2022-2023学年福建省福州市晋安区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市晋安区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  在中，，，的对边分别是，，，下列条件不能判断是直角三角形的是(    )

A. ：：：： B.
C. ：：：： D.

4.  如图，菱形的对角线相交于点，，，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在下列条件中，能够判定▱为矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列逆命题成立的是(    )

A. 两条直线平行，内错角相等 B. 全等三角形的对应角相等
C. 如果，那么 D. 如果，那么

7.  如图，在中，点，分别是，边上的中点，连接，如果，那么的长是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，菱形的顶点在直线上，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在平行四边形中，为的中点，点，为平行四边形同一边上任意两个不重合的动点不与端点重合，，的延长线分别与平行四边形的另一边交于点，下面四个判断：
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形；
若平行四边形是矩形正方形除外，则至少存在一个四边形是正方形；
对于任意的平行四边形，存在无数个四边形是矩形．
其中，正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若二次根式有意义，则的取值范围是          ．

12.  在中，，，，为的中点，则______．

13.  如图，在正方形的外侧，作等边，则 ______

14.  如图，在矩形中，的平分线交于点，连接若，，则______．

15.  如图，已知菱形的边长为，，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为______ ．

16.  如图，在四边形中，，，且，以，，为边向外作正方形，其面积分别为，，，若，，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，求证：四边形是平行四边形．

20.  本小题分
如图，在中，，，，为的高，求的长．

21.  本小题分
证明四个角相等的四边形是矩形．

22.  本小题分
如图，已知四边形是平行四边形．
尺规作图：按下列要求完成作图；保留作图痕迹，请标注字母
连接；
作的垂直平分线交，于，；
连接，；
判断四边形的形状，并说明理由．

23.  本小题分
在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作，，的角，可以采用如下的方法：
【操作感知】：
第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开．
第二步；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段如图．

【猜想论证】：
写出图中一个的角：______ ．
若延长交于点，如图所示，试判断的形状，并证明．
【迁移探究】：
小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照“操作感知”的方式操作，并延长交于点，连接当点在上时，，求正方形的边长．

24.  本小题分
在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
，
，
，，
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
______ ；
化简：；
若，求的值．

25.  本小题分
已知：菱形的边长为，把一个含的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角形的顶点与点重合，三角尺的两边与菱形的两边，分别相交于点，点，不与端点重合．

如图，求证：；
如图，连接，求面积的最大值；
如图，连接，与，相交于点，若以线段，，为边组成的三角形是直角三角形，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，故B不是最简二次根式；
C.，故C不是最简二次根式；
D.，故D不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的定义即可判断．
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解： ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质进行化简即可求解．
本题考查了二次根式的性质进行化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、：：：：，，故不是直角三角形；
B、，且，，故为直角三角形；
C、：：：：，，故为直角三角形；
D、，故为直角三角形．
故选：．
根据三角形内角和定理可得、是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出、是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，对角线，，
则菱形的面积为，
故选：．
由菱形面积公式即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、▱中，，不能判定▱是矩形，故选项A不符合题意；
B、▱中，，
▱是菱形，故选项B不符合题意；
C、▱中，，
▱是菱形，故选项C不符合题意；
D、▱中，，
▱是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，不成立；
C、如果，那么逆命题是如果，那么；也可能是，不成立；
D、如果，那么的逆命题是如果，那么也可能是，不成立；
故选：．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
本题考查命题与定理，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，实数的性质，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

7.【答案】 

【解析】解：点，分别是，边上的中点，，
，
故选：．
根据三角形中位线定理即可求解．
本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形为菱形，
，
，
故选：．
先求出，根据菱形性质得出，即得到，可得的度数．
本题考查了菱形的性质求角度，熟知菱形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图可知第四个顶点为：


即：．
故选：．
本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为，纵坐标应为．
本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．
 

10.【答案】 

【解析】解：设点，为边上任意两个不重合的动点，如图，连接，

四边形是平行四边形，为的中点，
也经过点，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
与不一定相等，故错误，正确；
若四边形是矩形，

当、时，则、，
又四边形是平行四边形，
四边形是正方形，故正确，
当时，则，

又四边形是平行四边形，四边形是矩形，故正确，
正确的为：．
故选：．
由可证≌，可得，可证四边形是平行四边形，可得与不一定相等，故错误，正确，由正方形的判定和性质和矩形的判定可判断正确，正确，即可求解．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，在中，，，，
，
又为的中点，
．
故答案是：．
先运用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长．
本题考查了勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，比较简单．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，为等边三角形，
，，，
，
又，
，
，
故答案为：．
由四边形为正方形，三角形为等边三角形，可得出正方形的四条边相等，三角形的三边相等，进而得到，且得到为直角，为，由求出的度数，进而利用等腰三角形的性质可求出的度数．
此题考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握正方形以及等边三角形的性质是解本题的关键．等边三角形的三个内角都相等，且都等于．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
在中，．
故答案为
首先证明，在中，根据计算即可．
本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，交于，

四边形是菱形，
，，，
≌，
，
，
，，
是等边三角形，
又是的中点，菱形的边长为，
，，，
中，，
当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，
的最小值为，
故答案为：．
连接，，，交于，依据≌，可得，依据是等边三角形，即可得到，当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，的最小值为．
本题考查轴对称最短问题、菱形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理，轴对称求线段和的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，，
过作交于，

则，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案是：．
根据已知条件得到，，过作交于，则，根据平行四边形的性质得到，，由已知条件得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：


；



． 

【解析】二次根式化简、合并，然后由二次根式的除法运算即可完成计算；
利用平方差公式和完全平方差公式，进行二次根式的加减法运算即可．
本题考查了二次根式混合运算，涉及二次根式的化简，平方差公式与完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的减法，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 

19.【答案】证明：连接，交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
四边形是平行四边形． 

【解析】连接，交于点，根据四边形是平行四边形可得，，再由，可得，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：在中，
，，，
，，
，
是直角三角形，且，
为的高，
，
． 

【解析】根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后根据等面积法即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的高的定义，证明是直角三角形是解题的关键．
 

21.【答案】已知：四边形，，
 
求证：四边形是矩形．
证明：，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】本题考查了四边形内角和定理，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
先画出图形，写出已知、求证，先求出四边形是平行四边形，再求出，根据矩形的判定推出即可．
 

22.【答案】解：如图，、、为所作；

四边形为菱形．
理由如下：如图，
垂直平分，
，，，
四边形为平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为菱形． 

【解析】根据题意连接，作的垂直平分线，连接，；
先根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明≌得到，所以，于是可判断四边形为菱形．
本题考查了作垂直平分线，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，段垂直平分线的性质，掌握尺规作图的方法，作图中的条件就是第二问中的已知条件，正确进行尺规作图是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：设交与点，连接，

由折叠可知，，，，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：．
是等边三角形，
证明：如图所示，

由可知，
，
，
是等边三角形，
解：由可得，
在中，，，
，，
是由翻折得到，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
设交与点，连接，由折叠可知，，，，，证明，得出，则；
由可知，根据平行线的性质得出，则，即可证明是等边三角形；
由可得，则在中，，，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，，证明≌，得出，进而根据，可得，即可求解．
本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：；
原式


；
，
，
，
即．
．





．
根据所给的解答方式进行求解即可；
把各式的分母进行有理化，即可求解；
先进行分母有理化的运算，再代入相应的式子运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

25.【答案】证明：菱形的边长为，，
，，
和为等边三角形，
，，，
又，且，，
，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，，
又等边的边长为，且，，
，

又，，
为等边三角形，
三角尺运动过程中，当时，最小，最大，
当时，，
此时；
将绕点逆时针旋转得到，其中，，，
≌，
，，
又，，，
，
，
，
，，，
≌，
，
在中，，，
即为以，，为边的三角形，
，
所以为直角三角形的情况分为两种：

，如图所示，
在中，，
，
，
，
即，
，

，如图所示，在中，，
，
，，
，即，
，
综上所述，或． 

【解析】，利用证明≌，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
由三角形与三角形全等，得到两三角形面积相等，，根据等边三角形的边长为，求出四边形的面积，即为三角形的面积，表示出三角形的面积，当垂直于时，三角形面积最小时，三角形面积最大，求出此时的长，确定此三角形的面积，即可求出三角形面积的最大值；
将绕点逆时针旋转得到，其中，，，由三角形全等于三角形，得到对应角，再由，，利用等式的性质得到一对角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，又在中，，，故即为以，，为边的三角形，则，所以为直角三角形的情况分为两种：，如图所示，求出此时的长；，如图所示，求出此时的长即可．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键．