2023届四川省营山县第二中学高三第六次高考模拟检测数学（理）试题含解析

2023届四川省营山县第二中学高三第六次高考模拟检测数学（理）试题

一、单选题

1．（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的乘法与减法计算可得结果.

【详解】原式.

故选：C.

2．定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案.

【详解】因为，，

所以，

故中元素的个数为.

故选：B.

3．某中学举行歌唱比赛，要求甲、乙、丙三位参赛选手从《难却》《兰亭序》《许愿》等首歌曲中任意选首作为参赛歌曲，其中甲和乙都没有选《难却》，丙选了《兰亭序》，但他不会选《许愿》，则甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【分析】甲和乙都是从剩余5首歌曲中选两个，丙是从剩余4首歌曲中选1个，求组合数的乘积即可.

【详解】依题意可知，甲、乙需要从剩余5首歌曲中选两个，丙是从剩余4首歌曲中选1个，

甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有种

故选：C.

4．“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据圆与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案.

【详解】因为圆内切于圆，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

5．的内角，，所对的边分别为，，已知，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦定理、余弦定理列方程来求得.

【详解】，，即，

，

，则

故选：D

6．在平行四边形中，为的重心，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.

【详解】如图，设与相交于点，由为的重心，可得为的中点，

，则，

可得，故

故选：C.

7．若，满足约束条件，则下列目标函数中最大值为的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】画出可行域，求目标函数的最大值，从而求得正确答案.

【详解】由解得，设，

画出可行域如下图所示，由图可知，

目标函数在点处取得最大值，

所以的最大值为.

故选：B

8．车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式若花同样的钱买到的级果比级果多倍，且级果的市场销售单价为元千克，则级果的市场销售单价最接近（   ）参考数据：，，，

A．元千克 B．元千克

C．元千克 D．元千克

【答案】C

【分析】利用指数运算，化简求的值.

【详解】由题意可知，解得，由，可得（元/千克），最接近元千克

故选：C

9．在平面中，若正内切圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，先利用等体积法求出，再结合勾股定理求出，再根据球的体积公式即可得出答案.

【详解】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，

由等体积法得，

设，正的中心为，

则，，

由，得，

故

故选：B.

10．已知与都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，都不是常数函数，现有下列三个结论：①；②的图象关于直线对称；③与在上的单调性可能相同 其中正确结论的个数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据奇函数的性质及赋值法得到，从而判断①正确；根据偶函数的性质得到，从而判断②正确；取，判断两者的单调性，从而判断③正确.

【详解】对于①：由是奇函数，即，取得，则，正确；

对于②：由是偶函数，得，则的图象关于直线对称，正确；

对于③：取，则与在上都单调递增，正确

故选：D.

11．已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由双曲线的定义，将点到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，再求右焦点到直线的距离，进而得出结果.

【详解】已知双曲线，可知，则，

所以，分别为的左、右焦点，则，即，

设到直线的距离为，到直线的距离为，且，则.

故选：A.

12．定义在上的函数的导函数为，且，若，，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，求导得出函数在上单调递减，得出，代入，，得出相应的不等关系，逐一进行判断选项即可.

【详解】由已知得，设，则，

所以在上单调递减，因为，，所以，，

则，即，

因为，所以，所以，

因为，，的符号不确定，所以不一定成立，故A，C不正确；

因为，所以，故B正确；

由，得，即，故D错误；

故选：B.

【点睛】方法点睛：

1.构造函数是解决不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答；

2.利用导数构造的函数，积商特征看正负；

3.函数导数有特征，牢记模型觅思路，利用导数构造数造函数时，不仅要牢记两个函数u(x)和v(x)的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征.

二、填空题

13．某容器内液体的高度单位：与时间单位：的函数关系式为，则当时，液体高度的瞬时变化率为__________

【答案】

【分析】直接求出导函数，即可求解.

【详解】因为，所以.

依题意可得当时，液体高度的瞬时变化率为

故答案为：4

14．在正四棱柱中，是的中点，，，则与平面所成角的正弦值为__________

【答案】##

【分析】先利用线面垂直的判定定理证得平面，进而得到直线与平面所成角为，从而解直角三角形即可求得其正弦值.

【详解】设底面的中心为，则，

因为平面，平面，所以，

又平面，

所以平面，则平面，

取的中点，连接，则，

所以平面，

连接，则为与平面所成的角.

因为，，

所以，，.

故答案为：.

.

15．已知函数，关于函数有如下四个命题：

①在上单调递减；      ②；

③的值域为；      ④的图象关于直线对称

其中所有真命题的序号是__________

【答案】②③④

【分析】根据函数的概念求出，画出函数的图象，结合图象逐项进行判断即可.

【详解】依题意可得，作出的部分图象，如图所示，由图可知，在上单调递增，，的值域为，的图象关于直线对称，故所有真命题的序号是②③④

故答案为：②③④

16．为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则到轴的距离为__________.

【答案】

【分析】首先表示出，，，的坐标，依题意可得，即可得到为椭圆上一点，联立两椭圆方程，求出，即可得解.

【详解】解：不妨设，，，，

则，为椭圆的焦点，所以，

又，所以，

且，所以在以、为焦点的椭圆上，且，所以，

所以为椭圆上一点，

由，解得，则，

故到轴的距离为.

故答案为：

三、解答题

17．在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程

问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且__________

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）分别选①，②，利用基本量代换列方程组，求出公差，即可求出通项公式；

（2）利用错位相减法求解.

【详解】（1）选①：设的通项公式为.

因为，，

所以，解得：，所以；

选②：依题意可得解得

故

（2）由（）知，，

则，

所以，

所以

，

故

18．为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有名学生参加，随机抽取了名学生，记录他们的分数，将其整理后分成组，各组区间为，，，，并画出如图所示的频率分布直方图

(1)估计所有参赛学生的平均成绩各组的数据以该组区间的中间值作代表；

(2)若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线

(3)以这名学生成绩不低于分的频率为概率，从参赛的名学生中随机选名，其中参赛学生成绩不低于分的人数记为，求的方差

【答案】(1)分

(2)分

(3)

【分析】（1）利用频率分布直方图进行数据分析，求出，再求出这名参赛学生的平均成绩，由此估计出所有参赛学生的平均成绩；

（2）求出可以获得表彰的学生人数的频率，设获得表彰的学生的最低分数线为，根据条件建立关于的方程求解即可；

（3）根据条件,可知，然后由方差公式求解即可.

【详解】（1）由，得

这名参赛学生的平均成绩约为分，

故估计所有参赛学生的平均成绩为分

（2）获得表彰的学生人数的频率为，

设获得表彰的学生的最低分数线为，

由分数在区间的频率为，可知，

由，得，

故估计获得表彰的学生的最低分数线为分

（3）这名学生成绩不低于分的频率为，

由题意，可知，

故

19．如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，，，

(1)若四棱锥的体积为，求的长；

(2)求平面与平面所成钝二面角的正切值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）过作于，连接，根据面面垂直的性质可得底面，设，求出，再根据棱锥的体积公式即可得解；

（2）取的中点，连接，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）如图，过作于，连接，

因为侧面底面，且侧面底面，面，

所以底面，

设，因为，，

所以，

在菱形中，，

则为等边三角形，

则

所以四棱锥的体积，

解得；

（2）取的中点，连接，则，

以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则，

令，得，

设平面的法向量为，

则，

令，得，

设平面与平面所成钝二面角为，则，

所以，则，

所以，

故平面与平面所成钝二面角的正切值为

20．已知直线与抛物线交于，两点，且

(1)求的方程

(2)若直线与交于两点，点与点关于轴对称，试问直线是否过定点？若过定点，求定点的坐标；若不过定点，说明理由

【答案】(1)

(2)过定点，

【分析】（1）联立直线与抛物线，写出根与系数关系，化简已知条件来求得，进而求得抛物线的方程.

（2）连值直线抛物线，写出根与系数关系，求得直线的方程，并求出定点的坐标.

【详解】（1）将代入，得，

则，

则，解得，

故的方程为

（2）设，则，

联立方程组，整理得，

则，所以，

因此直线的方程为，

整理得，即，

当时，，故直线过定点.

21．已知函数

(1)若是的极小值点，且，求的取值范围；

(2)若有且仅有两个零点，求的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导得到，确定导函数单调递增，解不等式得到，得到，解得答案.

（2）令，求导得到导函数，设，确定函数单调递增，得到在内存在唯一的零点，且，确定的单调区间，计算最值得到范围.

【详解】（1）的定义域为，由，可得，

，，

则在上单调递增，

函数在上单调递减，在上单调递增，满足是的极小值点，因为，所以，

可得，则，即的取值范围是

（2）令，有且仅有两个零点，故有且仅有两个零点

，设，

则，则为增函数

当趋近时，趋近，又，

所以在内存在唯一的零点，且，

则，即，则

函数为增函数，所以，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

当趋近时，趋近，当趋近时，趋近

，只需满足，得，

故的取值范围为

【点睛】关键点睛：本题考查了极值问题和零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用函数的单调性和同构的思想构造得到是解题的关键.

22．在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为

(1)求曲线，的极坐标方程；

(2)若，直线与曲线交于，两点，与曲线的一个交点为点，且，求的值

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据曲线的直角坐标与极坐标转化公式，即可求解；

（2）将代入曲线的极坐标方程，得，将代入曲线的极坐标方程，

得到韦达定理，并表示，即可求.

【详解】（1）由，得，

所以曲线的极坐标方程为

由，得，即，

此即曲线的极坐标方程；

（2）将代入（），得

将代入，得，

设对应的参数分别是，则，，

所以

，

解得：

23．设，，均为正数，且证明：

(1)；

(2)

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用重要不等式，结合综合法即可得证；

(2)利用柯西不等式即可证明不等式.

【详解】（1）因为，，

所以，

当且仅当时，等号成立，

又，所以

（2）由，且为正数，得，则，

则，

由柯西不等式可得：

，

当且仅当时，等号成立，

所以