2023届长郡十八校联盟高三第一次联考（全国卷）数学（理）试题含解析

2023届长郡十八校联盟高三第一次联考（全国卷）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据基本不等式求得集合，解一元二次不等式得集合，即可得集合的交集.

【详解】∵，当且仅当时，等号成立，∴，

又∵，∴.

故选：B.

2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据“等部复数”得的值，即可得，从而得，从而可确定其复平面内对应的点所对应的象限.

【详解】∵，又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，

∴，解得，

∴，∴，即，

∴复数在复平面内对应的点是，位于第四象限.

故选：D.

3．若x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．12

【答案】D

【分析】如图所示，画出可行域，，表示直线与轴的截距，截距最小时，最大，根据图像得到答案.

【详解】画出可行域，如图所示：

，则，表示直线与轴的截距，截距最小时，最大，

当直线过交点，，即时，.

故选：D

4．已知，那么在下列不等式中，不成立的是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】，则，，

又、，，.

可得：ABC成立，D不成立.

故选：D.

【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.

5．希尔伯特在1990年提出了孪生素数猜想,其内容是：在自然数集中,孪生素数对有无穷多个.其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若和均是素数,素数对称为孪生素数.从16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先分析20以内的素数,再分析其中孪生素数的对数,再分别求解所以可能的情况种数以及孪生素数的对数求概率即可.

【详解】20以内的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从中任取两个共有种可能,其中构成孪生素数的有3和5,5和7,11和13共3对,

∴16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率.

故选：B

【点睛】本题主要考查了古典概型的问题,需要根据题意分析总的情况数以及满足条件的基本事件数.属于基础题.

6．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（    ）

A．110 B．100 C．90 D．80

【答案】A

【分析】根据所给数列的项归纳出通项公式，利用分组求和法求和即可.

【详解】观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，，

因为，

所以数列的前20项和为：

，

故选：A

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A．64 B．128 C．256 D．384

【答案】B

【分析】根据三视图得到该几何体是一个四棱锥求解.

【详解】解：如图所示：

由三视图知：该几何体是一个四棱锥，

其底面积为，高为，

所以其体积为，

故选：B

8．八一广场是南昌市的心脏地带，江西省最大的城市中心广场，八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔座正面携刻“八一南昌起义简介”碑文，东､南､西三面各有一幅反映武装起义的人物浮雕.塔身正面为“八一南昌起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成.八一南昌起义纪念塔的建成，表达了亿万人民永远缅怀老一辈无产阶级革命家创建和培育解放军的丰功伟绩，鼓励国人进行新的长征.现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C､D两点，测得的长为m.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有.､､､､，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出纪念塔高度的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】依据解三角形的条件，逐项判断可解三角形求出塔高度的选项即可．

【详解】对于A：由m，､可以解，又，可求塔高度；

对于B：在中，由无法解三角形，在中，由无法解三角形，

在中，已知两角无法解三角形，所以无法解出任意三角形，故不能求塔高度；

对于C：由，可以解，可求，又，即可求塔高度；

对于D：如图，过点B作于点E，连接，

由，，知，故可知的大小，由､､m可解，可求，又，可求塔高度.

故选：B.

9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数图象平移规律可得函数的图象，由、设，则，分别利用、，求出可得答案.

【详解】函数的周期为，

将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，

可得，

由可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且，

不妨设，则，即在时取得最小值，

由于，此时，不合题意；，此时，

当时，满足题意.

故选：C.

10．已知，函数，若关于x的方程有6个解，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】数形结合法，令，可得方程的解有3个，对应的一元二次方程各有2个不相等的实数根，利用判别式求解的范围.

【详解】令，则方程的解有3个，

由图象可得，，且三个解分别为，

则，，，

均有两个不相等的实根，

则，且，且，

即且，解得，

当时，，

因为，所以，所以，且，

所以，即恒成立，

故的取值范围为.

故选:B.

11．双曲线的左焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用韦达定理结合可得，再根据弦长公式表示得,结合即可求直线l的斜率.

【详解】由题意可知：，设，，的中点为P，

过点A，B，M的圆的圆心坐标为，则，

由题意知：直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，

联立方程组化简整理可得，，

则，，

，

故的中点P的纵坐标，横坐标，

则，

由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，

所以，化简整理可得：①，

则圆心到直线的距离，

，

，即，

将①代入可得：，

即，

整理可得：，则，

因为，所以，解得，

∴.

故选:A.

12．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面，点E，F分别在上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把剪开，使得与矩形在同一个平面内.延长到M，使得，则四点P，E，F，M在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值.可得，∴.∴点E为的中点.设的外心为，外接圆的半径为r，则，利用勾股定理进而得出结论.

【详解】如图所示，把剪开，使得与矩形在同一个平面内.

延长到M，使得，则四点P，E，F，M在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值.可得，∴.∴点E为的中点.

如图所示，设的外心为，外接圆的半径为r，易得，

则.

设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，连接，则，

则.∴三棱锥外接球的表面积.

故选：B.

二、填空题

13．已知，则等于___________.

【答案】

【分析】要求，即求展开式中项的系数，进而根据二项式定理求解即可；

【详解】解:因为，

对于，其展开式通项为.

所以，中含的项为，

所以展开式中含的项系数为.

故答案为：.

14．已知向量，，，若，则___________.

【答案】

【分析】用向量的坐标运算即可.

【详解】依题意：

，

解得m=-4，

故答案为：-4.

15．已知，则___________.

【答案】

【分析】根据已知等式平方后相加可得，即，根据已知角度范围即可得，从而可得，，再根据诱导公式转化即可得所求.

【详解】等式，

两边同时平方得，，

两式相加，得，，整理得，即，

因为，所以，得，

代入，得，即，则，

则.

故答案为：.

16．设函数的两个极值点分别为.若恒成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】由函数有两个极值点分别为，可知不单调，利用导数求得的范围，运用韦达定理可得，作差，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数，通过求导，判断单调性可得，即可得到的范围.

【详解】∵函数有两个极值点分别为，

的定义域为，

令，其判别式，

当时，在上单调递减，不合题意.

当时，的两根都小于零，在上，，

则在上单调递减，不合题意.

当时，，设的两个根都大于零，

令，

当时，，当时，，当时，，

故分别在区间，上单调递减，在区间上单调递增，

则，∴a的取值范围是.

∵，

∴，

若恒成立，则，

∴，

由，则.又，

∴，

∴①恒成立，

记，，

记的两根为，

，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，

且易知.又，

∴当时，；当时，.

故由①式可得，，代入方程，

得.又，

∴a的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题.

三、解答题

17．在数列中，，点在直线上.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列定义判断求解作答.

（2）利用（1）的结论，利用错位相减法求和作答.

【详解】（1）依题意，，即，因此数列是公差为3的等差数列，则，

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）得，

则，

于是，

两式相减得，

所以.

18．基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图散点图：

根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：，，，，，其中分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，，2，…，50，y与x的相关系数.

(1)若不剔除A，B两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为.试判断与r的大小关系（不必说明理由）；

(2)求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到0.1）

附：线性回归方程中：.

【答案】(1)

(2)，估计B考生的物理成绩约为81.2分

【分析】（1）根据已知条件，结合散点图，即可求解．

（2）根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的公式，求出线性回归方程，再将代入，即可求解．

【详解】（1）

理由如下：由图可知，与成正相关关系，

①异常点，会降低变量之间的线性相关程度，

②52个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，

③50个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，

④50个数据点更贴近其回归直线，

⑤52个数据点与其回归直线更离散．

（2）由题中数据可得：，

所以，所以，

，

所以，

将代入，得，

所以估计B考生的物理成绩约为81.2分.

19．如图，在四棱锥中，为棱上一点，，四边形为矩形，且平面.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质得，利用平行线分线段成比例可得线段长度，从而由勾股定理得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直；

（2）利用线面关系，证明线线垂直，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算分别确定平面与平面的法向量，根据坐标运算得二面角的余弦值，即可确定二面角大小.

【详解】（1）连接交于点，连接，

因为平面，平面平面，平面，所以，

又，所以，

又，所以.

因为，所以，

所以，所以，

又平面，所以平面.

（2）因为平面，平面，所以，

又，平面，所以平面，

又平面，所以，又，平面

所以平面.

如图建系，

则，

，

设平面的一个法向量为，

则，取，得，

又平面的一个法向量为，

所以，且二面角为锐角，

故二面角的大小为.

20．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于两点（在轴上方），且，设点在轴上的射影为点，的面积为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过抛物线的焦点与椭圆交于两，点，与抛物线交于两点.

(1)求椭圆及抛物线的标准方程；

(2)是否存在常数，使为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)，

(2)存在，

【分析】（1）设，由解得，利用可得，再求得的值，即可得椭圆C方程，由抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，即可得抛物线的标准方程；

（2）设直线的方程为，，分别让直线与椭圆、抛物线联立，得交点坐标关系，从而得弦长，即可求得的值.

【详解】（1）由题意可设，可得，

所以，所以，，

所以，所以，

点P坐标代入椭圆方程得，所以椭圆C方程为，

所以，即，所以抛物线E方程为.

（2）设.

直线l的方程为，与椭圆C的方程联立得，

则恒成立，所以

则.

直线l的方程为，与抛物线E的方程联立得.

.

.

要使为常数，则，得.

故存在，使为常数.

21．设函数.

(1)证明：当时，有唯一零点；

(2)若任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求导，根据导函数判断函数 的单调性，再根据零点存在法则求解；

（2）求导，根据导函数的结构，对a分类讨论.

【详解】（1） ，

令 ，则 ，则 单调递增，

且 ，∴ ，

单调递减，  单调递增，

且 ，则，

∴存在唯一零点 ，使得，即有唯一零点；

（2），

则 ，又令 ，

①当，即时， 恒成立，∴在区间上单调递增，

∴，∴ ，∴在区间上单调递增，

∴（不合题意）；

②当即时，  在区间上单调递减，

∴，∴ ，∴在区间上单调递减，

∴（符合题意）；

③当，即时，由 ，

∴ ，使 ，且时， ，

∴在上单调递增，∴（不符合题意）；

综上，a的取值范围是；

【点睛】本题的函数类型是三角函数与非三角函数组合成的，对于这一类函数往往是在一个周期 内讨论或半个周期内讨论 ；如果一次求导不能判断清楚导函数的符号，则需要多次求导，而且每次求导后都要研究导函数的解析式能否判断清楚导函数的符号，直至能判断清楚导函数的符号为止.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴为正半轴建立极坐标，椭圆的极坐标方程为，其右焦点为，直线与椭圆交于两点.

(1)求的值；

(2)若点是椭圆上任意一点，求的面积最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据极坐标方程可得椭圆的标准方程，又直线经过点椭圆焦点，将直线参数方程代入椭圆方程，得坐标关系，即可得的值；

（2）设点P坐标为，直线l的直角坐标方程为，由点到直线的距离，结合三角函数的图象性质求得距离最大值，即可求得的面积最大值.

【详解】（1）由得椭圆的方程为，其焦点坐标为，

由题意得直线经过点，其参数方程为（为参数），

代入椭圆的方程整理得，所以，

所以.

（2）由椭圆方程，可设点P坐标为，

又直线l的直角坐标方程为，

∴点P到直线l的距离，其中，

所以，因为，

所以的面积最大值为.

23．已知函数.

(1)求的最小值m；

(2)若a，b为正实数，且，证明不等式.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）讨论去绝对值可得的解析式及最小值；

（2）由（1）可得，利用基本不等式可得答案.

【详解】（1）当时，，

当时，，

当时，，

综上，

，可知当时，有最小值，

所以；

（2）由（1）可得，因为a，b为正实数，所以，

所以.