2023届山东省高三下学期二模考前适应性练习（一）试题含答案

山东省2023届高三下学期二模考前适应性练习（一）

数学试题

一、单选题

1．已知集合，，且，则的所有取值组成的集合为（    ）

A． B． C． D．

2．已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（    ）

A．－ B． C．－ D．

3．济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（    ）

A． B． C． D．

4．在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（    ）．

A． B． C． D．

5．圆的公切线的条数为

A．4 B．3 C．2 D．1

6．为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）

A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种

7．已知的三个内角A，B，C满足，则（    ）

A．是锐角三角形 B．角的最大值为

C．角的最大值为 D．

8．已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（    ）

A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关

B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变

C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高

D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关

10．已知函数，则（    ）

A．在上的最小值是

B．的最小正周期是

C．直线是图象的对称轴

D．直线与的图象恰有个公共点

11．已知，，则可能等于（    ）

A． B． C． D．

12．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（    ）

A．的一个方向向量为

B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为

C．与直线垂直

D．与直线平行

三、填空题

13．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.

14．已知正方体的棱长为1，若M、N、P、Q分别为、、、DC的中点，则直线MN与直线PQ之间的距离为______．

15．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为______．

16．已知，若存在，使得成立，则实数的取值范围为__________．

四、解答题

17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，，求边上的高.

18．已知等差数列是递增数列，为数列的前n项和，，，，成等比数列.

(1)求；

(2)求.

19．在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE.

(1)求证：；

(2)若，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积.

20．改革开放以来，我国经济持续高速增长.如图给出了我国2010年至2019年第二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为：产业差值)的折线图，记产业差值为(单位：万亿元).

注：年份代码1-10分别对应年份2010-2019.

（1）求出关于年份代码的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2010-2019年我国产业差值的变化情况，并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元；

（3）结合折线图，试求出除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差(结果精确到0.1).

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.样本方差公式：.参考数据：，，.

21．已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．

(1)求双曲线的方程；

(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．

22．设函数，，其中为实数.

(1)若在处的切线方程为，求实数的值；

(2)若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.

参考答案：

1．D

2．B

3．A

4．A

5．A

6．A

7．D

8．A

9．AC

10．ACD

11．BD

12．AC

13．112

14．

15．

16．

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理,得，再结合余弦定理求解即可；

（2）根据条件求出，再利用等面积法求解即可.

【详解】（1），故，

整理得，故，又，故．

（2），即，解得或（舍去），

由，解得.

18．(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，解之即可求出首项和公差，进而即可求解；

（2）结合（1）的结论求出，然后利用裂项相消法即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，，

，即

整理得，

解得，或（舍）

所以

故，

（2）由（1）知，，所以，

所以，

则，

.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先通过面面平行的判断证明平面平面，再由面面平行的性质证明，即是中位线，由此得到是的中点；

（2）设，通过勾股定理计算将到的距离和到平面的距离用表示，根据二面角的正弦值列方程求出，再代入体积公式计算即可.

【详解】（1）如图，连接，，

因为为母线，

所以,

又平面，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

又因为平面平面，平面平面，

所以，

因为是的中点，

所以是的中点，

即.

（2）如下图，作，，.

设到的距离为，则到的距离为.

设，则有，，

，

，，

因为，

所以.

因为平面，

所以到平面的距离即是到平面的距离，即.

所以，

解得.

所以.

20．（1）；（2）2010-2019年我国产业差值逐年增加，平均每年增加1.6万亿元，预测我国产业差值在2029约为34万亿元；（3）平均值为，方差为．

【分析】求出回归系数，求出回归方程即可；

根据的值，即可分析变化情况，令即可求解；

结合折线图求出平均值和方差即可．

【详解】解：（1）由题意可得，，，，

所以，

故，

所以回归直线为；

（2）由（1）值，，

故2010-2019年我国产业差值逐年增加，平均每年增加1.6万亿元，

令，解得，

故预测我国产业差值在2029约为34万亿元；

（3）结合折线图，2014年产业差值为10.8万亿元，

除去2014年(时)产业差值外的9年的产业差值的平均值为，

又，故除去2014年(时)产业差值外的9年的产业差值的方差为．

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设,通过,求解,通过在圆上,求解,得到双曲线的标准方程.

（2）当动直线的斜率不存在时,求解三角形的面积;当动直线的斜率存在时,且斜率,不妨设直线,联立直线与双曲线方程,求出,然后求解的坐标,求解,结合原点到直线的距离,求解的面积是为定值即可.

【详解】（1）不妨设 , 因为,

从而 故由 ,

又因为, 所以 ,

又因为 在圆 上, 所以

所以双曲线的标准方程为：

（2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为

由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,

当动直线的斜率不存在时, ,，,

当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 ,

故由

依题意，且

,

化简得 ,

故由 ,

同理可求,,

所以

又因为原点到直线的距离,

所以,又由

所以,

故的面积是为定值,定值为

22．(1)

(2)2，答案见解析

【分析】（1）求出函数导数，由题可得可求解；

（2）由题可得，的零点个数等价于和的交点个数，利用导数求出的变化情况，画出函数图象，数形结合可得.

(1)

由题，因为切线方程为，即切线斜率为，

，∴.

(2)

由题在上恒成立，

∴在上恒成立，∴，

由得，

令，则的零点个数等价于和的交点个数，

则，

当时，，递增，

当时，，递减，

∴时，最大值为，

又时，；时，，

据此作出的大致图象，

由图知：当或时，的零点有1个；当时，的零点有2个.