2023届高考数学二轮专题复习10直线平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定与性质

1．线面平行的判定定理与性质定理

1．在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，如图所示，下列说法不正确的是（）

A．点的轨迹是一条线段 B．与是异面直线

C．与不可能平行 D．三棱锥的体积为定值

【答案】C

【解析】对于A．设平面与直线交于点，连接、，则为的中点，

分别取，的中点，，连接，，，

则易得，

又平面，平面，

平面，同理可得平面，

、是平面内的相交直线，

平面平面，由此结合平面，可得直线平面，

即点是线段上的动点．A正确；

对于B．假设直线共面，由题意点在侧面上，且三点不共线，

所以直线共面于侧面，则平面，

这就与在正方体中，平面相矛盾，

故假设不成立，即与是异面直线，B正确；

对于C，连接，由分别为的中点，则，

又，所以，且，所以四边形为平行四边形，

所以，故当点与点重合时，与平行，C错误；

对于D，由选项A的过程可知，

又，所以，

又，分别为，的中点，所以，所以，则，

平面，平面，所以平面，

则到平面的距离是定值，三棱锥的体积为定值，所以D正确，

故选C．

2．已知直三棱柱中，，点D是AB的中点．

（1）求证：平面；

（2）若底面ABC是边长为2的正三角形，，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）1．

【解析】（1）连接交于点E，连接DE，

∵四边形是矩形，∴E为的中点，

又∵D是AB的中点，∴，

又∵平面，平面，∴面．

（2）∵，D是AB的中点，∴，

又∵面ABC，面ABC，∴．

又∵面，面，，

∴面，∴CD为三棱锥的高，，

又∵，，∴，，

∴三棱锥的体积．

3．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，E为棱PC的中点．

（1）证明：平面PAD；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）在四棱锥中，取线段PD的中点F，连接AF，EF，如图，

因E为棱PC的中点，则，，

而，，于是得，，

即四边形ABEF是平行四边形，有，

又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．

（2）在四棱锥中，在平面内过P作交CD于O，连接AO，

因平面平面ABCD，平面平面，则平面，平面，即有，

因，，则，，

而，有，则，

显然OA，OC，OP两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，

，，，

设平面的一个法向量，则，

令得：；

设平面的一个法向量，则，令得：，

则，

显然二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值是．

4．如图，，分别是正三棱柱的棱，的中点，且棱，．

（1）求证：平面；

（2）求锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：在线段上取中点，连接、．

因为是的中位线，所以，且．

又因为，且，所以，，且，

所以四边形是平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面．

（2）解：取中点，因为三棱柱是正三棱柱，

所以是等边三角形，所以．

分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，．

设平面的一个法向量为，

则，取，则．

因为平面的一个法向量为，

所以，

所以锐二面角的余弦值为．

5．如图，在三棱柱中，为棱的中点，平面．

（1）试确定点的位置，并证明平面；

（2）若是等边三角形，，，且平面平面，求四面体的体积．

【答案】（1）延长，交的延长线于点N，证明见解析；（2）．

【解析】（1）延长，交的延长线于点N．

∵，平面，∴平面．

又∵，∴平面，点N即为所求．

连接，交直线于点O，连接OM．

∵，∴．

又∵M为线段的中点，∴，即M为线段NB的中点．

在三棱柱中，四边形为平行四边形，

∴O为线段中点，∴OM为中位线，

∴．

又∵平面，平面，

∴平面．

（2）取线段的中点G，连接．

由条件知，为等边三角形，∴，且．

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，即是三棱锥的高．

又∵，∴．

由（1）知，，，

∴，

∴四面体的体积．

6．如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）因为，，，分别是，，，的中点，

所以，，所以．

又平面，平面，所以平面．

又平面，平面平面，

所以．

又，所以．

（2）在中，，，所以．

又平面，所以，，两两垂直．

以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，，，，．

所以，，，．

设平面的一个法向量为，

由，，得，取，得．

设平面的一个法向量为，

由，，得，取，得．

设二面角为，由图象知二面角为锐角，

则．

7．如图，三棱锥中，AC，BC，PC两两垂直，，E，F分别是棱AC，BC的中点，的面积为8，四棱锥的体积为4．

（1）若平面平面，证明：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：因为E，F分别是AC，BC的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面．

因为平面平面，平面PEF，所以．

（2）解：因为AC，BC，PC两两垂直，，AC，平面ABC，

所以平面ABC，所以PC是四棱锥的底面ABFE上的高，

因为，，所以．

因为E，F分别是AC，BC的中点，，

所以，即．

以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，可得，，，，

所以，．

设平面EFP的一个法向量为，所以，可得，

令，所以，即，

又由平面，所以平面的一个法向量为，

所以，

由图知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

8．将一本书打开后竖立在桌面上（如图），P，Q分别为AC，BE上的点，且．求证：平面．

【答案】证明见解析．

【解析】依题意，矩形ABCD与矩形BCEF是全等的，则有AC=BE，

因P，Q分别为AC，BE上的点，过P作PM//BC交AB于M，过Q作QN//BC交BF于N，连MN，如图，

而，QN//EF，于是得，

又BC=EF，因此有PM=QN，显然有PM//QN，

从而有四边形PMNQ是平行四边形，则PQ//MN，

而平面，平面，所以平面．

9．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点．

（1）求证：平面平面；

（2）若平面，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）因为，所以，

又，所以，

因为平面，平面，所以，

又，在平面内，，所以平面，

又平面，所以平面平面．

（2）如图，连接，相交于点，

因为平面，面，面面，

所以，所以．

2．面面平行的判定定理与性质定理

1．（多选）在下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是（）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】对选项A，如图所示：

因为，，分别为其所在棱的中点，所以，

又因为平面，平面，所以平面，

因为，平面，平面，所以平面，

又因为平面，，

所以平面平面，

因为平面，所以平面，故A正确；

对选项B，如图所示：

因为，，分别为其所在棱的中点，所以，

又因为，所以，

因为平面，平面，所以平面，故B正确；

对选项C，如图所示：

因为，，分别为其所在棱的中点，所以为的等分点，

所以与必相交，即与平面的位置关系为相交，故C错误；

对选项D，如图所示：

因为，，分别为其所在棱的中点，所以，点在平面内，

又因为平面，，

所以与平面的位置关系为相交，故D错误，

故选AB．

2．如图，在正方体中，，，，分别是棱、、、的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足________时，有平面．

【答案】

【解析】连接，，，

因为，，分别是棱、，的中点，

所以，，

因为平面，平面，所以面，

同理可得面，

因为，，平面，

所以平面平面，

又因为点在四边形及其内部运动，平面，

故当时，平面，

故答案为．

3．如图，在正方体中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD，SC的中点，求证：

（1）EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）如图所示，连接SB，

因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB，

又因为SB⊂平面BDD1B1，且EG平面BDD1B1，

所以直线EG∥平面BDD1B1．

（2）如图所示，连接SD，因为F，G分别是CD，SC的中点，所以FG∥SD，

又因为SD⊂平面BDD1B1，且FG平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，

又由EG∥平面BDD1B1，EG⊂平面EFG，FG平面EFG，EG∩FGG，

所以平面EFG∥平面BDD1B1．

4．如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，，、、分别是，，的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在点Q，它就是点．

【解析】（1）证明：、、分别是，，的中点，

，四边形为平行四边形，可得，

因为平面，平面，平面，

同理可得平面，

又，平面，

平面平面．

（2）假设在线段上存在一点使平面．

四边形是正方形，因此点为点．

不妨取，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，，

，．

所以，，

又，平面，所以平面，

在线段上存在一点，使平面，其中点为点．

5．如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．

（1）证明：平面BMN∥平面PCD；

（2）若AD＝6，求三棱锥P­BMN的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：连接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．

∵M为AD的中点，∴BM⊥AD．

∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD．

又BM平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD．

∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD．

又MN平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD．

又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．

（2）在（1）中已证BM⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BM⊂平面ABCD，∴BM⊥平面PAD．

又AD＝6，∠BAD＝60°，∴．

在△PAD中，∵PA＝PD，PA⊥PD，∴．

∵M，N分别为AD，PA的中点，

∴△PMN的面积，

∴三棱锥P­BMN的体积．

6．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，，分别为棱，的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求点到面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）设与交于点，连接，，如下图所示：

因为底面为矩形，则为和的中点，

因为，分别为棱，的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，

同理，平面，

因为，且平面，平面，

所以平面平面，

因为平面，所以平面．

（2）由，易得，的面积，

因为平面，平面，所以，

故的面积为，

设点到面的距离为，由得，即，

从而，

故点到面的距离为．

7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点．

（1）证明：直线PF//平面ACG；

（2）求直线PD与平面ACG所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：连接EC，设EB与AC相交于点O，如图，

因为BC//AD，且，AB⊥AD，

所以四边形ABCE为矩形，所以O为EB的中点，

又因为G为PB的中点，所以OG为△PBE的中位线，即OG∥PE，

因为OG平面PEF，PE⊂平面PEF，

所以OG//平面PEF，

因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以EF//AC，

因为AC平面PEF，EF⊂平面PEF，所以AC//平面PEF，

因为OG⊂平面GAC，AC⊂平面GAC，AC∩OG＝O，

所以平面PEF//平面GAC，

因为PF⊂平面PEF，所以PF//平面GAC．

（2）因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，

因为AB⊥AD，所以PA、AB、AD两两互相垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），

所以，

设平面ACG的法向量为，则，所以，

令，可得，，所以，

设直线PD与平面ACG所成角为θ，则

，

所以直线PD与平面ACG所成角的正弦值为．

8．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】存在，点F是PB的中点，证明见解析．

【解析】当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，

证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∴OF∥PD．

又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD．

又MA∥PB且PB＝2MA，∴PF∥MA且PF＝MA，

∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM．

又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD．

又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，

∴平面AFC∥平面PMD．

9．如图，在长方体中，，P是中点．

（1）求证：直线平面PAC；

（2）在棱上求一点Q，使得平面平面，并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）取的中点Q，则平面平面，证明见解析．

【解析】（1）连接BD交AC于O点，连接OP，

因为O为矩形对角线的交点，则O为BD的中点，

又P为的中点，则，

又因为平面PAC，平面PAC，

所以直线平面PAC．

（2）取的中点Q，则平面平面，

证明：因为P为的中点，Q为的中点，

四边形与长方体的上下底面相交AC，，则，

因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，

同理可得平面PAC，

又，平面，平面，

所以平面平面．

10．在三棱柱中，

（1）若分别是的中点，求证：平面平面；

（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）1．

【解析】（1）∵分别是的中点，∴，

∵平面，平面，∴平面，

∵，，∴四边形是平行四边形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面，

又∵，平面，∴平面平面．

（2）连接交于O，连接，

由平面平面，且平面平面，

平面平面，∴，

则，

又由题设，∴，即．