2023年全国新高考普通高中全真模拟卷（四）数学试题含解析

这是一份2023年全国新高考普通高中全真模拟卷（四）数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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仿真卷04
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵，，∴，故选B。
2．设复数（），且，则（ ）。
A、
B、或
C、
D、或
【答案】A
【解析】，解得，
当时，则，，
当时，则，，故选A。
3．某地积极响应党中央的号召，开展扶贫活动，扶贫第年该地区贫困户每年人均收入万元的部分数据如下表：
年份编号
1
2
3
4
5
年人均收入
0.5
0.6

1.4
1.7
根据表中所给数据，求得与的线性回归方程为，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】，，由，可得，故选C。
4．“牵星术”是古代的航海发明之一，在《郑和航海图》中都有记载。如图所示，“牵星术”仪器主要是由牵星板（正方形木板），辅以一条细绳贯穿在本板的中心牵引组成，要确定航船在海上的位置，观察员一手持一块竖直的牵星板，手臂向前伸直，另一手持看线端置于眼前，眼睛瞄准牵星板上下边缘，将下边缘与水平线取平，上边缘与北极星眼线重合，通过测出北极星眼线与水平线的夹角来确定航船在海上的位置（纬度）。某航海观察员手持边长为的牵星板，绳长，观察北极星，眼线恰好通过牵星板上边缘，则航船所处的纬度位于区间（ ）。
参考数据：、、、。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】如图可知，为的中点，则，
∴，
，
，∵，
∴，则航船所处的纬度位于区间，故选C。
5．技术的数学原理之一是著名的香农公式：。它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比。当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计。假设目前信噪比为，若不改变带宽，而将最大信息传播速度提升，那么信噪比要扩大到原来的约（ ）。
A、倍
B、倍
C、倍
D、倍
【答案】D
【解析】由题意设现在的信噪比为，则可列出等式，
∴，∴，∴，故选D。
6．已知函数的定义域为，且满足，若，则在内的零点个数为（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】由题意可得函数的图像如图所示，
则当时，的值域为，则与在内无交点，
当时，的值域为，则与在内有一个交点，
以此类推，结合图像可知，与共有个交点，故选B。
7．如图所示，在底圆半径和高均为的圆锥中、是过底圆圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】如图所示，过点作，垂足为，
∵是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为，
∴，∴，
在平面内建立平面直角坐标系如图，
设抛物线的方程为：（），为抛物线的焦点，
而点的坐标为，代入抛物线方程可得：，
∴，，即，，，
∴抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为，故选A。
8．四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随机进行传递，游戏规定：每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就完成了一次传递。若游戏开始时幸运星在甲手上，记完成（，）次传递后幸运星仍在甲手上的所有可能传递方案种数为，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵从甲开始，一次传递有三种情况（甲传到下一个人有三种选择），
∴当时，就传递一次，不可能回到甲手上，∴，
∴当时，传递两次，先传到任意乙、丙、丁手上，再传回到甲，∴，
当时，传递三次，先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，
最后传回到甲，∴，
当时，传递四次，两种情况：
（1）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，
再传到任意乙、丙、丁手上，最后传回到甲，∴，
（2）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，
再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，∴，
∴，
当时，传递五次，三种情况：
（1）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，
再传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，
最后传回到甲，∴，
（2）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，
再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，
最后传回到甲，∴，
（3）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，
再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，
最后传回到甲，∴，
∴，
当时，传递六次，两种情况：
（1）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，
再传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，
再传到任意乙、丙、丁手上，
最后传回到甲，∴，
（2）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，
再传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，
再传到除了甲以外的两个人手上，
最后传回到甲，∴，
（3）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，
再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，
再传到除了甲以外的两个人手上，
最后传回到甲，∴，
（4）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，
再传到除了甲以外的两个人手上，再传到甲手上，
再传到任意乙、丙、丁手上，最后传回到甲，∴，
（5）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，
再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，
再传到除了甲以外的两个人手上，
最后传回到甲，∴，
∴，
故选D。
答题技巧： D选项一定不做！单选题，ABC错，则D一定对，但要注意一定要保证其他三个选项一定全错。
二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．下列命题中正确的是（ ）。
A、，
B、，
C、，
D、，
【答案】ABC
【解析】A选项，由指数函数图像性质可知，当时，恒成立，对，
B选项，由对数函数图像可知，当，同样恒成立，对，
C选项，在上单调递减，在在上单调递增，
当时，，，当时，，
∴，，对，
D选项，在上单调递减，在在上单调递减，
当时，，当时，，
∴，，错，
故选ABC。
10．年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线。如图所示，取一个边长为的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第个图形，重复上面的步骤，得到第个图形。这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线。云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”。下列说法正确的是（ ）。
A、第个图形的边长为
B、记第个图形的边数为，则
C、记第个图形的周长为，则
D、记第个图形的面积为，则对任意的，存在正实数，使得
【答案】BCD
【解析】各个图像的边长成等比数列，且，
∴可设边长为，，A选项错，
各个图形的边数也成等比数列，且，∴，B选项对，
周长为，C选项对，
当时，图形无限接近于圆，故，D选项对，
故选BCD。
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）。
A、为周期函数
B、的图像关于点对称
C、有最大值
D、在上单调递增
【答案】ABD
【解析】，
∵，∴为周期函数，A正确，
由得的图像关于点对称，B正确，
令，得，则，∴，
∴有最大值，C错误，
令，当时，，，
，D正确，
故选ABD。
12．如图所示，已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，点、分别在半圆弧和半圆弧（均不含端点）上，且、、、在球上，则下列说法正确的是（ ）。
A、当点在半圆弧的中点处时，三棱锥的体积为定值
B、当点在半圆弧的中点处时，过、、三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形
C、球的表面积的取值范围为
D、当点在半圆弧的三等分点处时，球的表面积为










【答案】AD
【解析】如图1，取棱的中点，棱的中点，棱的中点，
根据题意，球心在线段上，设，，
则由余弦定理可得，设，则，
∴，
∵（为球的半径），∴，∴，
∴球的表面积为，C选项错，
当点在半圆弧的三等分点处时，，则，
∴，
∴球的表面积，D选项对，
当点在弧上时，连结，在平面中，过点作的平行线，
与线段、分别交于、，
延长与的相交，连结交点与点交于点，
此时当点在半圆弧的中点处时，
过、、三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形，B选项错，
当在半圆弧的中点处时，三棱锥的体积为
，为定值，A选项对，
故选AD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．已知向量、满足：、、，则与的夹角大小为 。
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，∴。
14．在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多个，则型机器人的个数为 。
【答案】
【解析】设机器人总个数为，型机器人的个数为、型机器人的个数为，
∵型机器人比型机器人多个，∴，解得，
∴型机器人有个，型机器人有个，
又∵型机器人被选中的概率为，∴，
解得，∴、，∴型机器人的个数为。
15．设、分别为双曲线：的左、右焦点，若双曲线上存在点，使得，且，则 。
【答案】
【解析】设，则，∴在焦点中，由余弦定理得：

，
∴，，
又，∴，解得。
16．若（）对于恒成立，则当时，的最小值为 ；当时，的最小值为 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
【答案】
【解析】当时，，令，定义域为，
则，令，解得，
当时，，∴在内单调递增，
当时，，∴在内单调递减，
∴在处取得极大值也是最大值，∴，
又当时，，当时，，，
∴做的图像如图所示，∴，即的最小值为，
设，则为直线，
∵，∴斜率为正，为最小值时，
即直线的截距为负，当为的切线时，截距最小，
设切点为，则，
∴，∴，解得，
∴，设，，
，令，解得，，
又，∴当时，，∴在单调递减，
当时，，∴在单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，∴，即的最小值为。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）设为数列的前项和，已知，。
（1）证明：数列是等比数列；
（2）判断、、是否成等差数列？并说明理由。
【解析】（1）∵，，∴， 1分
由题意得，∴，又， 3分
∴是首项为、公比为的等比数列， 4分
（2）由（1），∴， 5分
∴， 7分
∴， 9分
∴， 即、、成等差数列。 10分
18．（本小题满分12分）已知函数（，）的图像是由的图像向右平移个单位得到的。
（1）若的最小正周期为，求的与轴距离最近的对称轴方程；
（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围。
【解析】（1）∵的最小正周期为，∴，∴， 2分
∵的图像是由的图像向右平移个单位得到的，
∴， 4分
令，，得的对称轴方程为，， 5分
要使直线（）与轴距离最近，则须最小，
∴，此时对称轴方程为； 6分
（2）由已知得：，
令得：，，即，， 8分
∵在上有且仅有一个零点，
∴，∵，∴，∴，11分
解得：，∵，∴，∴。 12分
19．（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，、，为中点，为中点。
（1）求证：平面；
（2）若线段上存在点使得，求直线与平面所成角的正弦值。






【解析】（1）在长方体中，以为原点如图建系，设， 1分
则、、、、、、
、、、， 3分
∴，、，
∴、，∴、，
又，平面，∴平面； 5分
（2）设，设，则，
∴、，，∴，
又，∴， 6分
∵，，
∴，解得，∴， 8分
∴、、，
设平面的法向量为，则，即，
则，令，解得，则， 10分
设直线与平面所成角的平面角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为。 12分
20．（本小题满分12分）某学校共有名学生参加知识竞赛，其中男生人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示。将分数不低于分的学生称为“高分选手”。
（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在、内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女生有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？

属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生



女生



合计



（参考公式：，其中）
















【解析】（1）由题意知，解得， 1分
样本平均数为， 2分
中位数为，众数为； 3分
（2）由题意，从中抽取人，从中抽取人， 4分
随机变量的所有可能取值有、、、，
∴、、
、， 7分
∴随机变量的分布列为：










∴数学期望； 9分
（3）样本中男生人，女生人属于“高分选手”的人，其中女生人，
得出以下列联表：

属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生



女生



合计



∴，
∴有的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关。 12分
21．（本小题满分12分）已知椭圆：（）的离心率等于，椭圆与抛物线：交于、两点（在轴上方），且经过的右焦点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点、是椭圆上不同的两个动点，且满足直线与直线关于直线对称，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由。
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，设点，则， 1分
消去得：，即①， 2分
∵椭圆的离心率等于，∴，即②， 3分
将②代入①得：，化简得：， 4分
解得，∴，，∴椭圆的标准方程为； 5分
（2）将代入抛物线：中，得，解得（取正值），
则、，
当与关于直线对称时，、的斜率之和为， 6分
设直线的斜率为，则的斜率为，
设、，设直线的方程为， 7分
联立消去得：，
∴， 9分
设的直线方程为，
同理得：， 10分
∴，， 11分
则，
∴直线的斜率为定值。 12分
22．（本小题满分12分）已知函数（）。
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围。
【解析】（1）的定义域为，，
令，解得、， 1分
当，即时，舍去，在单调递减，在单调递增， 2分
当，即时，
当时，，恒成立，在单调递增，
当时，，在单调递增，
在单调递减，在单调递增，
当时，，在单调递增，
在单调递减，在单调递增； 5分
（2）当时，在单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去， 6分
当时，只有一个零点，不符合题意，舍去， 7分
当时，在单调递减，在单调递增，
且当时，当时，
则只需，即， 8分
当时，在单调递增，在单调递减，
在单调递增，
且，则不可能有两个零点，不符合题意，舍去，9分
当时，在单调递增，在单调递减，
在单调递增，
且，则要使有两个零点，只能，
由
且得：
，设，则，则，
构造，则，当时，
∴在单调递减，此时
，则在内无解，
不符合题意，舍去， 11分
综上所述，当时函数有两个零点。 12分