2023届江苏省新高考高三下学期二模模拟数学试题含解析

2023届江苏省新高考高三下学期二模模拟数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】A

【分析】先求出集合A的补集，再与集合求并集．

【详解】或，，

所以或 ，

故选：A．

2．当时，复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解．

【详解】

因为，所以，

故复数在复平面内的对应点位于第二象限，

故选：B．

3．在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用 、表示即可判断作答.

【详解】在所在平面内，在延长线上，且，则，又是的中点，

所以.

故选：C

4．已知函数的最小正周期为，若将其图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于轴对称及得到的值，进而可得函数可能的解析式．

【详解】解：由题意知．

将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，

因为其图像关于轴对称，

所以．

又，

所以．

即，

由诱导公式知，

故选：B．

【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．

5．在这个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得公差，进一步确定满足题意的可能情况数，再由古典概型概率公式计算即可．

【详解】因为三个数成递增等差数列，设为，

按题意必须满足， ，

若给定了，则可以取 ，

故三数成递增等差数列的个数为，

所以三数成递增等差数列的概率为 ，

故选：C．

6．菠萝眼常有两种剔除法：用图甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线现有一个波萝准备去眼，假设：该菠萝为圆柱体，菠萝有个菠萝眼，都均匀的错位排列在侧面上如图甲若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为，且侧棱与底面成夹角的正四棱锥若使用三角刀，可挖出根螺纹条，其侧面展开图如图丙所示，设螺纹条上两个相邻菠萝眼，的距离为若将根螺纹条看成个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为，其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为，顶角为，则当菠萝眼的距离接近于（  ）时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多参考数据：

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据棱锥及棱柱的体积的计算公式即可得到答案．

【详解】欲使留下的果肉一样多，只需两种刀法下削掉的菠萝果肉的体积一样大．

若用去眼刀削菠萝，削掉的每个菠萝眼视为一个正四棱锥，

该椎体的高为，底面对角线长为，

故正四棱锥的体积为，

菠萝眼共有个，故用去眼刀去掉的菠萝果肉的体积为，

若用三角刀削菠萝削掉的每根螺纹条视为一个直三棱柱，

其底面的高为，

底面积为，

直三棱柱的体积为，

故用三角刀去掉的菠萝果肉的体积为，

由题可得：，

则，

故选：B．

7．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用对数函数的单调性和指数以及对数的运算，并借助中间量进行比较，即得答案．

【详解】，，所以，

由于，所以，

即，

而，

所以 ，

故选：D．

8．记为点到平面的距离，给定四面体，则满足的平面的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分类讨论，当平面与平面平行时，分析可得个，当平面经过的中位线时分析可得个，从而得解．

【详解】到点和的距离相等的平面有两种类型，与平面平行或者经过的某一条中位线．

当平面与平面平行时，如下图，

设的三等分点分别为（靠近），

对于平面，利用三角形相似可知，平面符合题意．

在线段的延长线上取使得，

对于平面，利用三角形相似可知，平面符合题意，

即平面与平面平行时，满足条件的平面有2个；

设的中点分别为，

当平面经过的中位线时，

如下图：对于平面，在线段上且，

利用三角形相似可知，

又，平面，平面，可得平面，

且、分别为的中点，

则、、到平面的距离相等，

因此平面符合题意．

如下图：对于平面，在线段上，在线段上，

且，利用三角形相似可知，

又，平面，平面，可得平面，

且、分别为的中点，

则、、到平面的距离相等，

因此平面符合题意．

对于中位线，也有类似结论,即平面经过的某条中位线时，满足条件的平面有6个，

综上所述，符合题意的平面共有个．

故选：D．

【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题.

二、多选题

9．已知是棱长均为的三棱锥，则（    ）

A．直线与所成的角

B．直线与平面所成的角为

C．点到平面的距离为

D．能容纳三棱锥的最小的球的半径为

【答案】ACD

【分析】根据正四面体的结构特征、线面垂直判定及性质、线面角定义逐一计算或判断各项正误即可．

【详解】A：若为中点，连接，由题设知：各侧面均为等边三角形，

所以，，面，则面，

又面，故，正确；

B：若为面中心，连接，则面，面，

所以直线与平面所成的角为，且，而，

故，显然不为，错误；

C：由B分析，即该正棱锥的体高为，故到平面的距离为，正确；

D：显然正棱锥的外接球半径最小，令其外接球半径为，则，

所以，正确.

故选：ACD

10．已知，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对于A利用基本不等式可判断；对于B利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断；对于C可用特殊值法判断；对于D直接根据不等式的基本性质判断即可．

【详解】，，且，，

，

当且仅当取等号，故A正确；

，，且，

，故B正确；

则，故D正确；

取，则，故C错误.

故选：ABD．

11．已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（    ）

A．周长为定值 B．直线与的斜率乘积为定值

C．线段的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为

【答案】BCD

【分析】通过取不同值求出周长即可判断A，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B，确定线段取最小值的条件即可判断C，确定、的值即可求出离心率从而判断D．

【详解】该椭圆中，则，

所以离心率为，故D正确；

设，，，

则在、斜率都存在的前提下有，，

于是

为定值，故B正确；

由题意可设的方程为，

联立，消得，

则，

所以

，

则当时，，

所以线段的长度存在最小值，故C正确.

当时，直线与椭圆交于点和，

不妨取点为，得直线方程为，

求得交点为，

则，，，此时的周长为，

当时，联立，解得，不妨取，

则垂直于轴，此时，，，

此时的周长为，

显然周长不为定值，故A错误；

故选：BCD．

12．已知定义域为R的奇函数，当时，,下列叙述正确的是（    ）

A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根

B．当时，有

C．当时，的最小值为1，则

D．若关于x的方程和的所有实数根之和为零，则

【答案】ABC

【分析】A选项，根据函数的奇偶性得到在R上的解析式，画出函数图象，数形结合得到当时，与的图象有7个交点，即方程有7个不相等的实数根，A正确；

由图象可得时，单调递减，从而得到B正确；

由，令，解得：，数形结合得到，C正确；

求出的所有实数根之和为，进而当时，，再结合对称性得到时，方程和的所有实数根之和为零，从而

或，D错误.

【详解】因为为定义域为R的奇函数，

当时，，故，

当时，，故，

当时，，

综上：，

画出函数的图象，如下：

存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根，理由如下：

如图1，当时，直线与的图象有5个交点，

联立与，，

由且得：，

且此时与联立，，

其中，

故时，直线与两抛物线刚好相切，故有5个交点，

则当时，与的图象有7个交点，

即关于x的方程有7个不相等的实数根，A正确；

当时，单调递减，故当时，有，B正确；

由图象可知：，令，解得：，

当时，的最小值为1，则，C正确；

令，当时，，设两根为，则，

当时，，解得：，

故的所有实数根之和为，

当时，，

故当时，方程和的所有实数根之和为零，

由对称性可知时，方程和的所有实数根之和为零，

综上：或，D错误.

故选：ABC

【点睛】数形结合在研究函数与方程方面具有重要作用，通常函数零点，方程的根及两函数的交点可互相转化进行求解，本题中实数根个数问题，要转化为两函数与的交点个数问题，再同一平面直角坐标系中画出与的图象，用数形结合的思想求解.

三、填空题

13．二项式的展开式的第项为常数项，则 __________．

【答案】6

【分析】根据二项式通项公式和展开式的第项为常数项建立方程即可得解．

【详解】二项式展开式的通项公式为，

由展开式中，第项为常数项，此时，则，即．

故答案为：.

14．过点且与圆：相切的直线方程为__________

【答案】或

【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．

【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，

当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意；

当过点的直线斜率存在时，

可设直线方程为，即，

利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，

即此直线方程为，

故答案为：或 ．

15．已知曲线与在处的切线互相垂直，则 __________

【答案】

【分析】求导得切线斜率，根据切线垂直的斜率关系建立方程即可得解．

【详解】由，得，则曲线在处的切线斜率为，

由，得，则曲线在处的切线斜率为，

则根据题意有 ，

即，

得．

故答案为：.

16．设过双曲线左焦点的直线与交于两点，若，且（O为坐标原点），则的离心率为__________

【答案】

【分析】利用双曲线的定义结合向量知识建立关于、的方程即可求出离心率．

【详解】如图，

设为中点，，

由可知，，

由双曲线的定义可知， ，

由可知，

又为中点，为中点，可知，则,

从而为线段的垂直平分线，， 即 ，

所以，则为正三角形，，

在直角△中，，即，所以 ．

故答案为：．

四、解答题

17．在中，角，，所对的边为，，，已知 ．

(1)求；

(2)若，，求 ．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定的条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式及三角函数性质求解作答.

（2）利用正弦定理结合已知变形，再由差角的正弦公式求解作答.

【详解】（1）在中，由及正弦定理得 ，而，

则，即，整理得，

又，则，

所以.

（2）由正弦定理，得，而，则，

即，而，

因此，整理得，显然，解得 ，

所以.

18．已知矩形，，为的中点，现分别沿，将和翻折，使点重合，记为点．

(1)求证：

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，先利用线面垂直判定定理证得平面，再由线面垂直性质得证；

（2）先利用线面垂直判定定理证得，可得为直线与平面所成角的平面角，从而得解．

【详解】（1）已知矩形，沿，将和翻折，使点重合，记为点，

可得，

取的中点，连接，

，，

，，

又，，，

平面，

，

；

（2），，

，，

又四边形为矩形，，

，

，

为直线与平面所成角的平面角，

，

即直线与平面所成角的正弦值为．

19．为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的个红球和个黑球，乙盒内有大小相同的个红球和个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取个球．具体规则如下：摸出个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，个红球记为三等奖，个红球记为鼓励奖.

(1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为折、折、折和折．记随机变量为获得各奖次的折扣率，求随机变量的分布列及期望；

(2)某一时段内有人参加该促销活动，记随机变量为获得折及以下资格的人数，求．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）根据古典概型和相互独立事件的概率乘法公式可求得分布列，进而求出离散型随机变量的期望；

（2）根据随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式即可得解．

【详解】（1）设事件为“从甲盒中取出i个红球”，事件为“从乙盒中取出个红球”，

则，,

记为取出的个球中红球的个数，

则，

，

，

，

由题意得的分布列为

则；

（2）由（1）可知，获得折及以下资格的概率为．

由题意得，则.

20．已知数列满足，.数列满足， ．

(1)求的通项公式；

(2)证明：当时， ．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用累乘法即可得解；

（2）利用不等式的基本性质进行放缩，再由累加法和错位相减求和法即可得证．

【详解】（1）根据题意，由可知，，则，

当且时，

由累乘法得，

又 ，则，

当时，也符合上式，

综上可知，；

（2）因为，，

所以，即，

当且时，由累加法得 ，

设，则，

所以，

又，则 ，

当时，上述不等式也成立，

因此，当时， 对恒成立．

21．如图，过轴左侧的一点作两条直线分别与抛物线交于和四点，并且满足，．

(1)设的中点为，证明垂直于轴

(2)若是双曲线左支上的一点，求面积的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）设出相关点坐标，结合向量关系，证得点、纵坐标相等，从而得证；

（2）根据向量关系得，又结合点在双曲线上表示出面积表达式，根据函数思想求出最小值．

【详解】（1）设，，，，

则由，，

，，

可得，．

由点都在抛物线上可得

化简可得，

同理可得 ，

故，可视为二次方程的两根，

由韦达定理可得，故，由此可得垂直于轴.

（2）由（1）可得，；由，知

，

又是双曲线左支上的一点，

可得且，

则，

又当时，，

因此，当时取最小值为．

22．已知函数 ．

(1)当时，求函数的单调递增区间

(2)若函数在的最小值为，求的最大值．

【答案】(1)单调递增区间为

(2) ．

【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；

（2）求导，对进行分类讨论，根据函数在的最小值为，求得的取值范围，从而得到的最大值．

【详解】（1）当时，，

则，

令，在R上单调递增，

当时，，当时，，

即在上递减，在上递增，

故，

所以恒成立，仅当时取等号，

即的单调递增区间为

（2）

当时，时，，时，，

则在取得最小值，符合题意；

当时，时，，时，，

时，，

因为最小值为，所以得，即；

当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；

当时，时，，时，，

时，，

则有，不合题意；

综上可得，的最大值 ．

【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.