2023年新高考数学排列组合专题复习专题19 列举法策略（解析版）

专题19 列举法策略

例1．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有　　

A．5种 B．10种 C．8种 D．16种

【解析】解：根据题意，做出树状图，

注意第四次时球不能在甲的手中．

分析可得，

共有10种不同的传球方式；

故选：．

例2．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为　45　．

【解析】解：先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，例如：5号球放在5号盒子里，

其余四个球的放法为，1，4，，，3，4，，，4，1，，，1，4，，，4，1，，，4，2，，，1，2，，，3，1，，，3，2，共9种，

故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为种，

故答案为：45．

例3．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是　60　．

【解析】解：第一步任意选取一个螺栓，有6种方法，第二步，按照要求以此固定．

不妨第一次固定紧螺栓1，则有如下的固定方法：

1，3，5，2，4，6；

1，3，5，2，6，4；

1，3，6，4，2，5；

1，5，2，4，6，3；

1，5，3，6，2，4；

1，5，3，6，4，2；

1，4，2，6，3，5；

1，4，2，5，3，6，

1，4，6，3，5，2，

1，4，6，2，5，3；

有10种，

共有种方法．

故答案为：60．

例4.有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法

【解析】

共有150种.

5．从，1，2，，20中选取四元数组，，，，且满足，，，则这样的四元数组，，，的个数是　　

A． B． C． D．

【解析】解：将连同其右边的2个空位捆绑，连同其右边的3个空位捆绑，连同其右边的4个空位捆绑分别看作一个元素，四元数组，，，的个数相当于从11个元素中选取4个，故这样的四元数组，，，的个数是．

故选：．

例6．定义“有增有减”数列如下：，满足，且，满足．已知“有增有减”数列共4项，若，，，2，3，，且，则数列共有　　

A．64个 B．57个 C．56个 D．54个

【解析】解：由题意可知4个数值的数列中，只有2个数值，例如：，，，类型，共有种．

只有2个数值相同，例如：，，，类型．共有：种；

有3个数值相同，例如，，，类型，共有：种．

满足题目的数列类型共有：54种．

故选：．

例7．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有　　个

A．32 B．64 C．54 D．96

【解析】解：任取一个“十全十美三位数”，

包含含有一个0的三位数：

109，190，901，910，

208，280，802，820，

307，370，703，730，

406，460，604，640，

505，550，

含有相同数字的三位数：，分别为：

118，181，811，

226，262，622，

334，343，433，

442，244，424，

不含有0，并且没有相同数字的三位数．，分别为：

127，172，271，217，721，712，

136，163，316，361，613，631，

145，154，451，415，514，541，

235，253，352，325，523，532，

共54个，

故选：．

例8．集合，2，3，4，．选择的两个非空子集和，要使中的最小数大于中的最大数，则不同的选择方法有　49　种．

【解析】解：集合、中没有相同的元素，且都不是空集，

从5个元素中选出2个元素，有种选法，小的给集合，大的给集合；

从5个元素中选出3个元素，有种选法，再分成1一个元素一组、2个元素一组，有两种分法，较小元素的一组给集合，

较大元素的一组的给集合，共有种方法；

从5个元素中选出4个元素，有种选法，再分成1个元素一组、3三个元素一组；2个元素一组、2个元素一组；3个元素一组、1一个元素一组，共三种分法，较小元素的一组给集合，较大元素的一组的给集合，共有种方法；

从5个元素中选出5个元素，有种选法，再分成1个元素一组、4个元素一组；2个元素一组、3个元素一组；3个元素一组、2个元素一组；4个元素一组、1两个元素一组组，有四种分法，较小元素的一组给集合，较大元素的一组的给集合，共有种方法；

总计为种方法．

故答案为：49

例9．定义域为集合，2，3，，上的函数满足：①（1）；②，2，，；③（1）、（6）、成等比数列；这样的不同函数的个数为　155　．

【解析】解：经分析，的取值的最大值为，最小值为，并且成以2为公差的等差数列，

故（6）的取值为6，4，2，0，，．

的取值为12，10，8，6，4，2，0，，，，，，

所以能使中的（1）、（6）、成等比数列时，（1）、（6）、的取值只有两种情况：

①（1）、（6）、；②（1）、（6）、．

，2，，，，或者，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．

（1）当（1）、（6）、时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从（1）变化到（6），第二步：从（6）变化的．

    从（1）变化到（6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为种．

    从（6）变化到时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为种．

    根据分步乘法原理，共有种方法．

（2）当（1）、（6）、时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从（1）变化到（6），第二步：从（6）变化的．

    从（1）变化到（6）时有5次变化，函数值从1变化到，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为种．

    从（6）变化到时有6次变化，函数值从变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为种．

   根据分步乘法原理，共有种方法．

综上，满足条件的共有：种．

故填：155．

例10．由海军、空军、陆军各3名士兵组成一个有不同编号的的小方阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有　2592　种排法．

【解析】解：假设海军为，空军为，陆军为，先将，，，填入的小方阵，

则有种，每个，，填入3名士兵均有种，

故共有，

故答案为：2592

例11．设集合，2，3，，选择的两个非空子集和，使得中最大的数不大于中最小的数，则可组成不同的子集对　49　个．

【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：

①，集合中最大的元素为1，此时集合有1种情况，集合的数目为，2，3，的非空子集数目，集合有种情况，

此时可组成个不同的子集对，

②，集合中最大的元素为2，

此时集合可以为或，，有2种情况，集合的数目为，3，的非空子集数目，集合有种情况，

此时可组成个不同的子集对，

③，集合中最大的元素为3，

此时集合可以为或，或，或，2，，有4种情况，集合的数目为，的非空子集数目，集合有种情况，

此时可组成个不同的子集对，

④，集合中最大的元素为3，

此时集合的数目为，2，的子集数目，有种情况，集合必须为，有1种情况，

此时可组成个不同的子集对，

则一共可以组成个不同的子集对，

故答案为：49．

例12．若集合，，，，，且，，，，，，，，且，，，，用表示集合中的元素个数，则（E）　　

A．200 B．150 C．100 D．50

【解析】解：（1）时，，，的取值的排列情况有种；

时，，，的取值的排列情况有种；

时，有种；

时，有种；

（E）；

（2）时：若，，的取值的排列情况有种；

若，，的取值的排列情况有种；

若，有种；

若，有种；

时：若，，的取值的排列情况有种；

若，，的取值的排列情况有种；

若，有种；

若，有种；

时：若，，的取值的排列情况有种；

若，有种；

若，有种；

若，有种；

时：若，，的取值的排列情况有种；

若，有种；

若，有种；

若，有种；

；

（E）．

故选：．

例13．某城市街道的平面图如图所示，若每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，从至的路径条数有条：若、两处因故施工，不能通行，从至的路径条数有条，则，分别为　　

A．1552；256 B．1440；256 C．1552；288 D．1440；288

【解析】解：由于每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，则从点到任意一点的路径条数为自身左，右下，左下三个点的路径条数之和，

故在走到每个点的路径条数如下图所示

故选：．

例14．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，2，，，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有　　

A．22种 B．24种 C．25种 D．27种

【解析】解：法一：根据题意，正方形的边长为2个单位，则其周长是8，

若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则三次骰子的点数之和是8或16，

若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，

若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，

其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有种顺序，

1、2、5，1、3、4，这2种组合有种顺序，

则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法种，

法二：同法一：分析可得三次骰子的点数之和是8或16，

若三次骰子的点数之和是8，相当于8个点数中用2个隔板，有种顺序，

若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，每种组合有种顺序，

则此时有种顺序，

抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法种，

故选：．

例15．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，．例如，图中上档的数字和．若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有　　种．

A．12 B．24 C．16 D．32

【解析】解：根据题意，，，的取值范围都是从共8个数字，故公差范围是到3，

①当公差时，有种，

②当公差时，不取7和14，有种，

③当公差时，不取7，8，13，14，有种，

④当公差时，只能取10或11，有种，

综上共有种，

故选：．

例16.若一个三位数中任意两相邻数位上两数差的绝对值小于或等于，则称此三位数为“灵犀数”，这样的三位“灵犀数”共有         个

【解析】

设灵犀数为，若，则，，此时有个灵犀数；

若，则，此时有个灵犀数；

若，对每个均有个可取，此时有个灵犀数，

若，则则，此时有个灵犀数，故三位“灵犀数”共有个.