2023年河南省焦作市中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省焦作市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  如图，直线，，被直线所截，，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  孙子算经卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制则十合等于(    )

A. 圭 B. 圭 C. 圭 D. 圭

6.  若方程有两个不相等的实数根，则的最大整数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  思政课上，某小组的全国“两会”知识测试成绩统计如表满分分：

则该组测试成绩的平均数为单位：分(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，菱形的对角线，相交于点，分别是，的中点，若，，则菱形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，为的中点，是上一动点，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在处，当线段的延长线恰好经过的中点时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个过点和的函数解析式______ ．

12.  不等式组的解集为______ ．

13.  某超市购物消费一定数额后，可获得两次“玩转盘抽奖活动”，转盘如图所示被分成面积相等的五个扇形，分别标有红、绿、茶、可、乐五个汉字每次停止后，记下指针所指区域指针指向区域分界线时，重新转动的汉字，则小航抽到“可乐”的概率是______ ．

14.  如图，在扇形中，，，过的中点作交于点，以为圆心，长为半径作弧交的延长线于，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，在等边三角形中，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：

17.  本小题分
学校为了解学生对课后延时服务的满意度，从七、八年级各随机抽取名学生对满意度进行打分满分分，并对数据成绩进行整理、描述和分析下面给出部分信息：
七年级所打分数的频数分布表：

七年级所打分数在这一组的是单位：分：
七、八两年级所打分数平均分、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
七年级所打分数的中位数为______ ，达到分的人数占调查人数的百分比为______ ；
在这次打分中，某同学的打分为分，在他所属的年级排前名，根据表中数据判断该同学属于______ 年级的学生填“七”或“八”，请说明理由．
请对七、八年级开展课后服务的情况进行合理的评价．

18.  本小题分
如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流是电阻的反比例函数，其图象经过，两点．
求与的函数表达式，并说明比例系数的实际意义；
求的值，并说明的实际意义；
如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？

19.  本小题分
焦作桶张河村的老君庙戏楼建筑优雅，具有典型的地方特色，在古代建筑艺术方面具有较高的研究价值某数学小组测量老君庙戏楼的高度，如图所示，戏楼上层为戏台，下层为台基，在处测得台基顶部的仰角为，沿方向前进到达处，测得戏台顶部的仰角为已知台基高，求戏台的高度结果精确到，参考数据：，，
 

20.  本小题分
为落实健康中国行动等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多元，用元购买的足球数量和元购买的排球数量相等．
求每个足球和排球的价格；
学校决定购买足球和排球共个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？
在方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供折优惠，排球提供折优惠学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球此时按原价购买，可以只购买一种，求再次购买足球和排球的方案．

21.  本小题分
“沙包掷准”是同学们非常喜爱的一项趣味运动沙包行进的路线呈抛物线形状，经研究，小航在掷沙包时，掷出起点处高度为，当水平距离为时，沙包行进至最高点；建立如图所示直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水平距离，是行进高度．
求抛物线的表达式；
若地靶的中心到起掷线的距离为，设沙包落点与地靶中心的距离为，区域与得分对应如表，请问小航成绩怎样？并说明理由．

22.  本小题分
如图，，为的两条半径，直线与相切于点．
请用无刻度的直尺和圆规过点作线段的垂线要求：不写作法，保留作图痕迹；
连接，若中所作垂线分别与，直线交于点和点．
求证：；
若的半径为，，求的长．

23.  本小题分
综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图放置；
操作二：将三角板沿方向平移两三角板始终接触至图位置．
根据以上操作，填空：
图中四边形的形状是______ ；
图中与的数量关系是______ ；四边形的形状是______ ．
迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：
将三角板按中的方式操作，如图，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．
拓展应用
在的探究过程中：
当为等腰三角形时，请直接写出的长；
直接写出的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是；
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；
本题考查了绝对值的定义．注意一个正数的绝对值是它本身，的算术平方根是；负数的绝对值等于它的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，可得如下图形：
．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
．
故选：．
先根据求出的度数，由对顶角相等求出的度数，根据即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．与不是同类二次根式，不能加减，故选项A运算错误；
B.不是同类项，不能加减，故选项B运算错误；
C.，故选项C运算正确；
D.，故选项D运算错误．
故选：．
利用二次根式的加减法法则、整式的运算法则计算每个题目，根据计算结果得结论．
本题考查了整式的运算和二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则、合并同类项法则、同底数幂的乘法法则及完全平方公式是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，合勺撮抄圭，
十合圭圭，
故选：．
结合实际问题运用乘方的概念进行求解．
此题考查了运用乘方的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的最大整数是．
故选：．
根据方程的系数，结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由表格可得，
该组测试成绩的平均数为：，
故选：．
根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该组测试成绩的平均数．
本题考查加权平均数、频数分布表，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
 

8.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，，
点为的中点，点为的中点，
，，，，
四边形是菱形，，
，，，
，，
设，则，，
，
，
解得，
，
菱形的周长为：，
故选：．
根据三角形的中位线的性质可以得到与的关系，与的关系，再根据菱形的性质和勾股定理，即可得到的长，然后即可求得菱形的周长．
本题考查菱形的性质、三角形的中位线、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
矩形的顶点的坐标为，
，，
，
延长交的延长线于，
为的中点，为的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
将四边形沿折叠，使点落在处，点落在处，
，，
，，
，
，
，，
，
过作于，
，
∽，
，
，
，，

故选：．
连接，根据勾股定理得到，延长交的延长线于，根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，求得，过作于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：矩形中，，
当点在边上运动时，的值不变，
，即矩形的长是，
，
即．
当点在上运动时，逐渐减小，
，
在中，
，
，
解得．
故选：．
根据图象的三角形的面积可得矩形的长为，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求．
本题考查动点问题函数图象，根据图象分析得出的值是解题关键．
 

11.【答案】或答案不唯一 

【解析】解：将点和代入一次函数或二次函数或反比例函数得：或等，
故答案为：或等．
此题没有告诉函数类型，所以只需根据一次函数，二次函数的形式写出过点和的解析式即可．
此题考查反比例函数，掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
根据解一元一次不等式组的步骤解答即可．
本题考查解一元一次不等式组，关键是根据解一元一次不等式组的步骤解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，其中小航经过两次“玩转盘抽奖活动”，抽到“可乐”的结果有种，
小航抽到“可乐”的概率是．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到“可乐”可能的结果，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是放回实验；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、，
过的中点作交于点，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接、，易证得，即可得到，求得，然后根据求得即可．
本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，特殊角的三角函数，掌握特殊锐角三角函数值和扇形面积公式是解题关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：为等边三角形，点为的中点，
，即，
可分两种情况，当点在上时或当点在的反向延长线上时，
当点在上时，如图，

在等边三角形中，，点为的中点，
，，
在中，由勾股定理得，
，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，
，
，
在中，由勾股定理得；
当点在的反向延长线上时，如图，

在等边三角形中，，点为的中点，
，，
在中，由勾股定理得，
，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，
，
，
在中，由勾股定理得；
综上，的长为或．
故答案为：．
根据题意可分两种情况讨论：当点在上时，先根据勾股定理求出，再由旋转的性质可得，则，再根据勾股定理即可求解；当点在的反向延长线上时，先根据勾股定理求出，再由旋转的性质可得，则，再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、旋转的性质，解题关键是理解题意，利用分类讨论思想解决问题．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先算零指数幂，负整数指数幂，求立方根，再算加减；
先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
本题考查实数运算和分式的化简，解题的关键是掌握实数相关运算法则和分式的基本性质．
 

17.【答案】    八 

【解析】解：把七年级名学生所打分数从小到大排列，排在第和第个数分别是、，故中位数；
达到分的人数占调查人数的百分比为；
故答案为：；；
七年级的中位数是，八年级的中位数是，
某同学的打分为分，在他所属的年级排前名，根据表中数据判断该同学属于八年级的学生．
故答案为：八；
七年级的平均数较高，所以七年级对课后延时服务的满意度比八年级的高．答案不唯一．
解：根据中位数的定义可得的值；用达到分的人数除以样本容量可得达到分的人数占调查人数的百分比；
根据中位数的意义解答即可；
结合两个年级的平均数，众数和中位数进行评价即可．
本题考查了平均数、众数、中位数和方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；众数的一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

18.【答案】解：由于电流是电阻的反比例函数，
设，
图象过点，
，
与的函数表达式为；
当时，，
，
当电阻为，电流大小为；
，
当时，，
当时，．
该电路的限制电流不能超过，那么该电路的可变电阻控制在不低于． 

【解析】电流是电阻的反比例函数，可设，把点代入求得，即可得到与的函数表达式；
把代入中解析式即可得到电流的大小；
根据，求时，的范围即可．
本题主要考查了反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：设米，
在中，，
米，
米，
，
米，
米，
答：戏台的高度是米． 

【解析】设米，根据锐角三角函数的定义科考求出的长度，然后根据等腰三角形的性质可知，从而利用即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：设每个足球的价格为元，则每个排球的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每个足球的价格为元，每个排球的价格为元；
设学校决定购买足球个，本次购买花费元，则购买排球个，
则，
解得：，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，
答：本次购买最少花费元钱；
在方案下，学校购买足球和排球各个，花费元，
体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供折优惠，排球提供折优惠，
学校节约资金：元，
设学校再次购买足球个，排球个，
由题意得：，
整理得：，
、都是非负整数，
或或，
学校再次购买足球和排球的方案有个：
只购买个足球；购买个足球，个排球；购买个足球，个排球． 

【解析】设每个足球的价格为元，则每个排球的价格为元，由题意：用元购买的足球数量和元购买的排球数量相等，列出分式方程，解方程即可；
设学校决定购买足球个，本次购买花费元，则购买排球个，求出，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论；
求出学校节约资金元，设学校再次购买足球个，排球个，再由题意：学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；正确求出一次函数关系式；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

21.【答案】解：由图象知，抛物线的顶点为，
抛物线解析式为，
把代入解析式得，，
解得，
抛物线的表达式为；
当时，，
解得，舍去，
，
沙包落地点距点的距离为，
沙包落点与地靶中心的距离为，
，
小航成绩应为分． 

【解析】根据题目设出的关于的函数表达式以及顶点和点，用待定系数法即可解答；
令，解方程求出的值，再求出沙包落地点距地靶中心的距离，即可判断小航成绩．
本题考查二次函数的应用、解一元二次方程，解题关键是理解题意，运用图象，把函数问题转化为方程问题．
 

22.【答案】解：如图，为所作；
证明：
直线与相切于点，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
而，
；
在中，
，，
，
，
；
，
设，则，，
在中，，
解得，
． 

【解析】利用基本作图，先作直径，然后过点作的垂线即可；
先根据切线的性质得到，再利用得到，接着利用等角的余角相等证明，然后利用得到；
先在中利用余弦的定义求出，则利用勾股定理计算出，再由的结论得到，设，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，最后计算即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
 

23.【答案】正方形    平行四边形 

【解析】解：和是等腰直角三角形，
，，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
故答案为：正方形；
四边形是正方形，
，，
将三角板沿方向平移，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
故答案为：，平行四边形；
四边形的形状可以是菱形，
如图，连接，，

，，，
，，，
将三角板沿方向平移，
，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
；
当时，为等腰三角形，如图，

，
，
，
是等边三角形，
，
；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形，
如图，过点作于，

，，
，，
，，
，
综上所述：的长为或或；
如图，连接，，

四边形是平行四边形，
，
，
将三角板沿方向平移，
，
，
作点关于直线的对称点，连接，连接交直线于，即的最小值为的长，
过点作直线于，
点，点关于对称，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
的最小值为．
利用正方形的判定可求解；
由平移的性质可得，，可得结论；
先证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，即可求解；
分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解；
作点关于直线的对称点，连接，连接交直线于，即的最小值为的长，由直角三角形的性质和勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，平移的性质，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键．