2023届内蒙古赤峰市高三上学期1月模拟考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届内蒙古赤峰市高三上学期1月模拟考试数学（理）试题含解析，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，进而求出.
【详解】集合,
所以.
故选：D
2．已知i是虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据复数的乘除法运算求出复数z，然后根据复数的模的公式即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故选：B.
3．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段，，…，后画出频率直方图如图所示．观察图形的信息，则（ ）
A．成绩在区间上的人数为5
B．抽查学生的平均成绩是71分
C．这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为
D．若从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，则选到第一名学生的概率(第一名只一人)为
【答案】B
【分析】由频率分布直方图，根据频率的意义和平均值的计算公式判断个选项即可.
【详解】成绩在区间上的人数为，故A错误.
抽查学生的平均成绩是分，故B正确.
依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为：，所以抽样学生成绩的及格率为，故C错误.
成绩是70分以上（包括70分）的学生人数为：人，
所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选一个，选到第一名的概率，故D错误.
故选：B.
4．在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（为常数）．已知第9天检测过程平均耗时为16小时，第36天和第40天检测过程平均耗时均为8小时，那么第25天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．8小时B．9.6小时C．11.5小时D．12小时
【答案】B
【分析】根据题意得到，然后根据，，列方程解得，最后代入求即可.
【详解】由题意得，，则，解得，则.
故选：B.
5．在中，，．若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算，将转化为，结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意可得,
即,
即，即，
解得，
故选：B
6．设命题p：“”是“”成立的必要不充分条件.命题q：若不等式恒成立，则．下列命题是真命题的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别判断出命题p、q的真假，进而对四个选项一一判断.
【详解】，解得：.
因为，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故p为真命题；
若不等式恒成立，所以.
记，只需.
求导得：，令，解得：，列表得：
所以.
所以.故q为真命题.
对于A：为假命题.故A错误；
对于B：为真命题.故B正确；
对于C：为假命题.故C错误；
对于D：为假命题.故D错误；
故选：B
7．某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（ ）
A．150B．90C．60D．15
【答案】B
【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可求出.
【详解】将5名大学生分为1，2，2三组，共有种方法，
则将这三组分配给观看冰球，速滑，花滑三场比赛，共有种方法，
则这5人观看比赛的方案种数为90种，
故选：B
8．下列直线中，不是圆和公切线的一条直线是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时设，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，设为，
若直线是圆和公切线
则满足，所以
所以直线是圆和公切线
当直线的斜率存在时，设直线方程为
若直线是圆和公切线
则满足即，所以
即，即
所以或，所以切线方程是和
综上：切线方程有和和
故选：C
9．已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的图像与直线的两个相邻交点的距离为
B．
C．将的图像向右平移个单位得到的图像关于y轴对称
D．在区间上单调递减，则a的最大值为
【答案】D
【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简为
对于A项，根据相邻两个最大值之间的距离为一个周期解决.
对于B项，根据对称中心与对称轴来解决.
对于C项，平移后验证函数是否为偶函数.
对于D项，根据复合函数的单调性求解.
【详解】
，
对于A项，因为，所以的图象与直线的两个相邻交点的距离为一个最小正周期，即，所以A正确；
对于B项，因为，并且，
而把代入，
所以是函数的对称中心,故；
因为，又因为
而把代入，
所以是函数的对称轴，所以，
所以B正确.
对于C项，将的图像向右平移个单位得到，设
所以为偶函数，图象关于轴对称,所以C正确.
对于D项，设，
因为，所以
又因为内层函数在上单调递增，根据复合函数的单调性法则同增异减，要想满足函数在的单调递减
则函数在上单调递减，所以满足
，解得：
所以，故D错误.
故选：D
10．如图，在三棱锥中，平面平面CBD，，点M在AC上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等边三角形的性质以及外接球的性质，作出外接球的球心，再根据线段的数量关系求出线段，最后即可得到截面圆的最小半径.
【详解】由题意知，和为等边三角形，如图所示：
取BD中点为E，连接AE，CE，则，由平面平面CBD，
平面平面，故平面CBD，
，
易知球心O在平面BCD的投影为的外心，
过作于H，易得，，
则在中，，
所以外接球半径，连接OM，
因为，
所以H，O，M三点共线，
所以，，
当M为截面圆圆心时截面面积最小，
此时截面圆半径，
面积为.
故选：A.
11．设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】讨论M点的位置，结合椭圆的几何性质求出的面积，利用（r为三角形内切圆半径，l为三角形周长），即可求得答案.
【详解】由题意知椭圆，则其长半轴，短半轴，焦距，
当M点位于椭圆的短轴端点时，不妨设为A点，
此时的面积为 ，
设内切圆半径为r,则,
即；
(三角形内切圆半径公式的推导：
)
当M点不在椭圆短轴端点时，根据椭圆的对称性，不妨假设在第一象限内，
此时,此时，由为等腰三角形，
可知,则，
的面积为，
则,即，
综合可得的内切圆半径为或，
故选：D
12．下列不等式中，成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对于A，由成立，转化为验证成立；
对于B，由成立，转化为验证成立；
对于C，由成立，转化为验证成立；
对于D，由成立，转化为验证成立；
通过转化，构造出对应的函数，利用导数的性质，逐个选项进行判断，可求解.
【详解】对于A，若，则，得，而不成立，故A错误；
对于B，若，则，得，而不成立，故B错误；
对于C，若，则，得，整理得，，设，
，故，，单调递增，，，单调递减，所以，，得，故C正确；
对于D，若，则，得，则有，设，由上可证得，，单调递减，所以，，而，故，得，得到，所以，，最后得到，即，不符题意，故D错误；
故选：C
二、填空题
13．曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为______．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求得曲线的切线方程，求得切线与坐标的交点坐标，根据三角形面积公式可得答案.
【详解】由可得，
则，
故曲线在点处的切线方程为，
令，则；令，则，
故曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为，
故答案为：
14．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若（O为坐标原点）的面积为，则双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
【分析】不妨设曲线的渐近线的方程为，求出直线的方程，联立方程求得P点纵坐标，根据面积可得化简可得，求得，即可求得答案.
【详解】设双曲线的左，右焦点分别为，,
不妨设曲线的一条渐近线的方程为，
因为过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，则，
所以直线的方程为 ，
联立，解得，
则,即，即，
化简可得 ，故
所以 曲线的渐近线方程为，
故答案为：．
15．在中，内角 的对边长分别为 ，且，，则b的值为______．
【答案】
【分析】由可得，即而得，利用正余弦定理化简可得，结合条件，即可求得答案.
【详解】由，可得，
即，即有 ，
即 ，
故，化简得，结合，
可得，解得或0（舍），
故答案为：4．
16．如图，已知正方体的棱长为1，则下列结论中正确的序号是______．（填所有正确结论的序号）
①若E是直线AC上的动点，则平面；
②若E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，则；
③若E是内（包括边界）的动点，则直线与平面ABC所成角的正切值的取值范围是；
④若E是平面内的动点，则三棱锥的体积为定值
【答案】①②④
【分析】对于①：连接.证明出平面平面，利用面面平行的性质即可证明；对于②：连接.证明出面.利用线面垂直的性质即可证明；对于③：判断出即为直线与平面ABC所成角,得到.求出的范围，即可求出的范围，即可判断；对于④：利用等体积法转化得到.即可求得.
【详解】对于①：
连接.
在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以.
又平面,平面，所以平面.
同理可证：平面.
因为，平面,平面,
所以平面平面.
因为E是直线AC上的动点，所以平面,所以平面.故①正确；
对于②：连接.
因为为正方体，所以，
又 面面ABCD，所以.
因为面,面,，
所以面.
因为E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，所以面.
所以.故②正确；
对于③：在正方体中，面.
对于平面，为垂线，为斜线，为射影，所以即为直线与平面ABC所成角,所以.
设，则.
因为E是内（包括边界）的动点，所以当E与O重合时，最小，
当E与B重合时，最大，
所以.
故③错误；
对于④：三棱锥的体积.
由①的证明过程可知：平面平面，所以平面内任一点到平面的距离都相等.
因为E是平面内的动点，所以.
即三棱锥的体积为定值.
故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题
17．正项数列中，，，的前n项和为，从下面三个条件中任选一个，将序号填在横线______上．
①，；
②为等差数列；
③为等差数列，试完成下面两个问题：
(1)求的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）选①，由已知分n为奇数和偶数两种情况可得，即得答案；选②：根据为等常数列即可求得的通项公式；选③:由为等差数列可求得，继而利用求得答案.
（2）由（1）的结论，利用裂项求和可求得的表达式，即可证明结论.
【详解】（1）选①：，设，
则n为奇数时，，
，设，则n为偶数时，，
所以.
选②：的第1项为，第2项，
则，则.
选③:为等差数列，，，
则，
则，，
则，经检验也成立，所以．
（2）证明：由（1）可得，
则，
则
18．如图，在三棱柱中，，.
(1)证明：；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）设O为的中点，连接，先证明平面,根据线面垂直的性质及可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】（1）证明：设O为的中点，连接 ,
因为，，
则为正三角形，故 ,
平面,故平面,平面,
所以；
（2）由（1）可知 ,又，即有，
故 ,
故以O为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，
则 ,
故 ,
设平面的法向量为，则 ，
令 ，则，
设平面的法向量为，则 ，
令 ，则，
故 ，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
19．2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．
(1)求n的值．
(2)现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取10人，再从这10人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有2名女生被第二次调查的概率．
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国航天事业的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附表：
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）由已知，完成列联表，并将数值代入公式可得的观测值，根据已知查表得出，即可列式解出正整数n的值；
（2）根据分层抽样得出抽取的男女人数，即可利用技术原理结合古典概型和对立事件的概率公式求出答案；
（3）分析可得，利用二项分布的分布列计算与期望公式得出答案.
【详解】（1）由已知，完成列联表，
将数值代入公式可得的观测值：，
所以，解得，因为，所以．
（2）由（1）知，了解中国航天事业的学生共人，采用分层抽样抽取10人，抽样比为，
故抽取男生人，抽取女生人，
从这10人中抽取3人，至少有2名女生被第二次调查的概率为．
（3）由（1）知，样本的男生中了解中国航天事业的频率为，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，了解中国航天事业的概率为，则，
，，
，，
，
则X的分布列为
．
20．已知抛物线，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，相交于点P．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令的面积为，四边形PRFQ面积为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用导数的几何意义分别表示出和，设，分别代入，由直线系方程得到，又由直线AB过焦点F，即可判断出；
（2）利用“设而不求法”分别求出，证明出四边形PRFQ为矩形，求出其面积，进而求出的最小值.
【详解】（1）抛物线的焦点.由得，∴.
设，，，由导数的几何意义可得：，，
∴，即，同理．
又P在PA，PB上，则，所以．
∵直线AB过焦点F，∴．所以点P的轨迹方程是．
（2）由（1）知，，代入得，
则，
则，
P到AB的距离，所以，
∵，当时，得，
∴，∴，同理，．
由得，∴四边形PRFQ为矩形，
∵，∴，
∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为2．
21．已知函数．
(1)若，求a的值；
(2)已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天．
（ⅰ）求的表达式；
（ⅱ）估计的近似值（精确到0.01）．
参考数值：，，，．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）求得函数的定义域，判断是的极小值点，求出，继而利用导数知识证明当时，．
（2）求出n人生日都不相同的概率可得n人生日至少有两人相同的概率，利用（1）的结论结合题中所给数据，近似计算，可得答案.
【详解】（1）由题意得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，
又，且，所以是的极小值点，故．
而，于是，解得．
下面证明当时，．
当时，，，，
所以当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，即符合题意．
综上，．
（2）（ⅰ）由于n人生日都不相同的概率为，
故n人生日至少有两人相同的概率为．
（ⅱ）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，
由（ⅰ）得
．
记，
则
，
即，由参考数值得，
于是，故．
【点睛】难点点睛：解答第二问时，利用对立事件的概率可求得n人生日至少有两人相同的概率为，求其近似值时，难点在于要利用（1）的结论，得到，从而再利用已知数据计算，解决问题.
22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且两曲线与交于M，N两点．
(1)求曲线，的直角坐标方程；
(2)设，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）依据参普方程互化规则求得曲线的直角坐标方程，依据极坐标与直角坐标的互化规则求得曲线的直角坐标方程；
（2）利用直线参数方程的几何意义去求的值简单快捷.
【详解】（1）由曲线的参数方程消去参数t，得，即曲线的直角坐标方程为．
由曲线的极坐标方程，得，则
即的直角坐标方程为．
（2）因为在曲线上，所以曲线的参数方程为（t为参数），
代入的直角坐标方程，得．
设M，N对应的参数分别为，，则，，
所以．
23．已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）设函数的最小值为t，若，且，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，分或或求解；
（Ⅱ）求得最小值t,法一：转化为分段函数求解； 法二：利用绝对值三角不等式求解；证明不等式， 法一：通过通分变形为，利用基本不等式证明；法二：利用柯西不等式证明.
【详解】（Ⅰ）不等式等价于或或，
解得或或.
所以不等式的解集为.
（Ⅱ）法一：由知，当时，，
即.
法二：，
当且仅当时，取得等号，则的最小值为2，即.
法一：
当且仅当，不等式取得等号，所以.
法二： 由柯西不等式可得：.
当且仅当，不等式取得等号，所以.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是通过求函数的最小值得到，然后通过适当变形，利用不等式证明的基本方法而得证.
1
+
0
-
单增
极大值
单减
男生
女生
合计
了解
不了解
合计
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
男生
女生
合计
了解
不了解
合计
X
0
1
2
3
4
5
P