三年 (2020-2022 ) 新高考真题汇编专题08计数原理及概率与统计

新高考专题08计数原理及概率与统计

【2022年新高考1卷】

1．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】

从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：，共7种，

故所求概率.

故选：D.

【2022年新高考2卷】

2．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】B

【解析】

【分析】

利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】

因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，

故选：B

【2021年新高考1卷】

3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

【答案】B

【解析】

【分析】

根据独立事件概率关系逐一判断

【详解】

，

故选：B

【点睛】

判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立

【2021年新高考2卷】

4．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ）

A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大

B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等

【答案】D

【解析】

【分析】

由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.

【详解】

对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；

对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；

对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；

对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.

故选：D.

【2020年新高考1卷（山东卷）】

5．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

【答案】C

【解析】

【分析】

分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】

首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

【2020年新高考1卷（山东卷）】

6．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ）

A．62% B．56%

C．46% D．42%

【答案】C

【解析】

【分析】

记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.

【详解】

记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则，，，

所以

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.

故选：C.

【点睛】

本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.

【2020年新高考2卷（海南卷）】

7．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）

A．2种 B．3种 C．6种 D．8种

【答案】C

【解析】

【分析】

首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【详解】

第一步，将3名学生分成两个组，有种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法

所以，不同的安排方法共有种

故选：C

【点睛】

解答本类问题时一般采取先组后排的策略.

【2021年新高考1卷】

8．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】

A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】

A：且，故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；

C：，故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；

故选：CD

【2021年新高考2卷】

9．下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ）

A．样本的标准差 B．样本的中位数

C．样本的极差 D．样本的平均数

【答案】AC

【解析】

【分析】

考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.

【详解】

由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

【2020年新高考1卷（山东卷）】

10．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ）

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C．若，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

【答案】AC

【解析】

【分析】

对于A选项，求得，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出 ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.

【详解】

对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.

对于B选项，若，则，，

所以，

当时，，

当时，，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若，则

，

则随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且 （ ）.

.

由于，所以 ，所以 ，

所以，

所以，所以D选项错误.

故选：AC

【点睛】

本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

【2020年新高考2卷（海南卷）】

11．我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;

B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;

C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;

【答案】CD

【解析】

【分析】

注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.

【详解】

由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；

由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;

由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;

由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;

【点睛】

本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.

【2022年新高考1卷】

12．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

【答案】-28

【解析】

【分析】

可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】

因为，

所以的展开式中含的项为，

的展开式中的系数为-28

故答案为：-28

【2022年新高考2卷】

13．已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．

【答案】##．

【解析】

【分析】

根据正态分布曲线的性质即可解出．

【详解】

因为，所以，因此．

故答案为：．

【2022年新高考1卷】

14．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．

附，

【答案】(1)答案见解析

(2)（i）证明见解析；(ii)；

【解析】

【分析】

(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.

（1）

由已知，

又，，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

（2）

(i)因为，

所以

所以，

(ii)

由已知，，

又，，

所以

【2022年新高考2卷】15．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

【答案】(1)岁；

(2)；

(3)．

【解析】

【分析】

（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；

（3）根据条件概率公式即可求出．

（1）

平均年龄

    （岁）．

（2）

设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以

．

（3）

设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，

则由已知得：

,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．

【2021年新高考1卷】

16．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）类．

【解析】

【分析】

（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．

【详解】

（1）由题可知，的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以的分布列为

（2）由（1）知，．

若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以．

因为，所以小明应选择先回答类问题．

【2021年新高考2卷】17．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．

（1）已知，求；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用公式计算可得.

（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.

（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.

【详解】

（1）.

（2）设，

因为，故，

若，则，故.

，

因为，，

故有两个不同零点，且，

且时，；时，；

故在，上为增函数，在上为减函数，

若，因为在为增函数且，

而当时，因为在上为减函数，故，

故为的一个最小正实根，

若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，

综上，若，则.

若，则，故.

此时，，

故有两个不同零点，且，

且时，；时，；

故在，上为增函数，在上为减函数，

而，故，

又，故在存在一个零点，且.

所以为的一个最小正实根，此时，

故当时，.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.

【2020年新高考1卷（山东卷）】

18．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：

（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？

附：，

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.

【解析】

【分析】

（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；

（2）根据表格中数据可得列联表；

（3）计算出，结合临界值表可得结论.

【详解】

（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，

所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；

（2）由所给数据，可得列联表为：

（3）根据列联表中的数据可得

，

因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.