2023年中考第一次模拟考试卷数学（济南卷）（全解全析）

这是一份2023年中考第一次模拟考试卷数学（济南卷）（全解全析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学第一次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
B
C
A
C
D
C
C
A
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)在数，，，，，5中，无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解：，
所以无理数有：，，共2个．
故选：B
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2．(本题4分)一个机器零件如图所示，它的主视图正确的是（    ）

A． B．C．D．
【答案】C
【分析】由图可知，从正面看机器零件能看到空心圆和零件两部分的交合处，据此判断即可．
【详解】机器零件的主视图为 ，
故选C．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．
3．(本题4分)新型冠状病毒属于属的冠状病毒，其中一种直径约为米，用科学计数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．(本题4分)如图，，，，则∠1的度数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据平行线的性质即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选C．

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键．
5．(本题4分)下列计算正确的是（　　）
A．3（ax2﹣2ax）＝3ax2﹣6ax B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝﹣x2+y2
C．（a+2b）2＝a2+2ab+4b2 D．﹣a（x﹣1）2＝﹣ax2+2ax+a
【答案】A
【分析】A、原式去括号得到结果，即可作出判断；
B、原式利用平方差公式化简得到结果，即可作出判断；
C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；
D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式＝3ax2﹣6ax，符合题意；
B、原式＝x2﹣y2，不符合题意；
C、原式＝a2+4ab+4b2，不符合题意；
D、原式＝﹣ax2+2ax﹣a，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
6．(本题4分)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式，得到不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

解得
故k的取值范围为且，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程的定义及根的判别式是解决本题的关键．
7．(本题4分)，两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，根据题意可得，同样走千米，小汽车比大汽车少用小时，据此列方程．
【详解】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，
由题意得，．
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8．(本题4分)在运动会径赛中，甲、乙同时起跑，刚跑出，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，若他们所跑的路程与比赛时间的关系如图，有下列说法：①他们进行的是比赛；②甲比乙先到达终点；③乙全程的平均速度为；④甲再次投入比赛后在距离终点300米时追上了乙．其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题意和图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】由图可得，
他们进行的是比赛，故①正确；
甲比乙先到达终点，故②正确；
乙全程的平均速度为，故③正确；
设甲再次投入比赛后，追上乙时的时间为，

解得，，
∴甲再次投入比赛后在距离终点，故④错误，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．(本题4分)如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若平分交于点E，且，连接，则（    ） 

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由矩形，得到，根据平分，得到等边三角形，，求出，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
∴，，，，，
，，
平分，
，
，
，

是等边三角形，
，
，
∵，
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，矩形的性质等知识点，证明是等边三角形是解决本题的关键．
10．(本题4分)如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；
②8a+c＞0；
③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；
④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；
⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．
其中结论正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】①由图象可知a＞0，c＜0，根据对称轴，得到b<0，即可判断；
②由对称轴得，b＝﹣2a，然后把x＝﹣2代入解析式，整理后即可判断；
③根据抛物线的对称性，得x1+x2=2，然后把x＝2代入解析式，即可判断；
④由点M，N是抛物线与x轴的两个交点，则抛物线的顶点到x轴的距离不小于3，则有，结合②的结论，即可求得a的取值范围；
⑤由图像可知，与x轴的两个交点为（-2，0），（4，0），此时y=0，则当y=2时，x1＜﹣2＜4＜x2，即可得到答案.
【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，

∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，故②错误；
③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
∴，
解得：，故④错误；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，故⑤错误；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．(本题4分)分解因式：______．
【答案】
【分析】首先提取公因式，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
【详解】解：

，
故答案为．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．(本题4分)如图，点，，，分别是四边形各边的中点，现随机向四边形内掷一枚小针，则针尖落在白色区域内的概率为____________．

【答案】
【分析】连接，如图，根据三角形中位线性质得到，，则可判断，由相似三角形的性质得出，，，
然后根据几何概率求解即可推理出答案．
【详解】连接，如图，

∵点，分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴针尖落在黑色区域内的概率为，
∴针尖落在黑色区域内的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．
13．(本题4分)如图，从一个边长是5的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面直径为______．

【答案】3
【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
则弧的长为，即圆锥底面周长为，
圆锥底面直径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形弧长及圆周长，掌握扇形弧长、圆周长的计算方法是正确解决问题的关键．
14．(本题4分)已知m是方程式的根，则式子的值为________．
【答案】2020
【分析】由题意可得出，可变形为，．再由，将代入化简得，再将代入求值即可．
【详解】∵m是方程式的根，
∴，
∴，．
，
将代入，得：，
再将代入，得：．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键．
15．(本题4分)饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示)．那么开机后分钟时，水的温度是______．

【答案】
【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间x的函数关系式；由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可，由，将代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论．
【详解】解：当时，设水温与开机时间的函数关系为：，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：，
依据题意，得：，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∵，
∴当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．
16．(本题4分)如图，在矩形中，，是由绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，与相交于点，交于点，连结，四边形恰好是矩形．则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．

【答案】①②③④
【分析】①根据旋转的性质可证结论成立；②由①，结合可证；③先根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质证明，再证明即可证明结论成立；④由旋转的性质的，从而，结合勾股定理可得，进而可证结论成立．
【详解】∵是由绕点C旋转得到，
∴，故①正确；
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是由绕点C旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵是由绕点C旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，锐角三角函数等知识，综合运用各知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，满分86分）
17．(本题6分)计算：．
【答案】
【分析】先计算器乘方与化简二次根式，并把特殊性角的三角函数值代入，再计算加减即可．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则，零指数与负整理指数法则，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．(本题6分)解不等式组：，并求出所有满足条件的整数之和．
【答案】，
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出所有整数求和．
【详解】，
解①得：
解②得：
∴
∴x的整数解为，
和为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
19．(本题6分)如图，荾形中，点，分别在边，上，，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】解法一：由菱形的性质和已知可得，，再证明即可；
解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明即可．
【详解】证明：解法一：
∵四边形是菱形，

∴，
又∵，
∴，
∴，
在△ADE和中，
，
∴，
∴．
解法二：
连接，
∵四边形是菱形，

∴，
∴，
在和△CAF中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，运用了一题多解的思路．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
20．(本题8分)某中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种)，现将调查的结果绘制成的不完整的统计图(如图所示)．

(1) ，
(2)请补上全图中的条形统计图；
(3)根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
(4)在抽查的m名学生中，喜爱乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小花，小颖），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小花、小颖能分在同一组的概率．
【答案】(1)100，15 (2)图见解析 (3)800人 (4)
【分析】（1）根据喜爱乒乓球的有10人，占10%可以求得m的值，从而可以求得n的值；
（2）根据题意和m的值可以求得喜爱篮球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）先用喜欢足球的人数用除以总人数，求出喜欢足球的人数占总人数的百分比，后用这个百分比乘以2000计算．
（4）先列表或树状图的方法求出总共的情况以及恰好小花，小颖能分在一组的情况数，进而用概率进行计算即可．
【详解】（1），
故答案为：100，15；
（2）喜爱篮球的有：（人），
补全的条形统计图，如下图所示；

（3） (人)，      
答：全校2000名学生中，大约有800人喜爱踢足球．
（4）把小花标记为A、小颖标记为B、另外两名同学分别标记为C和D，列表如下：

A
B
C
D
A

(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)

(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)

(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)


由上表可知，共有12种等可能的情况，其中，小花，小颖分别在同一组的情况有共4种．
∴P（小花，小颖分在同一组）=．
【点睛】本题考查学生数据的分析和数据的整合能力，这是一道概率统计与应用题，侧重数据分析和模型构建．本题来源于真实的数学情境，联系生活实际对本题进行解读的话，会很容易理解，但如果没有联系生活实际，在最后一小题，是很容易忽略掉最后两种情况的．此题贴近生活、常中见拙、拙中藏巧、一题多问、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台，培养了学生的数学综合素养．
21．(本题8分)如图，已知是的直径，点是上一点，过点作的切线交延长线于点，于点，连接．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析(2)4
【分析】（1）连接，由切线的性质得到，然后根据垂直的定义结合平行线的判定和性质得到，从而求解；
（2）先证得，然后根据相似三角形的性质及勾股定理列方程求解
【详解】（1）连接，则，

∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵，，
∴在中，，                
∴，
∵，
∴，            
∴，
设的半径为r，则，        
∴，解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质和相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
22．(本题8分)在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．

(1)当托板与压柄夹角时，如图①，点从点滑动了，求连接杆的长度；
(2)当压柄从（1）中的位置旋转到与底座的夹角，如图②．求这个过程中点滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：，，）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）作于，在中，由三角函数可知，，可解得， ，然后在中由勾股定理即可获得答案；
（2）作的延长线于点，在中，由三角函数和勾股定理可解得，，再在中，可有，代入求解即可获得答案．
【详解】（1）解：如图①，作于，

在中，，，，
∴，，
∴， ，
∵，，
∴，
∴；
答：连接杆的长度为；
（2）如图②，作的延长线于点，

∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴点滑动的距离为：．
答：这个过程中点滑动的距离为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理等知识，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键．
23．(本题10分)某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价
单价元




销售量瓶





(1)求关于的函数表达式．
(2)该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？
(3)由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值．
【答案】(1)
(2)，单价为元时利润最大，最大利润是元
(3)
【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据每一瓶的利润乘以销量，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意得，根据销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）设关于的函数表达式为
由题意得：
解得：
关于的函数表达式为．
（2）由题意得：



，
当时，有最大值元．
∴w关于x的函数表达式为w=-10x2+240x-800，单价为元时利润最大，最大利润是元．
（3）由题意得：


二次函数的对称轴为：
，当销售单价不超过元时，利润随着的增大而增大

，
的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．(本题10分)已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C．

(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
(3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，直接写出Q点的横坐标的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标；
（2）设直线的解析式为设，由，整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得；
（3）通过证得，得出，，即可得出点的坐标，进而表示出点的坐标，代入，解方程即可求得点的横坐标．
【详解】（1）∵过，
∴，
∴，则，
又∵过，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
∴，解得：或，
∴．
（2）令，则，∴．
设直线的解析式为设，∴，即：，
∵直线与反比例函数图象只有一个交点，
∴，
∴，
∴，令，则，
∴，
∴．
（3）点的横坐标的值为．
证明过程：由图可知在第一象限、不可能相等，
如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，，
设点的坐标为，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设（），
∴，
∵点在一次函数图象上，
∴，整理得，
解得（负数舍去），
∴点的横坐标的值为．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．(本题12分)已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】（1）结论．证明，可得结论．
（2）结论成立．证明方法类似（1）．
（3）首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1中，

，，，
，，
，
，
，，
，
．
（2）结论成立．
理由：如图2中，

，，
，
，
，
，，
，
．
（3）如图3中，

由旋转的性质可知，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．







26．(本题12分)如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，点E在抛物线上，连接并延长交x轴于点F，连接，若是以为底的等腰三角形，求点E坐标．
(3)如图2，连接、，在抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式，化成顶点式即可得D点坐标；
（2）设，根据列方程求解即可；
（3）分两种情况：当在的上方和当在的下方时分别求解即可．
【详解】（1）把代入得
，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴顶点；
（2）设，
则，
∵，
∴，
解得，
∴；
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，
解得，，
∴；
（3）设，
①如图，当交x轴于G时，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，
则，
∴，
∴的解析式为：，
则，
∴，
解得（舍），，
当时，，
∴；
②如图，当与x轴交于点N时，过B作于P，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，
则，
∴，
∴的解析式为：，
联立方程组得：，
解得：（舍），
因为点M在抛物线上，所以当时，，
∴，
综上所述，存在点或，使得．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用解析式求交点坐标，方程和分类思想的运用是解题的关键．