2023届陕西省渭南市高三下学期教学质量检测（Ⅰ）数学（文）试题含解析

2023届陕西省渭南市高三下学期教学质量检测（Ⅰ）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的定义计算.

【详解】对于集合B， ， ；

故选：B.

2．设复数满足，则的虚部是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出的值，然后两边同除，最后用复数的除法运算求解.

【详解】

，即

所以的虚部是.

故选：C

二、多选题

3．已知命题；命题，则下列结论正确的是（    ）

A．命题是真命题 B．命题是真命题

C．命题是真命题 D．命题是假命题

【答案】CD

【分析】先判断的真假性，然后结合含有简单逻辑连接词命题的真假性确定正确答案.

【详解】对于命题，由于，所以是假命题，是真命题.

对于命题，，所以是真命题，是假命题.

所以、、是假命题，是真命题.

所以AB选项错误，CD选项正确.

故选：CD

三、单选题

4．已知，则取得最小值时的值为（   ）

A．3 B．2 C．4 D．5

【答案】A

【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解.

【详解】，则，当且仅当，即时等号成立.

故选：A

5．若x，y满足约束条件则的最大值是（    ）

A． B．4 C．8 D．12

【答案】C

【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数为，

上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，

所以.

故选：C.

6．已知函数，，则（    ）

A． B．在区间上有个零点

C．的最小正周期为 D．为图象的一条对称轴

【答案】A

【分析】根据正弦型函数图象性质即可求解.

【详解】由题可知，

所以函数的值域为，故A正确；

令，即即，

令，，所以，

所以有两个零点，故B错误；

,故C错误；

令即，

没有任何能使得，故D错误；

故选:A.

7．《卖油翁》中写道：“（油）自钱孔入，而钱不湿”，其技艺让人叹为观止，已知铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若随机向铜钱滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中而钱不湿的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别计算铜钱圆的面积以及正方形孔的面积，再利用几何概型求概率.

【详解】直径为的圆的面积 ,边长为的正方形的面积为，则油正好落入孔中而钱不湿的概率为.

故选：D

8．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径，小圆半径，点在大圆上，过点作小圆的切线，切点分别是，，则（    ）

A． B． C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据题意，求出，利用直角三角形的性质和二倍角公式得到，然后代入向量数量积公式即可求解.

【详解】由题意可知：，，

因为为切线，所以，如图，

由勾股定理可得：，所以,

由，，

过，

所以，

故选：.

9．已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，且，都有，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由②得关于x=1对称，由③得关于对称，由④得在上单增，根据得出的信息得的周期并画出的草图，将其都转化到同一个单调区间上看图即可得结果.

【详解】∵ 在R上为偶函数，

∴，

∴关于x=1对称.

∵ 在R上为奇函数，

∴，

∴关于对称，且

∵，∴（将上式中的x换成x-1）①

又∵，∴ ②

∴由①②得： ③

∴由③得： ④ （将③中的x换成x+2）

∴由③④得：

∴的一个周期为，且，关于对称

又∵对任意的，且，都有，

∴在上单调递增.

∴在一个周期内的草图为：

∴，

，

∴如图所示：，

即：，

故选：C.

10．如图，在直三棱柱中，，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据线线平行可得或其补角是异面直线与所成的角，利用三角形三边关系，由余弦定理即可求解.

【详解】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接 ,，

由于分别是棱的中点，所以，故四边形为平行四边形，进而,

又因为是的中点，所以,所以，则或其补角是异面直线与所成的角.

设，则，

从而，

故,

故异面直线与所成角的余弦值是.

故选：A

11．已知以圆：的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由圆的标准方程求得圆心，可得抛物线方程，利用运用抛物线的定义可得，从而可得结果.

【详解】因为的圆心

所以以为焦点的抛物线方程为，

由，解得，

抛物线的焦点为，准线方程为，如图，

即有，

当且仅当在之间）三点共线，可得最大值，

故选：A

【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.

12．已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】D

【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.

【详解】设是图象上的一点，，

所以在点处的切线方程为，①，

令，解得，

，所以，

，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），

所以，此时①可化为，

所以.

故选：D

四、填空题

13．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：

根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为___________万元.(参考数据：取)

【答案】

【分析】求出，利用中心点求得，然后令代入可得估计值，求得留在当地过年的人员数可得补贴总额．

【详解】由已知，

，

所以，则，即，

时，，

估计应补贴（万元）．

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：本题考查结尾回归直线方程的应用，线性回归直线的性质：线性回归直线一定过中心点，由此可求得方程中的参数值，得方程，从而用回归方程进行计算估计．

14．已知双曲线的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为______

【答案】

【分析】由双曲线对称性得一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨设渐近线为，由点线距离及的关系可得方程组求解.

【详解】由双曲线对称性得，一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为，即，焦点为，

则焦点到渐近线的距离，

由焦距为4得，故，

故C的渐近线方程为.

故答案为：.

15．宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为_________m.（，，结果取整数）

【答案】44

【分析】根据题意可得为等腰三角形，即可得，然后在中利用正弦定理可求得结果.

【详解】因为，，，

所以，

所以，所以，

因为，

所以，

，

在中，由正弦定理得，

，

所以

所以，

故答案为：44.

五、双空题

16．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.

【答案】         

【分析】空1：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，设该球与勒洛四面体的一个切点，连接，则三点共线，且为该球球心，也是正四面体的中心，再求正四面体的外接球半径即可得以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径；空2：再结合勒洛四面体的构成可知过三点的截面面积为3个半径为1，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为1的正三角形的面积，再计算即可得答案.

【详解】空1：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，

如图1，点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球球心，

由正四面体的性质可知该该球球心为正四面体的中心，半径为，

连接，则三点共线，此时，为正四面体的外接球的半径，

由于正四面体的棱长为1，其可以在棱长为的正方体中截出，

所以正四面体的外接球的半径即为棱长为的正方体的外接球半径，即正方体体对角线的一半，则，

故勒洛四面体能够容纳的最大球的半径；

空2：如图2，根据勒洛四面体的构成可知，过三点的截面面积为3个半径为1，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为1的正三角形的面积，

所以所得截面的面积为.

故答案为：；.

【点睛】方法点睛：

①由勒洛四面体分析内切球的球心所在的位置，结合正方体求其半径；

②分析可知勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体表面的截面，计算出该截面面积，可得结果.

六、解答题

17．设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，从而利用等差数列求和公式求出，再利用求出答案；

（2）裂项相消法求和.

【详解】（1）∵，

∴，

∴，

∴，

当时，，

又适合上式，因此；

（2），

故.

18．从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）：，记样本均值为，样本标准差为.

(1)求；

(2)将质量在区间内的零件定为一等品.

①估计这台机器生产的零件的一等品率；

②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P.

【答案】(1)，

(2)①；②

【分析】（1）由平均数、标准差的计算公式求解；

（2）由列举法结合概率公式得出①②.

【详解】（1）

，所以.

（2）①，质量在区间内的零件定为一等品，样本中一等品有：共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为；

②从5件一等品中，抽取2件，分别为，，共10种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过克的情况为：，共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过克的概率.

19．如图，在直三棱柱中，E为的中点，，.

（1）求证：；

（2）若平面，且，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据，可得平面，故而；

（2）设平面与的交点为，连接，，利用平面，得到，也可以得到，进而得到四边形是平行四边形，根据条件求得的面积为2，的面积为2，将三棱锥顶点和底面转换，利用等积法求得结果.

【详解】（1）在直三棱柱中，，

又，且，平面，，

平面，

又平面，

.

（2）设平面与的交点为，连接，，

平面平面，

平面，，

平面与棱柱两底面的交线为，，，

四边形是平行四边形.

，又是的中点，，是中点，

由直棱柱中，，，

的面积为2.

由（1）知，，

的面积为2.

设点到平面的距离为，

由体积法得， ，

点到平面的距离为.

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有应用线面垂直证明线线垂直，利用等积法求点到平面的距离，属于简单题目.

20．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.

已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.

(1)以点、所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；

(2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在点，使得直线与斜率之积为定值.

【分析】（1）根据椭圆的定义对照折纸的方法求出 ；

（2）设直线l的方程，与椭圆方程联立，再根据斜率的定义求解即可.

【详解】（1）如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系

设为椭圆上一点，由题意可知，，

所以点轨迹是以，为焦点，长轴长 的椭圆，

因为，，所以，，

则，所以椭圆的标准方程为；

（2）

由已知：直线过，设的方程为，由题意m必定是存在的，

联立两个方程得 ，消去得，

得，

设，，则，（*），

，

将（*）代入上式，可得上式，

要使为定值，则有， ，

又∵，∴，此时，

∴存在点，使得直线与斜率之积为定值；

综上，椭圆的标准方程为，存在点，使得直线与斜率之积为定值.

21．已知函数有两个极值点，，且．

（1）求实数的取值范围，并讨论的单调性；

（2）证明：．

【答案】（1），答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）求导，利用极值点与导函数的关系结合二次函数的性质求出，再由导数得出的单调性；

（2）由（1）得出，进而得出，构造函数，利用导数得出其单调性，进而证明.

【详解】解：（1）∵，

令，其对称轴为

由题意知，是方程的两个不相等的实根

则

∴

当时，，∴在内为增函数；

当时，，∴在内为减函数；

当时，，∴在内为增函数；

（2）证明：由（1）知，

令

则；

∴在上单调递增，

故．

从而

【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于将证明不等式恒成立问题转化为函数求最值问题进行处理，从而证明不等式.

22．在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程；

(2)若曲线与直线交于两点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用消参法求曲线的普通方程，注意；

（2）注意到为直径，结合点到直线的距离运算求解.

【详解】（1）由得，代入

整理得，即，

故曲线的普通方程为.

（2）∵，

∴直线的普通方程为，即，

此时直线过圆心，即为直径，故，

原点到直线的距离，

故的面积.

23．已知关于的不等式有解．

(1)求实数的最大值；

(2)在（1）的条件下，已知为正数，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)36

【分析】（1）利用绝对值不等式得，所以有解只需即可；

（2）利用均值不等式求解即可.

【详解】（1）因为，当且仅当等号成立

所以的最大值为3．

因为不等式有解，所以，解得，

所以实数的最大值．

（2）由（1）知，，

因为（当且仅当时，等号成立），

，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以的最小值为36．