人教版八年级下期中数学测试题

这是一份人教版八年级下期中数学测试题，共31页。

人教版八年级下期中数学测试题
（考试时间：120分钟，满分：120分，请把答案填涂在答题卡上．）
一、 选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
2. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）

A. B. C. D.
A. B. C. D.
3.如图，在平行四边形中，于点，，则等于（ ）

A. B. C. D.
4.如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（　　）

A. 5m B. 10m C. 20m D. 40m
5. ☑ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴．若点A坐标为(-1，2)，则点C的坐标为（ ）
A. (1，-2) B. (2，-1) C. (1，-3) D. (2，-3)
6.如图，直线l上有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为12和5，则B的面积为（　　）

A. 7 B. 13 C. 17 D. 60
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ABD=60°，那么∠BAE的度数是（　　）

A．40° B．55° C．75° D．80°
9.如图，在矩形中ABCD中，AB＝8，BC=6，将矩形沿BD折叠，点C落在点C'处，则重叠部分△BDF的面积是（　　）

A．95 B．12 C．165 D．754
10.如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边上的动点，且．连接，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．）
11.已知直角三角形两边长分别为4和5，则第三边长为___________．
12. 若，化简：___________．
13.如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为_______．

14.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形．若点A的坐标是（3，4），则菱形的周长为_______．

15. 正方形ABCD中，AB＝6 ，点E在边CD上，CE＝2DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；② S△FGC= 6；③EG＝DE＋BG；④BG＝GC．其中正确的有___（填序号）．

三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分75分．解答写在答题卡上）
16.（8分）计算：
（1）
（2）
17.（7分）已知点E、F为▱ABCD对角线AC上的两点，AE=CF，

求证：四边形BFDE是平行四边形．
18.（8分）如图所示，在一棵树的10米高的处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的处．另一只猴子爬到树顶处后顺绳子滑到处，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高．

19.（10分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC=25，AC=4，求OE的长
20.（8分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．

求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
所以四边形ABEF为所求作的菱形．
（1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明；
证明：∵，
∴______=______
在□ABCD中，，
即
∴四边形ABEF为平行四边形
（______）（填推理的依据）
∵
∴四边形ABEF为菱形
（______）（填推理的依据）
21.（9分）如图，在平面直角坐标系中，长方形纸片的边在x轴的正半轴上，点D与点O重合，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，D两点重合，折痕为．

（1）求证：；
（2）求的长；
（3）求折痕的长．
22.（12分）如图，在正方形中，点E在的延长线上，分别交于F，G，点H为的中点．

（1）若，则＝　　；
（2）求证：．
23. 如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．

（1）求证：；
（2）连接，则的值为__________；
（3）连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．


















人教版八年级下期中数学测试题（解析版）
（考试时间：120分钟，满分：120分，请把答案填涂在答题卡上．）
二、 选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A.，故不是最简二次根式，不符合题意；
B.，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.，故不是最简二次根式，不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；熟练掌握最简二次根式必须满足的两个条件是解题的关键．
2. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
3.如图，在平行四边形中，于点，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得，又因为，可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，还考查了垂直的定义与三角形内角和定理．题目比较简单，解题时要细心．
4.如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（　　）

A. 5m B. 10m C. 20m D. 40m
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴AB=2CD=20（m），
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5. ☑ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴．若点A坐标为(-1，2)，则点C的坐标为（ ）
A. (1，-2) B. (2，-1) C. (1，-3) D. (2，-3)
【答案】A
【解析】
【分析】平行四边形的对角线互相平分；根据平行四边形的性质得出四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，根据关于原点对称的图形的特点求出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，
又∵平行四边形ABCD的对角线交点在坐标原点，
∴A和C关于O对称，
∵点A的坐标为（-1，2），
∴点C的坐标为（1，-2），
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，解题关键是熟练掌握性质.
6.如图，直线l上有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为12和5，则B的面积为（　　）

A. 7 B. 13 C. 17 D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】如图：根据正方形的性质可得,，再根据直角三角形的两锐角互余可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据勾股定理可得，最后根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，由题意得：，
∴，
，
在和中，
，
，
∴，
在中，，
则正方形B的面积为13．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．
9. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：由，得
，
解得．
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故选：A．
10. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ABD=60°，那么∠BAE的度数是（　　）

A．40° B．55° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，又可得∠E=∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数．
【详解】解：连接AC，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，
∴∠E=∠DAE，∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-60°=30°，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°．
∴∠BAE=90°-15°=75°，
故选C．
【点睛】本题考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
9.如图，在矩形中ABCD中，AB＝8，BC=6，将矩形沿BD折叠，点C落在点C'处，则重叠部分△BDF的面积是（　　）

A．95 B．12 C．165 D．754
【答案】D
【分析】根据翻折的性质可得DF＝BF，在Rt△BC′F中利用勾股定理求BF，进而求解面积．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝8，
∵矩形沿BD折叠，点C落在点C′处，
∴∠C′＝∠C＝90°，DC＝DC′＝8，BC＝BC′＝6，∠CDB＝∠C′DB，
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠C′DB＝∠ABD，
∴FD＝FB．
∴AF=C′F=8−BF,
Rt△BC′F中，BC′2＋C′F2＝BF2，即62＋（8−BF）2＝BF2，
解得BF＝254，
∴S△BDF＝12×BF×AD＝12×254×6＝754，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，解题的关键是利用翻折的性质，对应边和对应角相等，结合平行线性质和勾股定理进行求解．
10.如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边上的动点，且．连接，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于点，延长到点，使，根据菱形的性质和勾股定理可得，以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，，，然后证明，可得，连接，，，由，可得，，三点共线时，取最小值，但此时点不在线段上，故当点与点C重合时时，取最小值，据此求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积为20，边长为5，
，
在中，根据勾股定理得：
，
以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，

，，，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
连接，，，
，
，，三点共线时，取最小值，但此时点不在线段上，
当点与点C重合时时，取最小值，如下图，

由题意得
，
，

的最小值．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，图形与坐标，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．）
11.已知直角三角形两边长分别为4和5，则第三边长为___________．
【答案】3或
【解析】
【分析】已知直角三角形两边没有明确是直角边还是斜边，分两种情况讨论．4和5分别是直角边和斜边时以及4和5都是直角边时进行求解即可．
【详解】解：①长为4的边是直角边，长为5的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为4、5的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：3或，
故答案为：3或．
【点睛】本题主要考查了直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，分类讨论．
13. 若，化简：___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质得到原式＝|2−m|−|m−8|，然后根据绝对值的意义去绝对值后合并即可．
【详解】解：原式＝|2−m|−|m−8|，
∵2＜m＜8，
∴原式＝−（2−m）＋（m−8）
＝−2＋m＋m−8
＝2m−10．
故答案为2m−10．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了绝对值的意义．
13.如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为_______．

【答案】6
【解析】
【分析】如图，连接，过点作，证明，从而得到、、在一条直线上，在类比赵爽弦图可得，，，现只需求出边的长度即可计算面积．
【详解】如图，连接，过点作，

∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴
∴
在与中：
∴（AAS）
∴
又∵是正方形，
∴，，
∴，
∴是平行四边形，
∴
∴、、一条直线上，
故：也是直角三角形且，由四边形是正方形，是正方形，是正方形，、是全等的三角形，类比赵爽弦图已知，即可证明（此处证明略）
则：
∵，
∴
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题是考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
14.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形．若点A的坐标是（3，4），则菱形的周长为_______．

【答案】20
【解析】
【分析】如图所示，过A作AE⊥x轴于点E，利用勾股定理求出OA的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过A作AE⊥x轴于点E，

∵点A的坐标是（3，4），
∴OE=3，AE=4．
∴AO= =5，
∵四边形AOBC是菱形，
∴AO=OC=AB=BC=5，
∴菱形的周长=4AB=20，
故答案为20．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出OA的长．
16. 正方形ABCD中，AB＝6 ，点E在边CD上，CE＝2DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；② S△FGC= 6；③EG＝DE＋BG；④BG＝GC．其中正确的有___（填序号）．

【答案】①③④
【分析】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点； GF=3，EF=ED=2，△GFC和△FCE等高，则S△GFC：S△FCE=3：2，由此即可求解．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AF，AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），所以①正确；
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，
∵CG2+CE2=GE2，
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，
∴BG=GF=3，CG=6﹣3=3
∴BG=CG，所以④正确；
∵EF=ED，GB=GF，
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；
∵S△GCE=12GC•CE=12×3×4=6
∵GF=3，EF=ED=2，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FCE=3：2，
∴S△GFC=35×6=185≠3．
故②不正确．
故答案为：①③④．
;
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分75分．解答写在答题卡上）
16.（8分）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】
解：


．
17.（7分）已知点E、F为▱ABCD对角线AC上的两点，AE=CF，

求证：四边形BFDE是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形性质可判断出AB=DC,∠BAC=∠DCA，再结合题目条件即可证明△ABF≅△CDE，得出ED=FB；接着证明△BAE≅△DCF，得出BE=DF，即可证明结果．
【详解】证明：∵AE=CF
∴AF=CE
又∵ABCD是平行四边形
∴AB=DC
∵AB∥DC
∴∠BAC=∠DCA
∴△ABF≅△CDESAS
∴ED=FB
∵AB=DC ，∠BAC=∠DCA
又∵AE=CF
∴△BAE≅△DCF
∴BE=DF
∴四边形BFDE是平行四边形.．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，平行四边形性质，平行四边形的判定方法，熟悉掌握相关知识点是解题关键．
18.（8分）如图所示，在一棵树的10米高的处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的处．另一只猴子爬到树顶处后顺绳子滑到处，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高．

【答案】这棵树的高为15米
【解析】
【分析】设树高为x米，则可用x分别表示出CD，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得x的值．
【详解】解：设树高为米，由题意得，米，米，米，米，
在中， ．
∵两只猴子所经过的距离相等，，
即，解得：，即树高米．
答：这棵树的高为米．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出CD，利用勾股定理得到方程是解题的关键．
19.（10分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC=25，AC=4，求OE的长；
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线得出∠ADB=∠ABD，证出AD=AB，由AB=BC得出AD=BC，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=12AC=2，在RtΔOCD中，由勾股定理得OD=4，得出BD=2OD=8，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=12AC=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=CD2−OC2=4，
∴BD=2OD=8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵OB=OD，
∴OE=12BD=4．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质．
20.（8分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．

求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
所以四边形ABEF为所求作的菱形．
（1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明；
证明：∵，
∴______=______
在□ABCD中，，
即
∴四边形ABEF为平行四边形
（______）（填推理的依据）
∵
∴四边形ABEF为菱形
（______）（填推理的依据）
【答案】（1）作图见解析
（2）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据平行四边形的判定定理和菱形的判定定理证明即可；
【小问1详解】
作图如下：
【小问2详解】
∵，
∴，
在□ABCD中，，
即
∴四边形ABEF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵
∴四边形ABEF为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故答案是：；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；
【点睛】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的判定，菱形的判定，准确分析证明是解题的关键．
21.（9分）如图，在平面直角坐标系中，长方形纸片的边在x轴的正半轴上，点D与点O重合，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，D两点重合，折痕为．

（1）求证：；
（2）求的长；
（3）求折痕的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
（3）
【解析】
【分析】（1）由可得，又由折叠的性质可得：，即可证得，即可；
（2）根据点B坐标为，可得，设，则，在中，根据勾股定理可求出x的值，即可；
（3）由（2）可得，可求得点E，F的坐标，即可求得折痕的长．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵点B坐标为，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
【小问3详解】
解：由（2）得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
22.（12分）如图，在正方形中，点E在的延长线上，分别交于F，G，点H为的中点．

（1）若，则＝　　；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质得到，由即可证明，即可得到答案；
（2）由正方形的性质得到，，则，得到是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质得到 ，利用角之间的关系进一步证明，即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴,
∵，
∴，
∴，
故答案为：20
【小问2详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴是直角三角形，
∵点H为中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质、等边对等角等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键
23. 如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．

（1）求证：；
（2）连接，则的值为__________；
（3）连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点，并连接，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明，即可得出结论；
（2）连接后，由点，分别为，的中点，推出为的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可；
（3）结合（1）的结论，可得到，从而考虑运用“半角”模型，因此延长至点，使得，连接，运用两次基础全等证明即可得出结论．
【小问1详解】
证明：如图所示，取的中点，并连接，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵正方形外角的平分线为，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵点，分别为，中点，
∴为的中位线，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
故答案：；
【小问3详解】
解：，理由如下：
如图所示，延长至点，使得，连接，
由正方形基本性质得：，，
∴，
∴，，
由（1）知，，且，
∴，
∴，
∴，即：，
在和中，

∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键．