2023届四川省德阳市高中高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届四川省德阳市高中高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．QB．{－3，－2，－1，0，1，3}
C．PD．{－3，－2，－1，2}
【答案】A
【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得.
【详解】因为，又，
所以.
故选：A.
2．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（ ）
A．样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9
B．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化
C．利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高
D．调查影院中观众观后感时，从15排（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法
【答案】C
【分析】按照中位数，平均数和方差的计算方法判断选项A，B的正误，根据残差图的含义判断选项C的正误，区分不同抽样方法的概念判断D的正误.
【详解】对于A，样本数据1、3、5、7、8、9、10、12、13、18的中位数为，A错误；
对于B，每个数据都减去同一个数后，平均数也应为原平均数减去这个数，B错误；
对于C，残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则拟合精度高，C正确；
对于D，每排任意抽取一人应为简单随机抽样，D错误；
故答案为：C.
3．复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.
【详解】,
故的共轭复数为 ，
故选：B
4．已知等比数列的前n项和为，且，，则=.
A．90B．125C．155D．180
【答案】C
【分析】由等比数列的性质，成等比数列，即可求得，再得出答案.
【详解】因为等比数列的前项和为，根据性质所以成等比数列，因为，所以，故
故选C
【点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列的前项和为，则也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题.
5．已知x、y满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合求出的最小值.
【详解】
由约束条件作出可行域如图，表示可行域内的点与点连线的斜率，
联立方程，得交点坐标，由图得，当过点时，斜率最小为，所以的最小值为.
故选：D.
6．已知 点关于的对称点为,点关于的对称点为,那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分析之间的关系,将转化为,进而转化为即可.
【详解】解:由题知是的中点,是的中点,
故
.
故选：D
7．德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料（如图1）截去8个一样的四面体得到的（如图2），则下列对石凳的两条边AB与CD所在直线的描述中正确的是（ ）
①直线AB与CD是异面直线 ②直线AB与CD是相交直线
③直线AB与CD成60°角 ④直线AB与CD垂直
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】C
【分析】根据异面直线和异面直线所成角的定义判断即可.
【详解】
如图所示，延长、和正方体的一条边，会交于点，所以直线与是相交直线，故①错，②对；
连接，设正方体的边长为1，所以，即三角形为等边三角形，所以直线与成角，故③对，④错.
故选：C.
8．已知某曲线方程为，则下列描述中不正确的是（ ）
A．若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则
B．若该曲线为圆，则m＝4
C．若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上
D．若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则
【答案】B
【分析】根据双曲线的标准方程结合条件可判断AD，根据圆及椭圆的方程结合曲线方程可判断BC.
【详解】对于A，若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则，解得，故A正确；
对于B，若该曲线为圆，则，即，故B错误；
对于C，由，可得，此时该曲线为椭圆，且焦点在x轴上；
由，可得，此时该曲线为椭圆，且焦点在y轴上；故C正确；
对于D，该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D正确.
故选：B.
9．函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出定义域，由解析式得到，判断出图像关于对称.排除C、D；再利用特殊点，的正负排除B，即可得到正确答案.
【详解】要使函数有意义，只需，解得：，即函数的定义域为.
因为，
所以的图像关于对称.排除C、D；
令，解得：.
所以.
又，，.
对照选项A、B的图像，选A.
故选：A
10．如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1米的悬柱上放置一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面（视为相切）形成的曲线称为悬链线（又称最速降线）．建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是，那么两悬柱间的距离大致为（ ）（可能会用到的数据）
A．2.5米B．2.6米C．2.8米D．2.9米
【答案】B
【分析】根据条件建立直角坐标系，可得，根据条件结合参考数据可得，进而即得.
【详解】因为，，
所以函数为偶函数，如图建立直角坐标系，
则时，，所以，即，
所以，
由题可设，，
又，，
由题可知时函数单调递增，
所以，，
所以两悬柱间的距离大致为2.6米.
故选：B.
11．已知函数则在上的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．2023
【答案】B
【分析】先求导,分和两种情况进行讨论的正负,进而判断单调性,再判断正负,即可判断零点个数.
【详解】解:由题知
所以,
当时,
当时,
,
当时，，；
当时，，；
故，
综上， 在上单调递增,
因为,
故函数在上有1个零点.
故选:B
12．已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质结合条件逐项分析即得.
【详解】因为，a、b、c是正实数，
所以，，
对于A，若，则，满足题意；
对于B，若，则，满足题意；
对于C，若，则，满足题意；
对于D，若，则，不满足题意.
故选：D.
二、填空题
13．已知二项式的展开式中最后三项的二项式系数和为79,则n =______.
【答案】12
【分析】根据后三项二项式系数和为79,建立等式,解出即可.
【详解】解:由题知二项式的展开式中最后三项的二项式系数和为79,
所以,
即,
化简可得:,
解得:(舍)或.
故答案为:12
14．已知是单位向量,且,若,那么当时,______.
【答案】##0.5
【分析】根据题意求出模,根据,可得向量数量积为0,将代入化简求值即可.
【详解】解:由题知,
将代入可得:
,
即,
将,代入上式可得:
,
即.
故答案为:
15．已知函数的部分图象如图所示，则f（x）=______.
【答案】
【分析】根据对称轴和过点，求出的值，再根据求的范围，确定的具体值.
【详解】根据图像可得函数的对称轴为，并且经过点
所以，所以，又因为
又因为
故答案为：
16．如图，矩形ABCD中，AC是对角线，设∠BAC＝α，已知正方形S1和正方形S2分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】设两个正方形边长分别为，，用，表示AC建立方程，将两个三角形的周长比表示为的三角函数，求取值范围.
【详解】设两个正方形，边长分别为，，
则在中，有，
在中，有，所以，
的周长与的周长比为，
设，
因为，所以，
则，
因为在上单调递增，所以，，
所以周长比为.
故答案为：.
【点睛】注意到的关系，换元用表示，注意换元后新未知数的取值范围.
三、解答题
17．已知等差数列的首项为1，公差d≠0，前n项和为，且为常数．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件知 ，据此求出d；
（2）运用错位相减法求和.
【详解】（1）由题意知：，即 ， ，
化简得： ， ；
经检验，成立.
（2）由（1）知： ， …①，
…② ，
①-②得：
，
；
综上，，.
18．在△ABC中，边a、b、c对应角分别为A、B、C，且．
(1)求角B的大小；
(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高．
条件①：，b＝1；
条件②：b＝2，；
条件③：a＝3，c＝2．
注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后整理计算可得答案；
（2）若选择条件①：由三角形的三角一边可得△ABC唯一确定，再利用正弦定理计算求答案；若选择条件②：根据正弦定理计算得，得到△ABC不存在；若选择条件③：由三角形的两边及其夹角确定可得△ABC存在且唯一，再利用正弦定理计算求答案.
【详解】（1）由正弦定理边化角得，
，得，
，
，
（2）若选择条件①：，b＝1，，
，，
则△ABC中均唯一确定，又，则△ABC存在且唯一，
由正弦定理
，
AC边上的高为；
若选择条件②：b＝2，，
由正弦定理得，
△ABC不存在；
若选择条件③：a＝3，c＝2，，
由a＝3，c＝2，可得△ABC存在且唯一，
由余弦定理，则，
由正弦定理得，
AC边上的高为；
19．买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：
(1)求出月利润y（千元）关于月销售量x（百个）的回归方程（精确到0.01）；
(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数，求ξ的分布列和数学期望.
参考公式：回归方程 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：
参考数据：
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）将表格数据代入公式，计算回归方程；
（2）由题可得的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式结合组合数公式求概率，进而可得分布列及期望.
【详解】（1）由题可知，，
，
所以，，
，，
故月利润y（千元）关于月销售量x（百个）的回归方程为；
（2）由题可知的所有可能取值为0，1，2、3，则
，，
，，
故的分布列为：
所以的数学期望．
20．已知函数．
(1)求函数f（x）的极值；
(2)当a＞1时，记f（x）在区间[－1,2]的最大值为M，最小值为m．已知．设f（x）的三个零点为x1，x2，x3，求的取值范围．
【答案】(1)极大值为，极小值为；
(2).
【分析】（1）求导，根据单调性得到当时取得极大值，时取得极小值，然后代入求极值即可；
（2）根据在上的单调性得到，，然后列不等式得到的范围，令，结合韦达定理得到，，最后根据的范围求的范围即可.
【详解】（1），
令，解得或，令，解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
当时取得极大值，，
当时取得极小值，，
所以的极大值为，极小值为.
（2）因为，所以在上单调递减，上单调递增，，
因为，，所以，
，解得，
设，令，所以，，
，
在上单调递减，当，
所以的取值范围为.
21．已知函数设.
(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)求证:;对,使得总成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)先写出解析式,根据在上单调递增,即在上恒成立,全分离,设新函数,求导求单调性求最值即可;
(2)因为,即只需时,,时,成立即可,取,分时,求导可知在上单增,即得证,时,由(1)结论,在上单调递增,即时,,对求导后分析的正负,分析范围即可证明.
【详解】（1）解:由题可知
因为在上单调递增,
所以在上恒成立,
因为时,,
故只要在上恒成立,
令,,
因为,,
令,
即,
解得,
故在上单增,
在上单减,
所以,
即实数的取值范围为;
（2）由题意, 因为,
所以只要找出,使得时,;
时,即可,
当时,显然成立;
现证,满足题意,
即证当时,若时,成立,
若时,也成立,
当时,
若,则,
所以,
因为,故,
即恒成立,
所以在上单增,
故,
即时,成立;
当时,
若,,
由(1)知当时,
在上单调递增,
因为等价于,
即等价于,
所以在上单调递增,
故当时,,
因为当时,
,且,
因为等价于,
所以,
即当时,也有．
综上,,对,,使得总成立．
【点睛】思路点睛:该题考查导数的综合应用,属于难题,关于存在性问题的思路如下:
(1)分析题意,找到关键信息;
(2)将关键信息转化为数学语言;
(3)存在问题取特殊值,取特殊值时参考第一问结论,并且好算的数;
(4)根据问题进行分情况讨论.
22．在平面直角坐标系中，曲线C1的方程为，曲线C2的参数方程为（t为参数），直线l过原点O且与曲线C1交于A、B两点，点P在曲线C2上且OP⊥AB．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C1的极坐标方程并证明为常数；
(2)若直线l平分曲线C1，求△PAB的面积．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）写出的极坐标方程，设直线l的极坐标方程为，代入的方程，利用韦达定理证明为定值；
（2）直线l平分曲线得直线l的方程，因为，得直线OP的方程，求得点P的坐标，计算三角形面积.
【详解】（1）的一般方程为，
由，，得的极坐标方程为，
证明：设直线l的极坐标方程为，点，，
将代入，
得，为方程的两个根，
.
（2）因为直线l平分曲线，所以直线l过点，
直线l的方程为，因为，所以直线OP为，
曲线的普通方程为，与直线OP的方程联立，得，
点P到直线l的距离，圆的直径，
所以的面积.
23．已知函数．
(1)画出的图象，并根据图象写出不等式的解集；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)图象见解析，不等式解集为；
(2).
【分析】（1）分类讨论得到，然后画图，根据图象解不等式即可；
（2）分、、、和五种情况求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
所以，图象如下所示，
不等式的解集为.
（2）当时，，整理得恒成立，所以；
当时，，整理得；
当时，，成立，所以；
当时，，整理得；
当时，，整理得恒成立，即，所以，
综上可得，的取值范围为.
月份／月
1
2
3
4
5
6
7
8
月销售量／百个
4
5
6
7
8
10
11
13
月利润／千元
4.1
4.6
4.9
5.7
6.7
8.0
8.4
9.6
0
1
2
3
P