2023年中考第一次模拟考试卷数学（吉林卷）（全解全析）

这是一份2023年中考第一次模拟考试卷数学（吉林卷）（全解全析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省中考数学第一次模拟考试卷
数学·全解全析
一、选择题（每小题2分，共12分．）
1
2
3
4
5
6
B
D
A
C
B
B

1．如图，数轴上点P位于点O右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（　　）

A．1.5 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点，根据它在数轴上的位置估计即可．
【详解】解：∵数轴上小蘑菇所在点在和之间，且偏左边一点，
∴小蘑菇在数轴上所表示的数可能为，
故选：B．
【点睛】本题考查的是用数轴上的点表示数，解题的关键是熟练掌握数轴上的点表示数的方法．
2．如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体从上面看到的形状图是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据从上面看到图形判断即可．
【详解】由题意可知该几何体从上面看到的形状图是，
故选D．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，具备良好的空间想象能力是解答本题的关键．
3．在下列4个数中，最小的数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据实数的性质进行化简即可比较大小．
【详解】解：，，，，
根据实数比较大小的方法，可得，
故最小的数是．
故选：A．
【点睛】此题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟知实数的性质．
4．如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得，，由三角形内角和可求，即可求∠BOC的度数．
【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴,
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
5．如图，点A，B，C都在上，连接，，，，，，则的大小是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知是等腰三角形，，可得出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解题的关键．
6．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）

A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm
【答案】B
【分析】根据勾股定理求解出最短路程即可．
【详解】最短路径
故答案为：B．
【点睛】本题考查了利用勾股定理求最短路程的问题，掌握勾股定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．分解因式：________．
【答案】##
【分析】直接根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
8．不等式的解集是______．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式的方法解答即可．
【详解】解：不等式即为：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题型，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键．
9．计算的结果是______．
【答案】##
【分析】根据分式的乘法运算法则计算即可得解．
【详解】



，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的乘法运算，掌握分式的乘法运算法则是解答本题的关键．
10．若关于的一元二次方程有实数根，则常数的范围是_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根的判别式可列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：根据题意可知方程有实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，能够熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解决本题的关键．
11．将一副三角板如图所示放置，使点D在上，，则的度数为______．

【答案】##75度
【分析】根据平行线的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12．如果，则的平方根为_____．
【答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x和y的值，然后求出的值，最后求的平方根即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得，；
∴；
∴，
∴的平方根为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，能够根据题意求出x和y的值是解题的关键．
13．如图，平行四边形中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点A正好落在上的点，若的周长为，的周长为，则平行四边形的周长______．

【答案】28
【分析】由折叠的性质知，，，结合平行四边形对边相等的性质解题即可．
【详解】解：由折叠的性质知，，，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴


．
故答案为：28．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．若线段的中点为M，在整个运动过程中，写出点M运动路径的长度为___________．

【答案】
【分析】分类讨论点Q在线段上和点Q在线段上时点M的轨迹，计算出轨迹即可．
【详解】解：①如图，点Q在线段上，过点O作于点K，过点Q作于点H，

矩形，
，
，
，
，
，
，
，
点M在线段上，当点P到达K点时，点Q到达O点，此时点M在点E处，
这时段点M的运动轨迹为；
②如图，点Q在线段上，取的中点，的中点M，连接，则点M的运动轨迹是线段，

在中，．
在整个过程中，点M的运动轨迹的长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，解决本题的关键是找到点Q和点P的轨迹之间的关系．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（本题满分5分）
先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】先利用整式的混合运算法则将式子化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式，
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
16．（本题满分5分）
一个不透明的盒子中放有除颜色外其他都相同的4个小球，其中2个红球，2个白球，求从盒子中摸出两个小球颜色相同的概率（请用画树状图或列表格的方法求解）．
【答案】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表得

红1
红2
白1
白2
红1

（红2，红1）
（白1，红1）
（白2，红1）
红2
（红1，红2）

（白1，红2）
（白2，红2）
白1
（红1，白1）
（红2，白1）

（白2，白1）
白2
（红1，白2）
（红2，白2）
（白1，白2）


共有12种等可能结果，其中两个小球颜色相同的结果有4种：
（红1，红2），（红2，红1），（白1，白2），（白2，白1），
（俩个小球颜色相同）
【点睛】此题考查了画树状图或列表格求概率．正确画树状图或列表格是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17．（本题满分5分）
如图，一次函数与反比例函数的图像相较于，两点．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)过点作轴，垂足为，求．
【答案】(1)；
(2)5

【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把的坐标代入反比例函数的解析式，求出的坐标，把、的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出，边上的高是，代入三角形的面积公式即可．
【详解】（1）∵点）在的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∴
∵点在的图像上，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为：；
（2）以为底，则边上的高为3+2=5，
∴，
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
18．（本题满分5分）
如图，在平行四边形中，

(1)若点E、F是、的中点，连接、，求证：；
(2)若平分且交边于点F，如果，，试求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)3

【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得，AD=BC，再由点E、F是、的中点，可得DE=BF，即可求证；
（2）根据和平分可得∠CFD=∠CDF，从而得到CF=CD=5，即可求解．
（1）
证明∶∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC，
∵点E、F是、的中点，
∴，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF；
（2）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴， CD=AB=5，
∴∠ADF=∠CFD，
∵平分，
∴∠ADF=∠CDF，
∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD=5，
∴BF=BC-CF=8-5=3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟记平行四边形的性质，证出CF=CD是解决问题（2）的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（本题满分7分）
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，O均落在格点上，以点O为圆心长为半径的圆交于点C．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示．

(1)线段的长等于______；
(2)画出的切线；
(3)P为上的动点，当取得最小值时，画出点P．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）利用网格根据勾股定理求出的长，再用即可求解的长；
（2）连接A点和B点上一格再左两格的格点，交于D，利用垂径定理得到，证明，得出是的切线；
（3）找到B点和C点关于的对称点和，连接交于P，可得当，P，D三点共线时，取得最小值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）如图所示：即为所求；
由作图可知：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴是的切线；

（3）如图，点P即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，勾股定理，轴对称-最短路径问题及垂径定理等知识，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
20．（本题满分7分）
某电器商场销售两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元．商场销售5台A型号和1台型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台型号计算器，可获利润120元．
(1)求商场销售两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格-进货价格）
(2)商场推出两种优惠套餐供顾客选择，套餐一：两种型号计算器均打八折出售；套餐二：A型号计算器打九折出售，型号计算器打七折出售．现学校需要购买两种型号计算器共420台，学校选择哪个优惠套餐购买更划算？
【答案】(1)两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元
(2)学校购买型号计算器多于240台时，选择套餐一购买更划算；学校购买A型号计算器少于240台时，选择套餐二购买更划算；学校购买A型号计算器等于240台时，选择套餐一和选择套餐二购买一样划算

【分析】（1）型号的计算器的销售价格分别是元和元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设学校购买A型号计算器台，得到若学校选套餐一购买计算器，则需支付元；若学校选套餐二购买计算器，则需支付元．分①选择套餐一购买更划算、②选择套餐二购买更划算、③若两种套餐一样划算三种情况，分别列不等式和方程即可求解．
【详解】（1）解：设型号的计算器的销售价格分别是元和元，
依题意得，
解得，
答：两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元；
（2）解：设学校购买A型号计算器台，若学校选套餐一购买计算器，则需支付元；若学校选套餐二购买计算器，则需支付元．
①若选择套餐一购买更划算，则

解得，，
即学校购买A型号计算器多于240台时，选择套餐一购买更划算；
②若选择套餐二购买更划算，则

解得，，
即学校购买A型号计算器少于240台时，选择套餐二购买更划算．
③若两种套餐一样划算，则

解得，，
即学校购买A型号计算器等于240台时，选择套餐一和选择套餐二购买一样划算．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式、一元一次方程的应用，理解题意，根据题意列出方程（组）或不等式是解题关键．
21．（本题满分7分）
消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角，转动点距离地面的高度为3米．

(1)当起重臂的长为24米，张角时，求云梯消防车最高点距离地面的高度．
(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，问该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由．（参考数据：）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度．）
【答案】(1)云梯消防梯最高点距离地面的高度为15米
(2)该消防车在这栋楼下能实施有效救援，理由见解析

【分析】（1）过点A作，垂足为F．先在中求出，再利用直角三角形的边角间关系求出；
（2）先计算当长米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．
【详解】（1）作于点

由题意，得，，
∴四边形是矩形，
∴（米），.
∵，
∴.
在中， ，
∴（米），
∴（米）.
答：云梯消防梯最高点距离地面的高度为15米
（2）当米，时，云梯顶端可以达到最大高度
则有米，，
在中，，
∴（米），
∴（米）（米）.
答：该消防车在这栋楼下能实施有效救援．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，在抽象图中找到直角三角形、熟记锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是本题的解题关键．
22．（本题满分7分）
双减背景下为了解学生每天回家完成作业时间情况，某中学对八年级学生每天回家完成作业时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：

(1)被抽样调查的学生有______人，并补全条形统计图；
(2)每天回家完成作业时间的中位数是______（分钟），众数是______（分钟）；
(3)该校八年级有1000名学生，请估计该校每天回家完成作业时间超过120分钟的学生有多少人？
【答案】(1)80，统计图见解析
(2)90,60
(3)200

【分析】（1）根据回家作业完成时间是120分钟的人数16人及其占抽样调查总人数的百分比20%，即可求得抽样调查的总人数；进而即可求得完成作业时间为90分钟以上的人数，然后后补充完整条形统计图即可；
（2）根据中位数及众数的定义进行求解即可；
（3）用每天回家完成作业时间超过120分钟的学生占抽样调查总人数的百分比乘上1000即可．
【详解】（1）解：（人），
完成时间在90分钟的人数为（人）
补全条形统计图如图所示：

（2）解：将这80名学生完成作业时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是90分钟，因此中位数是90分钟，
这80名学生完成作业时间出现次数最多的是60分钟，共出现32次，因此众数是60分钟．
故答案为：90，60．
（3）解：（人）．
答：该校1000名学生中每天回家完成作业时间超过120分钟的有200人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计整体等知识点，正确从统计图中获取有用信息是解答本题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（本题满分8分）
在一条公路上依次有三地，甲车从地出发，驶向地，同时乙车从地出发驶向地，到达地停留小时后，按原路原速返回地，两车匀速行驶，甲车比乙车晩小时到达．两车距各自出离出发地的路程（千米）与时间（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：

(1)甲车行驶的速度是 千米/小时，两地的路程为 千米．
(2)求乙车从地返回地的过程中，与之间的函数关系式．
(3)在甲、乙运动过程中，当甲、乙车相遇时，直接写出的值．
【答案】(1)60；360；
(2)；
(3)；

【分析】（1）由题意得，则甲车行驶速度是：（千米/小时），则的纵坐标为，故，两地之间的距离为360千米；
（2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达地，可知乙的速度为（千米/小时），故，则，，设表达式为，将和代入，，解得：，则与之间的函数关系式为：；
（3）设的关系式为，把代入得：，解得：，故的关系式为：，则当相遇时：，进而即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴甲车行驶速度是：（千米/小时），
的纵坐标为，
∴，两地之间的距离为360千米，
故答案为：60；360；
（2）解：∵甲车比乙车晚1.5小时到达地，
乙的速度为（千米/小时），
则，
∴，，
设表达式为，将和代入，
，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
（3）解：设的关系式为，
把代入得：
，
解得：，
∴的关系式为：，
当相遇时：，
解得：，
所以当相遇时：．
【点睛】本题考查用一次函数解决行程问题，根据函数图像求出函数解析式是解决本题的关键．
24．（本题满分8分）
综合与实践：
问题情境：已知，中，，，点D，E分别在BC，AC边上，．

(1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为______°．
类比思考：
(2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值.求的度数；
联系拓广：
(3)如图3，将问题情境中的“点D，E分别在BC，AC边上”改为“点D，E分别在BC、AC的延长线上”，其余条件不变．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择______题．
A．若，直接写出此时的度数．
B．直接写出的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)A．；B．

【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质结合三角形内角和定理进行求解即可；
（2）根据等腰三角形的判定与性质结合三角形内角和定理进行求解即可
（3）A．根据等腰三角形的性质可得，然后根据，进而得出答案；
B．由A得．
【详解】（1）解：∵，且恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴；
（3）A．∵，
∴，
∵，
∴




，
故答案为：；
B．由A得




．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相关基础知识是解本题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（本题满分10分）
如图，矩形中，，，点P是射线上的一动点，，垂足为E，与射线交于点F．

(1)若点P在边上（与点D、点A不重合）．
①求证：；
②设，，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当与面积之比为时，线段的长为多少？（直接写出答案，不必说明理由）．
【答案】(1)①证明见解析；②，
(2)长为或或

【分析】（1）①通过，可得，同理可证，即可求解；
②根据相似三角形的性质证明，再利用相似三角形的性质得出 ，即可得解；
（2）设线段的长为，根据与面积之比为，分三种情况讨论，分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）①∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∵，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x的取值范围为．
（2）设线段的长为，中边的高为，中边的高为，
由（1）得，，即；
∵与面积之比为，
，即，
①当点P在线段上，点在线段上时，如图，

此时，，
，即，
，
，
整理得，
解得（负舍）；
②当点P在线段的延长线上，点在线段上时，如图，

此时，，
，即，
，
，
整理得，
解得（负舍）；
③当点P在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图，

此时，，
，即，
，
，
整理得，
解得（负舍）；
综上，长为或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求函数表达式，熟练掌握知识点并能够运用分类讨论的思想是解题的关键．
26．（本题满分10分）
如图：抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线第一象限上的一动点，连接，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在(2)的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点为点对应点，点为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并对其中的一个满足条件的点进行说明．
【答案】(1)
(2)，
(3)或，见解析

【分析】（1）用待定系数法即可得抛物线的解析式；
（2）先求得直线的解析式为，过点作轴交于点，交轴于点，设，则，得出，则，根据二次函数的性质求得最值即可求解；
（3）根据题意得出，分当为对角线时，当为边时，根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）在中，当．
∴，
设直线BC的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点作轴交于点，交轴于点，

∵，
∴为等腰直角三角形，
∴也为等腰直角三角形，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，；
（3）∵直线与轴负方向夹角为，
∴沿射线方向平移2，实际可看成向右平移个单位，再向下平移个单位，
∵，
∴，
抛物线平移后，
∴抛物线的对称轴为：直线，
如图，当为对角线时，

点 移动到点M，横坐标增加，
∴点的横坐标增加得到点，
∴点的横坐标为：，
∴点的纵坐标为： ，
∴点的坐标为；
如图，当为边时，

点为的顶点坐标，则
综上所述： 或
【点睛】本题考查二次函数综合应用，待定系数法求解析式、线段的最大值、平行四边形性质等知识，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分及二次函数图象的性质．