2023届四川省绵阳南山中学高三下学期三诊数学（理）模拟（二）试题含解析

这是一份2023届四川省绵阳南山中学高三下学期三诊数学（理）模拟（二）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数性质化简集合，根据交集运算定义求.
【详解】不等式的解集为，
不等式的解集为，
所以，，
所以，
故选：B．
2．若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由，利用复数除法得到z，再利用复数的几何意义判断.
【详解】解：因为，
所以，
所以则z在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
3．已知命题，，命题，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判断命题、的真假，利用复合命题的真假可判断各选项中复合命题的真假，即可得出合适的选项.
【详解】因为对，，故为假命题，
因为在上单调递增，所以当时，，故为真命题，
所以、、为假命题，为真命题．
故选：D．
4．世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．
下列结论中错误的是（ ）
A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
B．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
C．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
D．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平
【答案】C
【分析】结合图像逐一辨析即可.
【详解】由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确：
由扇形统计图可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确：
由条形统计图可知2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确：
三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故C错误．
故选：C．
5．函数的大致图象可能是 ( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，函数的解析式，可判定函数为为偶函数，排除A、B项，又由，可排除D项，即可得到答案．
【详解】由题意，函数，满足，
即，，得函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除A、B项；
又由，排除D，
故可能的图象为C，故选C．
【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的基本性质，利用函数的单调性和奇偶性，进行排除选项是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
6．已知，其中，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.
【详解】因为，且，
所以，因为，所以，
因此，从而，，选D.
【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．已知直角三角形ABC，，，，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意作出旋转体由两个圆锥构成，利用等面积法求出底面圆的半径，即可根据圆锥的体积公式求出旋转体的体积.
【详解】解：将直角三角形ABC沿斜边AB旋转一周，旋转形成的几何体的如图所示，
，
，
，
故选：C.
8．某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．36种B．48种C．72种D．120种
【答案】A
【分析】根据丙、丁在一二位或四五位、五六位先安排丙、丁两个节目，甲是固定的，然后其他三个节目任意排列，由此可得．
【详解】由题意丙、丁在一二位或四五位、五六位一，
因此方法数为．
故选：A．
9．已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．若为偶函数，则
【答案】C
【分析】根据函数的部分图象、三角函数的周期公式及点在函数的图象上，求出函数的解析式，利用三角函数的单调性及奇偶性即可求解.
【详解】由图像可知，，则，则，
故，且过点，
所以，解得，，
因为，所以，故，故A，B错误；
因为，令，在时单调递增，则在上单调递增，故C正确；
因为为偶函数，所以，，即，，故D错误.
故选：C．
10．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出双曲线渐近线的方程，结合离心率的意义计算作答.
【详解】依题意，以点为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，点，
设双曲线C的方程为，其渐近线为，因直线为一条渐近线，
则有，双曲线C的离心率为.
故选：B
11．已知正方体的棱长为a，点分别为棱的中点，下列结论中正确的个数是（ ）
①过三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②平面；③异面直线与所成角的正切值为；④四面体的体积等于等.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据公理3，作截面可知①正确；根据直线与平面的位置关系可知②不正确；由条件有，所以为异面直线与的夹角可知③不正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知④正确．
【详解】对于①，延长分别与的延长线交于，连接交于，设与的延长线交于，连接交于，交于，连，则截面六边形为正六边形，故①正确；
对于②，与相交，故与平面相交，所以②不正确；
对于③，连接，由条件有，所以（或其补角）为异面直线与的夹角,在直角三角形中，，故③不正确；
对于④，四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故④正确；
所以正确的命题有2个
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键掌握好空间中的线线关系，线面关系相关定理，以及锥体的体积计算方法．
12．已知实数，…，对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将原不等式变化为，令，则在上单调递增，故有，即有，，令，求出令的最小值即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
即，
即，
所以，
令，
易知在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，
所以，
令，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
所以，
解得.
故选：A
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题常用的方法有：(1)分离常数法，只需求出分离后的函数的最值即可；(2)直接利用导数求出函数的最值；(3)构造适当的函数，利用导数确定所构造的函数单调性，从而达到求解的目的.
二、填空题
13．已知平面向量，，若，则___________.
【答案】
【分析】由向量平行可得，再由向量线性运算的坐标表示可得，最后应用向量模长的坐标运算求.
【详解】由题设，，即，则，
所以，故.
故答案为：.
14．在中，已知，，，则_________.
【答案】3
【分析】设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可求得的值，从而得到的长度．
【详解】解：设角，，所对的边分别为，，，
结合余弦定理，可得，
即，解得或（舍去），
所以．
故答案为：．
15．已知抛物线：的焦点为，过且垂直于轴的直线与交于､两点，则以线段为直径的圆被轴所截得的弦长为___________.
【答案】
【分析】根据题意求得线段的长度，从而求得圆半径，再利用弦长公式即可求得结果.
【详解】对抛物线：，其焦点为，令，可得，故，
则所求圆的半径，又圆心到轴的距离为，
故以线段为直径的圆被轴所截得的弦长为.
故答案为：.
16．已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝___．
【答案】或
【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答.
【详解】在等腰梯形中，连接，如图，
因为，，，则，，
于是，取中点，连接，则，得均为正三角形，
即有，即是梯形外接圆圆心，
而O为四棱锥的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD，
则，而为球O的弦，则过点O垂直于的平面必过的中点E，连接，
于是，而，即有，四边形为矩形，，
因此球O的半径，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于，
而此截面圆半径为，则，连接，在中，，
在中，，，
即有，解得或，
所以或.
故答案为：或
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
三、解答题
17．已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足．
(1)证明：数列成等差数列．
(2)若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)戓．
【分析】（1）易知，．再由，利用等差数列的定义证明；
（2）由（1）得，，先利用作差法证明其单调性，得到其最大值，再利用恒成立求解.
【详解】（1）证明：由题意知，．
∵，
∴，
∴，
∴数列是首项，公差的等差数列．
（2）由（1）得，
∵，．
∴当时，．当时，，
即．
∴当或2时，取最大值．
又对一切正整数恒成立，
∴，
即．解得戓．
18．为调查，两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物和只服用药物的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
假设用频率估计概率，且只服用药物和只服用药物的患者是否康复相互独立．
(1)若一名患者只服用药物治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
(2)从样本中只服用药物和只服用药物的患者中各随机抽取1人，以表示这2人中能在7天内康复的人数，求的分布列和数学期望：
【答案】(1)
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）利用古典概型的计算公式即可求解；
（2）利用古典概型的概率的计算公式，写出随机变量的可能取值，求出对应的概率，进而得出随机变量的分布列，结合期望公式即可求解.
【详解】（1）只服用药物A的人数为数为360+228+12=600人，且能在14天内康复的人数360+228=588人，故一名患者只服用药物A治疗，
估计此人能在14天内康复的概率为：；
（2）只服用药物A的患者7天内康复的概率为．
只服用药物B的患者7天内康复的概率为，
其中的可的取值为0，1，2，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
19．如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明详见解析
(2)存在，且是线段上，靠近点的三等分点.
【分析】（1）设是的中点，通过证明平面来证得平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，根据平面与平面的夹角求得点的位置.
【详解】（1）设分别是的中点，连接，
则，由于，所以，
由于三角形是等边三角形，所以，
由于，所以，
由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知平面平面，
以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，则，
所以，
，设，
平面的一个法向量是，
，
设平面的一个法向量是，
则，
故可设，
若平面与平面的夹角为，
则，即，
解得（负根舍去），
则，，
所以是线段上，靠近点的三等分点.
20．已知椭圆C：（）离心率为，短轴长为2，双曲线E：的离心率为，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段的垂直平分线交直线l：于点M，交直线于点N，当最小时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意，由离心率可得，从而求出，得出答案.
（2）由题意直线的斜率存在且为零时，不满足题意，设直线的方程为，则，求出的长，将直线的方程与椭圆方程联立，由弦长公式得出，在中，有，从而得出答案.
【详解】（1）双曲线的离心率，由，则，其中，所以，
即椭圆方程为：
（2）当直线的斜率存在且为零时，其垂直平分线与直线l平行，不满足题意，
故直线的斜率不为零，可设直线的方程为，，，.
联立直线与椭圆C的方程，消去x得，
由一元二次方程根与系数的关系可得，
则，
由，则，
又
则
当且仅当，即时取等号.此时直线的方程为或.
故当最小时，直线的方程为或.
21．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若函数恰有两个零点，求正数a的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间是，无递增区间
(2)
【分析】（1），再次求导证明恒成立，从而知在定义域上的单调性；
（2）分类讨论的单调性，结合极值的正负确定有两个零点满足的条件.
【详解】（1）由题意可得．设，则．由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，从而，
故的单调递减区间是，无递增区间．
（2）由题意可得．
①当，即时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增．
所以要使要有两个零点，首先要求，解得．
下面证明时，确实存在两个零点：
所以，且,故在内存在一个零点.
，因为，所以，故在内存在一个零点.
所以时，存在两个零点．
②当，即时，，解得，因为，所以，则有且仅有1个零点，故不符合题意．
③当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减．
显然，下面证明当时恒成立
，设，则．
由（1）可知在上单调递减，则，即成立.
所以时不可能有两个零点．
综上，恰有两个零点时正数a的取值范围是．
【点睛】在解决函数零点问题时，
（1）如果采取分离函数的方法，往往分离出一条直线一条曲线，或是常数和一个可讨论的函数，数形结合讨论两个函数图象交点的个数；
（2）如果不分离就要分类讨论，可能要麻烦很多，要灵活运用函数的单调性、极值和零点存在性定理，数形结合寻找满足零点个数的条件.
22．在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
(1)求曲线，的极坐标方程；
(2)若，直线与曲线交于，两点，与曲线的一个交点为点，且，求的值
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据曲线的直角坐标与极坐标转化公式，即可求解；
（2）将代入曲线的极坐标方程，得，将代入曲线的极坐标方程，
得到韦达定理，并表示，即可求.
【详解】（1）由，得，
所以曲线的极坐标方程为
由，得，即，
此即曲线的极坐标方程；
（2）将代入（），得
将代入，得，
设对应的参数分别是，则，，
所以
，
解得：
23．已知a，b，c为正数，且满足．
(1)证明：；
(2)证明：
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【分析】（1）运用分析法，结合基本不等式进行证明即可；
（2）运用分析法，结合柯西不等式进行证明即可.
【详解】（1）∵a，b，c为正数，要证，∵
只需证，即证，即证，
∵a，b，c为正数，∴，∴，
∴∴，
∴当且仅当时取等；
（2）要证，只需证，即证，
根据柯西不等式可，
当且仅当取等号．从而.
康复时间
只服用药物
只服用药物
7天内康复
360人
160人
8至14天康复
228人
200人
14天内未康复
12人
40人
0
1
2