. 掌握二次根式有意义的条件；

3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.

重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.

难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.

一、知识链接

1.什么叫做平方根？

2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？

二、新知预习

1. 用带根号的式子填空:

(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为     m；若面积为S m2，则边长为______ m．

(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．

2.自主归纳：

（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “____”称为二次根号.

（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.

三、自学自测

1.下列各式中是二次根式的是（　　）

A.             B.        C.       D.

2.二次根式有意义的条件是_____________.  

四、我的疑惑

____________________________________________________________

一、要点探究

探究点1：二次根式的意义及有意义的条件

问题1  分别表示什么意义？

问题2   这些式子有什么共同特征？

要点归纳：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “”称为_______.

典例精析

例1  下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？

方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0.

例2 当 x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义?

变式题1 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.

【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.

针对训练

1. 下列各式:一定是二次根式的有(    )

A.3个          B.4个          C.5个          D.6个

2. (1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________;

  (2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.

探究点2：二次根式的双重非负性

问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？

问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？

要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；

（2）表示一个数或式的算术平方根，可知_____0.

典例精析

例3   若，求a-b+c的值.

方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.

例4  已知y=,求3x+2y的算术平方根.

【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．

方法总结:若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.

针对训练

已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．

二、课堂小结

1. 下列式子中，不属于二次根式的是（    ）

2. 式子有意义的条件是      （    ）

1. x＞2       B.x≥2     C.x＜2         D.x≤2

3.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．

5. (1)若二次根式有意义，求m的取值范围．

(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．

6.若x，y是实数，且y＜ ,求的值.

拓展提升

自主学习

一、知识链接

问题1: 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.

问题2:如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 表示.

非负数.  

二、新知预习

(1)          (2)     (3)

2.自主归纳：

(1) ≥    (2)非负数，非负数

三、自学自测

1.B   2. x≤5

合作探究

一、要点探究

探究点1：二次根式的概念及有意义的条件

问题1: 分别表示 2，S，3， 的算术平方根

问题2: ①根指数都为 2;  ②被开方数为非负数.

归纳总结：二次根式

例1：解：(1)(4)(6) 均是二次根式，其中 a2+1 属于“非负数+正数”的形式一定大于零. (2)(3)(5)(7) 均不是二次根式.

例2：解：由 x - 2≥0，得x≥2.

【变式题1】（1）解：由题意得 x-1＞0，∴ x＞1.

（2）解：∵ 被开方数需大于或等于零，∴ 3 + x≥0，∴ x≥-3.

∵ 分母不能等于零，∴ x - 1 ≠ 0，∴ x ≠ 1.  ∴ x≥-3 且 x ≠ 1.

【变式题2】解：(1) ∵ 无论 x 为何实数，- x2 - 2x - 3 =  -(x-1)2≤0，

∴ 当 x = 1 时，在实数范围内有意义.

(2) ∵ 无论 x 为何实数，-x2 - 2x - 3 = -(x + 1)2 - 2＜0，

 ∴ 无论 x 为何实数， 在实数范围内都无意义.

练一练：1.B  2. (1) x≥1  (2) x≥0 且 x≠2

探究点1：二次根式的概念及有意义的条件

问题1 : 前者 x 为全体实数；后者 x 为非负数.

问题2：当 a＞0 时，表示 a 的算术平方根，因此 ＞0；

当 a = 0 时，表示 0 的算术平方根，因此= 0. 这就是说，当 a≥0 时，≥0.

归纳总结：(1) ≥;    (2)≥.

例3：解：由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 = 0，

          解得 a = 2，b = 3，c = 4. 所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.

例4：解：由题意得   ∴ x = 3.   ∴ y = 8.

∴ 3x + 2y = 25.   ∵ 25 的算术平方根为 5， ∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．

【变式题】解：由题意得    ∴ a = 3.    ∴ b = 4.

当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；

当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．

练一练：解：由题意得 3x - y - 1 = 0 且 2x + y - 4 = 0．解得 x = 1，y = 2．

∴ x + 4y = 1 + 2×4 = 9.  ∴ x + 4y 的平方根为 ±3.

当堂检测

1. C     2. A   3. -1; 0

4. (1) ∵ a - 1≥0,   ∴ a≥1.   (2) ∵ 2a + 3≥0,   ∴ a≥

(3) ∵ - a≥0,   ∴ a≤0.   (4) ∵5 - a＞0,   ∴ a＜5.

5.  (1) 解：由题意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0，

解得 m≥2 且 m ≠ -2，m ≠ 2，∴ m＞2．

(2)解：由题意得 x2 + 6x + m≥0，

即 (x + 3 )2 + m- 9≥0.∵ (x + 3)2≥0，∴ m-9≥0，即 m≥9.

6.  解：根据题意得    ∴ x = 1.

∵ y＜ ，∴ y＜

∴               

7.  解：由题意得 则

解得 x≥2 或 x＜，即当 x≥2 或 x＜时，有意义．