九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课后练习题

28.2.1 解直角三角形

基础训练

知识点1 已知两边解三角形

1.在Rt△ABC中,∠C=90°.

(1)若c=6,a=6,则b=_________,∠B=_______,∠A=_______; 

(2)若a=4,b=4,则∠A=_______,∠B=_______,c=_______. 

2.如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cos A=(　　)

A. B.   C. D.

3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tan B=(　　)

A.2 B.2 C. D.

知识点2 已知一边及一锐角解三角形

4.在Rt△ABC中,∠C=90°.

(1)若∠B=60°,BC=,则

∠A=__________,AC=_________,AB=_________; 

(2)若∠A=45°,AB=2,则

∠B=_________,AC=_________,BC=_________. 

5.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC等于(　　)

A.3sin 40° B.3sin 50°

C.3tan 40° D.3tan 50°

6.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是BC边上的动点,则AP长不可能是(　　)

A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7

7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, D为BC上一

点,∠DAC=30°,BD=2,AB=2,则AC的长是(　　)

A.　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.

知识点3 已知一边及一锐角的三角函数值解三角形

8.如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为　　　　. 

9.如图,△ABC中,AC=5,cos B=,sin C=,则△ABC的面积是(　　)

A. B.12 C.14 D.21

10.如图,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于点E.若sin B=,AD=6,则菱形ABCD的面积为(　　)

A.12 B.12 C.24 D.54

11.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cos ∠DCA=,BC=10,则AB的值是(　　)

A.3 B.6 C.8 D.9

12.在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°.求∠BAC的度数.

提升训练

考查角度1 利用三角函数解直角三角形

13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3,解这个直角三角形.

14.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知b=10,∠B=60°,解这个直角三角形.

15.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.

(1)求BC的长;

(2)求tan ∠DAE的值.

考查角度2 利用三角函数解斜三角形问题(化斜为直法)

16.如图,在△ABC中,sin B=,∠A=105°,AB=2,求△ABC的面积.

考查角度3 利用三角函数解与相似有关的综合问题

17.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H.

(1)求BD·cos∠HBD的值;

(2)若∠CBD=∠A,求AB的长.

18.如图,两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起,固定△ABC,将△DEF进行如下变换:

(1)如图①,△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF,AD,BD,请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系.

(2)如图②,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么△ABC应满足什么条件?请给出证明.

(3)在(2)的条件下,将△DEF沿DF折叠,点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你画出图形,并求出sin∠CGF的值.

①

②

19.如图,PB为☉O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交☉O于点A,连接PA,AO.并延长AO交☉O于点E,与PB的延长线交于点D.

(1)求证:PA是☉O的切线.

(2)若=,且OC=4,求PA的长和tan D的值.

参考答案

1.【答案】(1)6;45°;45°　(2)60°;30°;8

2.【答案】D　3.【答案】B

4.【答案】(1)30°;;2　(2)45°;;

5.【答案】D　6.【答案】D　7.【答案】A　

8.【答案】24

9.【答案】A 　

解：如图,过点A作AD⊥BC.因为cos B=,所以∠B=45°,所以AD=BD.因为sin C==,所以=,所以AD=BD=3,所以

DC===4,所以BC=BD+DC=7,所以S△ABC=BC·AD=×7×3=.

10.【答案】C　

解：∵四边形ABCD是菱形,AD=6,∴AB=BC=6.在Rt△ABE中,sin B=,∵sin B=,

∴=,解得AE=4.∴菱形ABCD的面积是6×4=24.故选C.

11.【答案】B　

解：∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.

∵AD=CD,

∴∠DAC=∠DCA.∴∠ACB=∠DCA.

∴cos∠ACB=cos∠DCA=,即==,

∴AC=8,∴AB==6.

12.解:(1)如图①,当∠BAC是钝角时,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.在Rt△ABD中,∵∠B=30°,

∴∠BAD=60°,AD=AB·sin 30°=1.

在Rt△ACD中,CD===1,

∴△ACD是等腰直角三角形,则∠CAD=45°,

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°.

(2)如图②,当∠BAC是锐角时,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.

∵∠B=30°,∴AD=AB·sin 30°=1,∠BAD=60°.

∴CD===1,

∴∠DAC=45°,

∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=60°-45°=15°.

综上可知,∠BAC的度数为105°或15°.

常见错解:解题时只考虑了一种情况(∠BAC为钝角或∠BAC为锐角),而忽略了另一种情况(∠BAC为锐角或∠BAC为钝角),从而造成漏解.

13.解:在Rt△ABC中,AB===6.

∵tan A===1,∴∠A=45°.

∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°.

14.解:∵∠B=60°,∴∠A=90°-∠B=30°.

∵tan B=,

∴a====.

∵sin B=,

∴c====.

方法解：已知一个锐角时,可以先根据直角三角形的两锐角互余来计算另一个锐角的度数.已知一个锐角及对边,常通过正切和正弦来解直角三角形.

15.解:(1)在△ABC中,∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1.在△ADB中,∵∠ADB=90°,sin B=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,∴BC=BD+DC=2+1.

(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=+,∴DE=CE-CD=-,∴tan ∠DAE==-.

16.解:过A作AD⊥BC于D.

在Rt△ABD中,易得∠B=45°,又AB=2,∴∠DAB=∠B=45°,AD=BD=2×=,∴∠CAD=105°-45°=60°.

在Rt△CAD中,tan∠CAD=,

∴CD=AD·tan∠CAD=×tan 60°=.

∴BC=CD+BD=+.

∴S△ABC=·BC·AD=(+)×=+1.

17.解:(1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°,

∴△ABC∽△DHC,∴=.

∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.

在Rt△BHD中,cos ∠HBD=.

∴BD·cos∠HBD=BH=4.

(2)方法一:

∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,

∴△ABC∽△BHD,

∴=.

∵△ABC∽△DHC,

∴==,∴AB=3DH,

∴=,DH=2,∴AB=6.

方法二:

∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,

∴△CDB∽△BDA,

∴=,BD2=CD·AD.∴BD2=CD·4CD=4CD2.

∴BD=2CD.

∵△CDB∽△BDA,∴=.∴=.

∴AB=6.

18.解:(1)S△ABC=S四边形AFBD.

(2)△ABC为等腰直角三角形,即:AB=AC,∠BAC=90°.

理由如下:

∵F为BC的中点,

∴CF=BF.

∵CF=AD,

∴AD=BF.

又∵AD∥BF,

∴四边形AFBD为平行四边形.

∵AB=AC,F为BC的中点,

∴AF⊥BC.

∴平行四边形AFBD为矩形.

∵∠BAC=90°,F为BC的中点,

∴AF=BC=BF.

∴四边形AFBD为正方形.

(3)正确画出图形如图.

由(2)知,△ABC为等腰直角三角形,AF⊥BC,

设CF=k,则GF=EF=CB=2k.

由勾股定理,得:CG=k.

sin ∠CGF===.

19.(1)证明:如图,连接BO,∵PB为☉O的切线,B为切点,

∴OB⊥PD,∠PBO=90°.

又∵OA=OB,OC⊥AB,

∴∠AOC=∠BOC.又∵OP=OP,

∴△PAO≌△PBO,

∴∠PAO=∠PBO=90°,PA=PB,

∴PA是☉O的切线.

(2)解:∵∠ACO=∠PAO=90°,∠AOC=∠POA,

∴△AOC∽△POA,

∴==.又∵OC=4,∴AC=6.

在Rt△AOC中,

OA===2,

∴PA=OA=3,∴PB=3.

在Rt△PAO中,PO===13.

如图,连接BE.∵AE为直径,∴∠ABE=90°.又∵OC⊥AB,

∴BE∥OP,∴△DBE∽△DPO,BE=2OC=8.

∴=.

即=.解得BD=.

∴在Rt△DBO中,tan D===.