安徽省滁州市凤阳县2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题(解析版)

凤阳县2022-2023学年九年级上学期12月月考

数学试题

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    如果是关于的二次函数，则的取值范围是(       )

A.  B.  C. 且 D. 全体实数

2.    如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则函数的图象可能为(      )

A. B. C. D.

3.    已知某二次函数，当时，随的增大而减小当时，随的增大而增大，则该二次函数的解析式可能是(         )

A.  B.  C.  D.

4.    已知二次函数的图象开口向上，并经过点，下列结论正确的是(        )

A. 当时，函数值随的增大而增大
B. 当时，函数值随的增大而减小
C. 存在一个负数，使得当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大
D. 存在一个正数，使得当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大

5.    如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面米，最高点距灯柱的水平距离为米，灯柱为米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米．(         )
    

A.  B.  C.  D.

6.    二次函数的对称轴是，图象如图所示，下面四个结论：；；；其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，矩形的边轴，顶点在反比例函数上，点、在反比例函数上，则矩形的面积为(        )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则(         )

A.               

B.    

C.               

D.

9.    如图，已知双曲线的一支经过的顶点，交边于点，平分交于点，若，，则的值为(          )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在▱中，延长至点，使，连接交于点，交于点，则的值是(         )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 已知函数是关于的二次函数，则的值为____．
12. 如图，点是抛物线上不与原点重合的动点，轴于点，过点作的垂线并延长交轴于点，连结，则线段的长是______，的最小值是______．
13. 如图，，两点在函数图象上，垂直轴于点，垂直轴于点，，面积分别记为，，则 ______ 填“”，“”，或“”．
14. 如图，已知点、分别在边、上，，，那么：          ．
     

三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，．
    作出关于轴对称的图形；
    以原点为位似中心，在轴的左侧画出，使它与原三角形相似比为：；
    求的面积．

16. 本小题分

已知函数．

若这个函数是二次函数，求的取值范围

若这个函数是一次函数，求的值

这个函数可能是正比例函数吗为什么

17. 本小题分
    已知二次函数．
    用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向；
    在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象．

18. 本小题分
    已知一次函数的图像上有两点，它们的横坐标分别是，，若二次函数的图像经过 两点。
    请求出一次函数的表达式；
    设二次函数的顶点为，求的面积。

19. 本小题分

如图，在矩形中，点，分别在，上，连结，，且．

求证：．

连结，，线段是线段与的比例中项．

若，求线段的长．

求证：∽．

20. 本小题分
    如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，．
    求，，的值

求的面积

若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由．

21. 本小题分
    材料：如图，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．
    
    材料：如图，某一同类型悬索桥，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为；
    
    为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如图：
    
    甲同学：以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系；
    乙同学：如图，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系；
    
    丙同学：以点为原点，平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系．
    
    请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点的坐标，并求出主索抛物线的表达式；
    距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？

22. 本小题分
    如图，在平行四边形中，对角线，交于点为中点，连接交于点，且．
    求证：∽

求的长．

23. 本小题分

如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点．

求该抛物线的解析式和顶点的坐标；

设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大；

如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1. 【解析】是关于的二次函数，
，解得：．故选：．
2. 【解析】一次函数与二次函数图象相交于、两点，
方程有两个不相等的根，
函数与轴有两个交点，
，
函数的对称轴，
，开口向上，与轴交点在正半轴．故选：．

3. 【解析】当时，随的增大而减小当时，随的增大而增大，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
抛物线满足条件．

4. 【解析】根据二次函数的图象开口向上，并经过点，．
将代入函数解析式得：，
将代入函数解析式得：，
得：，解得：，
又抛物线开口向上，可得，
，
则函数的对称轴．
所以、、不正确；D正确．故选：．
5. 【解析】如图所示，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，

根据题意知，抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得舍或，
所以茶几到灯柱的距离为米，故选：．  

6. 【解析】由图象知，抛物线与轴有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
，故正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为，
，
，
由图象知，抛物线开口方向向下，
，
，
，而抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
，
，故正确，
由图象知，当时，，
，故错误，
即正确的结论有个，故选：．
7. 【解析】设点坐标为，
轴，且在反比例函数上，
，
轴，且在反比例函数上，
，
．故选：．

8. 【解析】过点作交于，
则，
是的中线，
，
，
，
，
，故选：．
9. 【解析】连接、，作轴于，轴于，

，，
，

平分交于点，
，

在和中，
 

，
，

，
，

轴，轴，
，
∽，

，
，

设，则，

，

，
 ，解得．

10. 【解析】四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，故选：．
11. 

【解析】根据题意得：，

解得：．

故答案是：．

12.， 

【解析】设点，则点坐标为，
，，
，，
，
，
∽，
，
，即，
解得，
，
，
当时，为最小值，即．
故答案为：，．
13. 

【解析】解：由反比例函数系数的几何意义得，
，
故答案为：
14. 

【解析】，
：：，
，
∽，
，
：：．
和的高相同，设这个高为，
：，
故答案为：．
15.解：如图，为所作；
如图，为所作；

的面积． 

16.解：函数，若这个函数是二次函数，则，解得且

若这个函数是一次函数，则，，解得．

这个函数不可能是正比例函数当此函数是一次函数时，，而此时

17.解：，
该函数图象的顶点坐标为，对称轴是直线，图象的开口向上；
，
当时，，当时，，
该函数过点，，，
函数图象如右图所示． 

18.解：设点坐标为；点坐标为．
、两点在的图象上，
，
．
，
、两点又在的图象上，
．
解得．
一次函数的表达式是．
如下图，
设直线与轴的交点为，则点坐标为．
．


． 

19.证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
；
解：如图，

由可知，≌，
，
，
线段是线段与的比例中项，
，
，
，
负值舍去
证明：线段是线段与的比例中项，
，
，
，
∽． 

20.解：把，分别代入，得，．

，在图象上，

解得，．

设直线与轴交于点，当时，，

．

．

点在第三象限，点在第一象限．

若，点，在第三象限分支上，则，不合题意

若，点、在第一象限分支上，则，不合题意

若，点在第三象限，点在第一象限，则，符合

题意．

21.解：当选择甲同学的坐标系时，
由图可知，点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
由题意可知，点坐标为，点坐标为，
，
解得，
主索抛物线的表达式为；
时，，此时吊索的长度为，
由抛物线的对称性可得，时，此时吊索的长度也为，
同理，时，，此时吊索的长度为，
时，此时吊索的长度也为，
米，
四根吊索的总长度为米．
当选择乙同学的坐标系时，
由图可知，点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
由题意可知，点坐标为，点坐标为
，
解得．
主索抛物线的表达式为；
时，，此时吊索的长度为，
由抛物线的对称性可得，时，此时吊索的长度也为，
同理，时，，此时吊索的长度为，
时，此时吊索的长度也为，
米，
四根吊索的总长度为米．
当选择丙同学的坐标系时，
由图可知，点的坐标为，
设抛物线的表达式为
，
解得，
主索抛物线的表达式为；
时，，此时吊索的长度为，
由抛物线的对称性可得，时，此时吊索的长度也为，
同理，时，，此时吊索的长度为，
时，此时吊索的长度也为，
米，
四根吊索的总长度为米． 

22.证明：四边形是平行四边形，
，
，
∽．
解：为中点，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
的长为． 

23.解：抛物线的图象经过点，
，
解得，
抛物线的解析式是，
顶点的坐标是；
令，
解得，，
，．
点的横坐标是，
，
连结，如图所示：

四边形的面积的面积的面积
，
当时，四边形的面积最大；
平行四边形以为边时，
点的坐标是，如图所示，

，
，
整理得，解得：，，
此时点的坐标是，；
 点的坐标是， ，如图所示，

，得：，则，
整理得，，解得：，不合题意，舍去，
此时点的坐标是；
平行四边形以为对角线时，如图所示，

根据平行四边形的对角线相互平分可知，
，中点坐标为，
，中点坐标也为，
点，
点坐标为：
点在图象上，
，
，
解得：， 不合题意，舍去，
此时点的坐标是
综上所述，满足条件的点坐标为：，，和．