数学九年级上册江苏省扬州市宝应县九年级（上）月考数学试卷（9月份）

这是一份数学九年级上册江苏省扬州市宝应县九年级（上）月考数学试卷（9月份），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
江苏省扬州市宝应县九年级（上）月考数学试卷（9月份）
　
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）已知⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为7cm，则点P在⊙O（　　）
A．外部 B．内部 C．上 D．不能确定
2．（3分）如图，已知，∠BAC=35°，=80°，那么∠BOD的度数为（　　）

A．75° B．80° C．135° D．150°
3．（3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
4．（3分）下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
5．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（　　）

A．π B．2π C．3π D．5π
6．（3分）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（　　）
A．120° B．180° C．240° D．300°
7．（3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是圆的直径，若∠BAC=20°，则∠ADC等于（　　）

A．110° B．100° C．120° D．90°
8．（3分）下列命题中，假命题的个数是（　　）
①垂直于半径的直线一定是这个圆的切线；
②圆有且只有一个外切三角形；
③三角形有且只有一个内切圆；
④三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
　
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r=　　．

10．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=　　度．

11．（3分）若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：4的两条弧，则该弦所对劣弧的所对的圆周角等于　　．
12．（3分）已知⊙O的半径是4，圆周角∠BAC=80°，则的长为　　．
13．（3分）将一个正十边形绕其中心至少旋转　　°就能和本身重合．
14．（3分）图中△ABC的外心坐标是　　．

15．（3分）如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，⊙O是ABC的内切圆，则这个圆的半径是　　．

16．（3分）圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为　　．
17．（3分）如图，小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为　　（结果保留π）．

18．（3分）已知⊙O的直径CD为4，的度数为80°，点B是的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为　　．

　
三.解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，∠BCD=45°．求证：AD=BD．

20．（8分）已知，如图，在扇形OAC中，∠AOC=60°，⊙F与OA、OC相切于点D、E，与相切于点F，且O、F、B在同一直线上，⊙F的半径为1，求扇形OAC的面积．

21．（8分）如图，BC是⊙O的一个内接正五边形的一边，请用等分圆周的方法，在⊙A中用尺规作图作出一个⊙A的内接正五边形（请保留作图痕迹）．

22．（8分）如图，已知，BC是⊙O的弦，半径OA⊥BC，点D在⊙O上，且∠ADB=25°，求∠AOC的度数．

23．（10分）已知，如图，AF是⊙O的直径，P是AF延长线上的一点，PD切O于点D，E是AF上一点，PD=PE，DE的延长线交O于点C，问CO与AF的关系是什么？为什么？

24．（10分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．
（1）求∠P的度数；
（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．

25．（10分）已知：如图A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，∠B=30°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．

26．（10分）已知，如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB于D，AB=8，OD=CD+1，求⊙O的半径．

27．（12分）阅读以下内容，并回答问题：
若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．
（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是　　命题（填“真”或“假”）；
（2）在△ABC中，已知∠C=90°，△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（点C与点A、B不重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若存在点E，使AE=AD，CB=CE．求证：△ACE是奇异三角形．

28．（12分）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．

　

江苏省扬州市宝应县九年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2016秋•宝应县月考）已知⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为7cm，则点P在⊙O（　　）
A．外部 B．内部 C．上 D．不能确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵6cm＜7cm，
∴点P在圆外．
故选A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
　
2．（3分）（2016秋•宝应县月考）如图，已知，∠BAC=35°，=80°，那么∠BOD的度数为（　　）

A．75° B．80° C．135° D．150°
【分析】先根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再由=80°求出∠COD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠BAC=35°，
∴∠BOC=70°．
∵=80°，
∴∠COD=80°，
∴∠BOD=70°+80°=150°．
故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
　
3．（3分）（2014•毕节市）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，
∴AC=BC=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．
故选：B．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．
　
4．（3分）（2015秋•丹阳市期中）下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【分析】根据等弧的定义对①进行判断；根据确定圆的条件对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据圆周角定理的推论对④进行判断．
【解答】解：完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以①错误；
任意不共线的三点确定一个圆，所以②错误；
在同圆或等圆轴，相等的圆心角所对的弦相等，所以③错误；
外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，所以④正确．
故选A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
　
5．（3分）（2012•泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（　　）

A．π B．2π C．3π D．5π
【分析】连接OB，由于AB是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC的度数，再利用弧长公式即可求出的长．
【解答】解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠OBC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∴的长为==2π，
故选B．

【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式，解题的关键是连接OB，构造直角三角形．
　
6．（3分）（2012•南充）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（　　）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故选：B．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
　
7．（3分）（1998•海淀区）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是圆的直径，若∠BAC=20°，则∠ADC等于（　　）

A．110° B．100° C．120° D．90°
【分析】由AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠BAC=20°，即可求得∠B的度数，然后由圆的内接四边新的性质，即可求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°﹣∠B=110°．
故选A．
【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
　
8．（3分）（2016秋•仪征市校级月考）下列命题中，假命题的个数是（　　）
①垂直于半径的直线一定是这个圆的切线；
②圆有且只有一个外切三角形；
③三角形有且只有一个内切圆；
④三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据切线的判定定理判断①；根据圆的外切三角形的定义判断②；根据三角形的内切圆的定义判断③；根据三角形内心的定义判断④．
【解答】解：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故①是假命题；
经过圆上的三点作圆的切线，三条切线相交，即可得到圆的一个外切三角形，所以一个圆有无数个外切三角形，故②是假命题；
三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个，所以三角形有且只有一个内切圆，故③是真命题；
三角形的内心是三个内角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，故④是假命题．
故选C．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义与定理．
　
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）（2014秋•广东期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r=　1　．

【分析】首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出．
【解答】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=r，
∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=4﹣r，AF=AD=3﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
∴r=1．
∴△ABC的内切圆的半径为 1．
故答案为；1．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．
　
10．（3分）（2015•福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=　36　度．

【分析】圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴=====72°，
∴∠CAD=×72°=36°．
故答案为36．
【点评】本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键．
　
11．（3分）（2016秋•宝应县月考）若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：4的两条弧，则该弦所对劣弧的所对的圆周角等于　36°　．
【分析】圆的一条弦把圆分成度数之比为1：4的两条弧，则所分的劣弧的度数是72°，则该弦所对劣弧的所对的圆周角等于36°．
【解答】解：如图所示，弦AB将⊙O分成了度数比为1：4两条弧．
连接OA、OB；
则∠AOB=×360°=72°；
弦所对劣弧的所对的圆周角∠ADB=∠AOB=36°；
故答案为36°．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理；在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．
　
12．（3分）（2016秋•宝应县月考）已知⊙O的半径是4，圆周角∠BAC=80°，则的长为　或　．
【分析】根据题意画出图形，再由弧长公式即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径是4，圆周角∠BAC=80°，
∴∠BOC=2×80°=160°，
∴劣弧BC==；
优弧BC=8π﹣=．
故答案为：或．

【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
　
13．（3分）（2016秋•宝应县月考）将一个正十边形绕其中心至少旋转　36　°就能和本身重合．
【分析】得出每个中心角的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵多边形每个中心角为：=36°，
该图形绕其中心至少旋转36°和本身重合．
故答案为：36．
【点评】此题主要考查了旋转对称图形以及正多边形的性质，正确掌握正多边形的性质是解题关键．
　
14．（3分）（2014秋•阜宁县校级期中）图中△ABC的外心坐标是　（5，2）　．

【分析】根据三角形外心的定义作三角形两边的垂直平分线，根据网格的特点，很容易作出AB与BC的中垂线，则它们交点的坐标为所求．
【解答】解：作BC和AB的垂直平分线，它们相交于点P，如图，
则点P为△ABC的外心，
P点坐标为（5，2）．
故答案为（5，2）．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．理解坐标与图形性质．
　
15．（3分）（2016秋•宝应县月考）如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，⊙O是ABC的内切圆，则这个圆的半径是　2　．

【分析】根据三角形面积公式S△ABC=•BC•AC=（AB+BC+AC）•r计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=13，AC=5，
∴BC===12，
设内切圆半径为r，则有•BC•AC=（AB+BC+AC）•r，
∴r==2．
故答案为2

【点评】本题考查三角形内切圆与内心，解题的关键是记住直角三角形的面积公式S△ABC=•BC•AC=（AB+BC+AC）•r，属于中考常考题型．
　
16．（3分）（2015•昆明模拟）圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为　18　．
【分析】根据弧长的公式l=进行计算即可．
【解答】解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l=，
得到：12π=，
解得 r=18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了弧长的计算．熟记公式是解题的关键．
　
17．（3分）（2012•凉山州）如图，小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为　　（结果保留π）．

【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC的值，再根据扇形的面积公式进行解答即可．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵两个阴影部分扇形的半径均为1，
∴S阴影==．
故答案为：．

【点评】本题考查的是扇形的面积及直角三角形的性质，熟知扇形的面积公式是解答此题的关键．
　
18．（3分）（2016秋•宝应县月考）已知⊙O的直径CD为4，的度数为80°，点B是的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为　2　．

【分析】由翻折的性质可知：PB=PB′.=40°，可求得∠B′EA=60°．当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
【解答】解：过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O与点E，连接B′E．

∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB=PB′.．
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是的中点，
∴=120°．
∴∠B′EA=60°．
∴AB′=AE•sin60°=4×=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、特殊锐角三角函数，求得∠B′EA=60°是解题的关键．
　
三.解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）（2016秋•宝应县月考）已知，如图，AB是⊙O的直径，∠BCD=45°．求证：AD=BD．

【分析】根据圆周角定理得到∠ACB=90°，得到∠ACD=∠BCD，证明结论．
【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，又∠BCD=45°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
　
20．（8分）（2016秋•宝应县月考）已知，如图，在扇形OAC中，∠AOC=60°，⊙F与OA、OC相切于点D、E，与相切于点F，且O、F、B在同一直线上，⊙F的半径为1，求扇形OAC的面积．

【分析】如图连接DF、EF．在Rt△OEF中，利用30度性质，求出OF，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：如图连接DF、EF．

∵OC、OA是⊙F的切线，
∴∠FOD=∠FOE=AOC=30°，DF⊥OC，EF⊥OA，
∴∠ODF=∠OEF=90°，
∴OF=2EF=2，
∴OB=OF+BF=3，
∴S扇形OAC==π．
【点评】本题考查切线的性质、扇形的面积公式，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
　
21．（8分）（2016秋•宝应县月考）如图，BC是⊙O的一个内接正五边形的一边，请用等分圆周的方法，在⊙A中用尺规作图作出一个⊙A的内接正五边形（请保留作图痕迹）．

【分析】如图，①作∠EAF=∠BOA．②在⊙A上截取===，则五边形EFGHL即为所求．
【解答】解：如图，①作∠EAF=∠BOA．
②在⊙A上截取===．
五边形EFGHL即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图、正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，作∠EAF=∠BOC是关键，属于中考常考题型．
　
22．（8分）（2016秋•宝应县月考）如图，已知，BC是⊙O的弦，半径OA⊥BC，点D在⊙O上，且∠ADB=25°，求∠AOC的度数．

【分析】先根据垂径定理得到=，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵BC⊥OA，
∴=，
∴∠AOC=2∠ADB=2×25°=50°，
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
　
23．（10分）（2016秋•宝应县月考）已知，如图，AF是⊙O的直径，P是AF延长线上的一点，PD切O于点D，E是AF上一点，PD=PE，DE的延长线交O于点C，问CO与AF的关系是什么？为什么？

【分析】连接OD，根据切线的性质可得∠ODC+∠EDP=90°，然后根据等边对等角，以及等量代换得到∠C+∠CEO=90°，即可证得CO⊥AF．
【解答】解：CO⊥AF．
理由是：连接OD．
∵PD是切线，
∴OD⊥PD，即∠ODP=90°，∠ODC+∠EDP=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
同理，∠PED=∠EDP，
∴∠C+∠PED=90°，
又∵∠CEO=∠PED，
∴∠C+∠CEO=90°，
∴∠COE=90°，
∴CO⊥AF．

【点评】本题考查了切线的性质以及等腰三角形的性质，已知切线的时常作的辅助线是连接圆心和切点．
　
24．（10分）（2015•南通）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．
（1）求∠P的度数；
（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PAOB中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
（2）由S阴影=2×（S△PAO﹣S扇形）则可求得结果．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=120°，
∴∠P=360°﹣（90°+90°+120°）=60°．
∴∠P=60°．
（2）连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴APB=30°，
在Rt△APO中，tan30°=，
∴AP===4cm，
∴S阴影=2S△AOP﹣S扇形=2×（×4×﹣）=（16﹣）（cm2）．

【点评】此题考查了切线的性质，解直角三角函数，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
　
25．（10分）（2016秋•宝应县月考）已知：如图A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，∠B=30°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．

【分析】（1）求证：AB是⊙O的切线，可以转化为证∠OAB=90°的问题来解决．
（2）作AE⊥CD于点E，CD=DE+CE，因而就可以转化为求DE，CE的问题，根据勾股定理就可以得到．
【解答】（1）证明：如图，连接OA；
∵OC=BC，OA=OC，
∴OA=OB．
∴∠OAB=90°，
∴AB是⊙O的切线；

（2）解：作AE⊥CD于点E，
∵∠O=60°，
∴∠D=30°．
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=；
∵∠D=30°，
∴AD=2，
∴DE=AE=，
∴CD=DE+CE=+．

【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
　
26．（10分）（2016秋•宝应县月考）已知，如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB于D，AB=8，OD=CD+1，求⊙O的半径．

【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OA，
设CD=x，则OD=x+1，
则⊙O的半径为2x+1，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=4，
由勾股定理得，（2x+1）2+（x+1）2+16，
解得，x==，
则⊙O的半径为．

【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
　
27．（12分）（2014秋•秦淮区期中）阅读以下内容，并回答问题：
若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．
（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是　真　命题（填“真”或“假”）；
（2）在△ABC中，已知∠C=90°，△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（点C与点A、B不重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若存在点E，使AE=AD，CB=CE．求证：△ACE是奇异三角形．

【分析】（1）直接根据奇异三角形的定义直接得出结论；
（2）先根据勾股定理得出a2+b2=c2，再由Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a可知a2+c2=2b2，把a当作已知条件表示出b，c的值，进而可得出结论；
（3）连接BD，根据圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB与在Rt△ADB中可得出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，根据点D是半圆的中点，得出=．故可得出AD=BD．通过等量代换可得出AC2+CB2=2AD2．再由CB=CE，AE=AD可得出AC2+CE2=2AE2故可得出结论．
【解答】解：（1）∵若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形，
∴等边三角形一定是奇异三角形是真命题．
故答案为：真；

（2）∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2①．
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2=2b2②．
由①②得：b=a，c=a．
∴a：b：c=1：：．

（3）连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，
∵点D是半圆的中点，∴=．
∴AD=BD．
∴AB2=AD2+BD2=2AD2．
∴AC2+CB2=2AD2．
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2．
∴△ACE是奇异三角形．

【点评】本题考查的是奇异三角形的定义，熟知勾股定理及等边三角形的性质是解答此题的关键．
　
28．（12分）（2012•珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．

【分析】（1）PO与BC的位置关系是平行；
（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠CPO=∠PCB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；
（3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证．
【解答】解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；

（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：
由折叠可知：△APO≌△CPO，
∴∠APO=∠CPO，
又∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠CPO，
又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，
∴∠A=∠PCB，
∴∠CPO=∠PCB，
∴PO∥BC；

（3）∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO=∠COP，
由折叠可得：∠AOP=∠COP，
∴∠APO=∠AOP，
又OA=OP，∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠APO=∠AOP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP=60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，
又∵∠OCD=90°，
∴∠PCD=30°，
在Rt△PCD中，PD=PC，
又∵PC=OP=AB，
∴PD=AB，即AB=4PD．
【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，折叠的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．