2023届重庆市高三模拟调研（六）数学试题含解析

2023届重庆市高三模拟调研（六）数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数的性质求集合，再应用集合的交运算求.

【详解】由，可得或，即或，

由，则，即，

所以.

故选：D

2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由对称关系得复数，根据复数的运算律计算.

【详解】在复平面内对应的点为，关于实轴对称的点为，

所以，则，

故选：B.

3．命题，的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为，.

故选：C

4．某同学经过研究发现实际是一条双曲线，则该双曲线的焦距为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】D

【分析】根据图象的特征确定双曲线的对称轴、焦点、顶点、渐近线，再作旋转使渐近线为、顶点为，结合双曲线参数关系即可求焦距.

【详解】由的对称轴为，且焦点在上、顶点为和，渐近线为轴，

若把该双曲线顺时针旋转，则双曲线渐近线为、顶点为，故，

所以，则焦距为.

故选：D

5．在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点在，，三种情况，求出的取值范围.

【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，

设，则，

当点在上时，设，

则，即，故，

当点在上时，设，

则，即，解得，

故，

当点在上时，设，

则，即，故

综上，的取值范围是.

故选：B

6．式子化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.

【详解】原式

.

故选：B.

7．函数的部分图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数解析式，从函数的奇偶性、特殊值符号、零点进行判断即可得所求函数图象.

【详解】函数得定义域为，则，故该函数为奇函数，故可排除B选项；

又，故可排除C选项；

又，，可以排除D选项.

故符合的函数图象为A.

故选：A.

8．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交右支于，两点，满足，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】令，则，结合双曲线定义求得，应用余弦定理列方程求离心率.

【详解】令，则，而，

又，即，故，

由，

整理得：，进而有，

所以，故或（舍）.

故选：A

二、多选题

9．在展开式中（    ）

A．展开式中不存在含的项 B．展开式所有项系数和为243

C．展开式中含项的系数为30 D．展开式共21项

【答案】BCD

【分析】表示个相乘，含的项是在个中选个，个，即可判断A，令，即可得到展开式的系数和，从而判断B，含项是在个中选个，个，个，根据组合数公式判断C，将问题转化为盒子中取元素，即可得到展开式的项数，即可判断D.

【详解】表示个相乘，

含的项是在个中选个，个，

所以展开式中含的项的系数为，故A错误；

令，则展开式所有项系数和为，故B正确；

含项是在个中选个，个，个，

所以展开式中含的项的系数为，故C正确；

的展开式的项可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素，

现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘，

若只选一个字母则有种，

若选个字母则有种，

若选个字母则有种，

故展开式共有项，故D正确；

故选：BCD

10．已知数列是等差数列，，，，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，，，，则下列选项成立的有（    ）

A． B．

C．直线与直线的斜率相等 D．直线与直线的斜率不相等

【答案】ABC

【分析】利用等差数列的性质及合比性质判断A；根据两点距离公式、两点斜率公式判断B、C、D.

【详解】由题设，且，又是等差数列，若公差为，

，又，

所以，A正确；

由，，

又，故，B正确；

由，，故直线与直线的斜率相等，C正确；

同理，，故直线与直线的斜率相等，D错误.

故选：ABC

11．已知某正方体的体积为64，它的内切球的球面上有四个不同点，，，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则直线与可能异面

B．若，则直线与可能平行

C．若，则平行直线与间距离的取值范围是

D．若直线与相交，则四边形面积的取值范围是

【答案】ABD

【分析】先求出正方体的边长，根据，可得是以为半径的截面圆的直径，根据以为直径的截面圆和以为直径的截面圆平行时，结合图象即可判断AC；根据球的截面的性质结合条件当四点在同一个截面圆中时结合三角形的面积公式即可判断BD.

【详解】因为正方体的体积为64，所以该正方体的边长为，

则它的内切球的球的半径为，

因为，

所以是以为半径的截面圆的直径，

对于A，若，假如以为直径的截面圆和以为直径的截面圆平行时，

则直线与异面，故A正确；

对于B，若，当四点在同一个截面圆中时，

如图所示，由对角线垂直且平分可得四边形为正方形，

所以，故B正确；

对于C，若，当以为直径的截面圆和以为直径的截面圆平行时，

平行直线与间距离最大，

此时在同一个轴截面内，如图所示，

则，所以，

所以平行直线与间距离的最大值为，

又因平行直线与间距离大于，

所以平行直线与间距离的取值范围是，故C错误；

对于D，直线与相交，则四点在同一个截面圆中，如图所示，

设交于点，设，

则

，

，

则四边形面积，

因为，所以，

所以四边形面积的取值范围是，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：从所在的截面圆和所在的截面圆平行和四点在同一个截面圆中，两个角度来分析是解决本题的关键.

12．已知函数，，则（    ）

A．与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素

B．在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反

C．的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点

D．函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值

【答案】BC

【分析】首先确定定义域为、定义域为，再应用导数研究与符号，进而判断其单调性、极值点情况；判断、奇偶性，研究它们在上的性质；根据的值域情况及研究最值、及函数值是否有公共元素.

【详解】定义域为，对于有，即，故定义域不同，

由，，且，

故在相同的区间内与符号相反，即对应、单调性相反，B正确；

由上，、的极值点恰好相反，的极大值点为极小值点，的极小值点为极大值点，C正确；

由，，均为偶函数，

只需研究在上、的性质：

由且，则，故递增，则，故，

而在上连续，且函数值在范围内波动，即函数值为正、负的区间交替出现，

结合知：取0时趋向于无穷大（含正负无穷），无最值；D错误；

极小值，则为极大值，

极大值，则为极小值，

所以、值域不可能存在公共点，A错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：利用导数研究、单调性、极值情况，注意函数的波动性及值域范围，结合研究最值.

三、填空题

13．已知随机变量，，则______.

【答案】/

【分析】利用正态分布的对称性可得，即可得结果.

【详解】由题设，而，且，

所以.

故答案为：

14．已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是______cm.

【答案】

【分析】根据已知可得、且求解析式，将代入求值即可.

【详解】由题意，且最小正周期，即，故，

所以，且，即，

不妨令，故，

当，则.

故答案为：

15．现有身高各不相同的10名男同学参加队列表演，按照比赛要求，需排成两列纵队，每列5人且前矮后高，则有______种排法.

【答案】

【分析】将10人平均分为两组，则各组排法只有一种，再用组合数求排法数.

【详解】由题意，10名男同学选5人为一列，另5人为另一列，且每列排法只有一种，

所以，共有种.

故答案为：

16．已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】问题转化为为射线与圆交点时，使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，则有，为圆半径，即可求范围．

【详解】由，即在上运动，而为圆上任意一点，

要使圆上存在一点使，

即过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为即可，

所以，只需为射线与圆交点时，使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，

如上图，上述两条垂线刚好与圆相切为满足要求的临界情况，

所以，只需，为圆半径，即，

又，故，可得.

故答案为：

四、解答题

17．已知正项数列满足:,且.

(1)证明数列是等差数列;

(2)若,求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先求出,再证明常数,即可；

（2）化简,运用裂项相消求和即可.

【详解】（1）由,得.

因为,所以.

由,得.

若,上式不成立,所以.

所以.

若,与矛盾,所以,所以.

由,得.

所以是首项为1,公差为1的等差数列.

（2）所以,即.

.

所以数列的前项和

.

18．李医生研究当地成年男性患糖尿病与经常喝酒的关系，他对盲抽的60名成年男性作了调查，得到如下表统计数据，还知道被调查人中随机抽一人患糖尿病的概率为.

(1)写出本研究的列联表，依据小概率值的独立性检验，判断当地成年男性患糖尿病是否和喝酒习惯有关联？

(2)从该地任选一人，表示事件“选到的人经常喝酒”，表示事件“选到的人患糖尿病”，把与的比值叫“常喝酒和患糖尿病的关联指数”，记为.

（ⅰ）利用该调查数据求的值；

（ⅱ）证明：.

参考公式及数表：，

【答案】(1)联立表见解析；当地成年男性患糖尿病与喝酒习惯无关联；

(2)；证明见解析.

【分析】（1）根据题干填写联立表，再根据卡方公式计算对照数表进行判断即可.

（2）根据条件概率公式求出（2）问中对应条件概率，代入式中计算即可.

【详解】（1）根据题意可知，患糖尿病的人数为人，这10人中不经常喝酒的有6人，

，

因此依据小概率值的独立性检验，当地成年男性患糖尿病与喝酒习惯无关联.

（2）（ⅰ）经常喝酒且患糖尿病的人数有4人，则，

经常喝酒的人数有10人，则，

，

经常喝酒且没患糖尿病的人数有6人，则，

，

；

（ⅱ）证明：患糖尿病的人数有10人，则；没患糖尿病的人数有50人，则，

，，

.

19．如图所示，已知圆是的外接圆，圆的直径.设，，，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，

①；

②；

③的面积为.选择条件______.

(1)求的值；

(2)求的周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，再结合两角和的余弦公式及诱导公式求出，在利用正弦定理计算可得；若选②，根据同角三角函数的基本关系、和差角公式及诱导公式求出，在利用正弦定理计算可得；若选③，利用面积公式及余弦定理求出，在利用正弦定理计算可得；

（2）由题知，设，，利用正弦定理得到，，再根据三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）若选①，因为，

由正弦定理可得，

显然，所以，

即，所以，所以，又，所以，

因为外接圆的半径，所以.

若选②，因为，

所以，

即，

所以，

所以，所以，又，所以，

因为外接圆的半径，所以.

若选③，的面积为，则，

由余弦定理可得，所以，所以，又，所以，

因为外接圆的半径，所以.

（2）由题知，设，，

由正弦定理，

所以，，

所以

，

因为，所以，所以，

所以.

20．已知双曲线的实轴长为6，左右焦点分别为，，点在双曲线上，轴，且.

(1)求双曲线及其渐近线的方程；

(2)如图，若过点斜率为的直线与双曲线及其两条渐近线从左至右依次交于，，，四点，且，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得，求出，再由双曲线的定义求出，即可得出方程；

（2）设出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理及弦长公式求出，

再联立直线与渐近线方程得出的横坐标，再由弦长公式求出，再由即可得解.

【详解】（1）由题意知，，即，

由轴，可知，代入双曲线方程可得，

又，即，解得，

所以双曲线的方程为.

（2）由（1）可知，，所以，

设直线方程为 ，，，，，

由，可得，

，，

，

由可知双曲线的渐近线方程为和，

联立可得，同理可得

由可得，，

化简可得，即，

整理得，，解得.

21．如图，圆台的上、下底面圆半径分别为1，2，圆台的高为，是下底面圆的一条直径，点在圆上，且，点在圆上运动（与在的两侧），是圆台的母线，.

(1)求的长；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据圆台的性质可得平面，从而得到，再由，得到平面，即可得到，从而得到，再由锐角三角函数求出，即可得到为等边三角形，从而得解；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）依题意平面，平面，所以，

又，与相交，，平面，所以平面，

平面，所以，

因为，所以，

因为，，，所以，则，

所以，所以为等边三角形，所以.

（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，

由，所以，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，

设平面的法向量为，则，

令，则，

设平面与平面的夹角为，则，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

22．已知函数，.

(1)求函数的极值；

(2)证明：当时，在上恒成立.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)证明见解析

【分析】（1）求得，令，求得，结合，得到函数的单调性，进而求得极值；

（2）由，根据题意，由且，放缩得到，令，求得，得出函数单调性，结合单调性求得，得出，即可得证.

【详解】（1）解：由函数，可得定义域为，

且，

令，可得，所以单调递增，

又因为，

所以当时，，可得，单调递减；

当时，，可得，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.

（2）解：由，

因为且，

可得

令，

可得，

因为，即或，

又因为方程的两根都是负数根（舍去），

所以，可得

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，同时也为在上的最小值，

即，所以，

所以，所以，    

故当时，在恒成立.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．