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江苏省苏州市吴江区梅震平教育集团2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷
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这是一份江苏省苏州市吴江区梅震平教育集团2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市吴江区梅震平教育集团七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．）
1．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．1+a2＝a3 B．2a2﹣a2＝2
C．（ab2）2＝a2b4 D．（a+b）2＝a2+b2
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、5cm B．1cm、3cm、5cm
C．2cm、3cm、6cm D．5cm、6cm、11cm
4．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．y2﹣x2+2xy B．y2+x2+xy C．25y2+15y+9 D．4x2+9﹣12x
5．已知是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣5 C．﹣3 D．5
6．（﹣8）2018+（﹣8）2017能被下列哪个数整除？（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
7．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝（ ）时，CD∥AB．
A．90° B．120°或60° C．150°或30° D．135°或45°
8．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
则（a+b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048 B．1024 C．512 D．256
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
9．（ ）3＝8m6．
10．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为 m．
11．如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数是 ．
12．＝ ．
13．已知方程组，则x﹣y的值为 ．
14．因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣1），乙看错了b，分解的结果是（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b因式分解正确的结果是 ．
15．如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边在AB的两侧作正方形，设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中阴影部分面积为 ．
16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．．）
17．计算或求值：
（1）（﹣3）0﹣（）﹣2．
（2）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+2x（x﹣3），其中x2﹣2x﹣3＝0．
（3）①已知am＝3，an＝4，求a2m+n的值；②已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
18．分解因式：
（1）x2﹣8x+16；
（2）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）；
（3）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24．
19．解方程组：．
20．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）再在图中画出△ABC的高CD；
（3）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有 个（点P异于A）
21．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足方程2x﹣y＝8，求a的值．
22．已知：如图，∠1＝∠C，∠E＝∠B．
（1）判断AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若AB⊥AC于点A，∠1＝36°，求∠E的度数．
23．你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ ；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝
（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；
②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？
24．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM．
（2）若△ABC，△DEF如图2摆放时，求∠PDE的度数．
（3）若图2中△ABC固定．将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点（如图3），求∠GHF的度数．
（4）若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请求出旋转的时间．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．）
1．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．
解：观察图形可知，B图案不能通过平移图案得到．
故选：B．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
2．下列计算正确的是（ ）
A．1+a2＝a3 B．2a2﹣a2＝2
C．（ab2）2＝a2b4 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】利用合并同类项，积的乘方，完全平方公式计算并判断．
解：A．1+a2不能合并了，选项A不符合题意；
B．2a2﹣a2＝a2，选项B不符合题意；
C．（ab2）2＝a2b4，选项C符合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，积的乘方以及完全平方公式，掌握相关的法则是解题的关键．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、5cm B．1cm、3cm、5cm
C．2cm、3cm、6cm D．5cm、6cm、11cm
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
解：根据三角形的三边关系，得
A、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、1+3＜5，不能组成三角形，故此选项不合题意；
C、2+3＝5＜6，不能组成三角形，故此选项不合题意；
D、6+5＝11，不能组成三角形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．y2﹣x2+2xy B．y2+x2+xy C．25y2+15y+9 D．4x2+9﹣12x
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
解：由完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2
4x2+9﹣12x＝（2x﹣3）2
故选：D．
【点评】本题考查了公式法分解因式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
5．已知是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣5 C．﹣3 D．5
【分析】将代入2x+my＝1，即可转化为关于m的一元一次方程，解答即可．
解：将代入2x+my＝1，
得4﹣m＝1，
解得m＝3．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，对方程解的理解，直接代入方程求值即可．
6．（﹣8）2018+（﹣8）2017能被下列哪个数整除？（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【分析】首先提公因式（﹣8）2017，进而可得答案．
解：（﹣8）2018+（﹣8）2017＝（﹣8）2017×（﹣8+1）＝7×82017；
能被7乘除，
故选：C．
【点评】此题主要考查了因式分解，关键是正确确定公因式．
7．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝（ ）时，CD∥AB．
A．90° B．120°或60° C．150°或30° D．135°或45°
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
8．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
则（a+b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048 B．1024 C．512 D．256
【分析】根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n，求出系数之和即可．
解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，
当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，
当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，
当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23
…
由此可知（a+b）n展开式的各项系数之和为2n，
则（a+b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024，
故选：B．
【点评】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
9．（ 2m2 ）3＝8m6．
【分析】根据积的乘方运算，可得答案．
解：8m6＝23（m2）3＝（2m2）3，
故答案为：2m2．
【点评】本题考查了积的乘方，先化成指数相同的幂的乘法，再进行积的乘方运算．
10．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为 7×10﹣9 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：则7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．
故答案为：7×10﹣9．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
解：多边形的边数是：＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
12．＝ ．
【分析】根据积的乘方公式进行简化运算即可．
解：
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方公式是解题的关键．
13．已知方程组，则x﹣y的值为 ﹣1 ．
【分析】把两式相减，从而可求解．
解：，
①﹣②得：4x﹣4y＝﹣4，
∴x﹣y＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是分析清楚所求的式子与所给的式子的关系．
14．因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣1），乙看错了b，分解的结果是（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b因式分解正确的结果是 （x﹣3）（x+2） ．
【分析】根据x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解特点即可得出答案．甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），而b值不错可求出b的准确值，同理求出a的准确值后再分解因式．
解：因为甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1）＝x2+5x﹣6，
所以b＝﹣6，
又因为乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
所以a＝﹣1，
所以x2+ax+b＝x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）．
故答案为：（x﹣3）（x+2）．
【点评】主要考查了二次三项式的分解因式．解题的关键是掌握此类式子的特点．
15．如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边在AB的两侧作正方形，设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中阴影部分面积为 4 ．
【分析】设AC＝m，BC＝n，根据正方形面积公式表示S1＝m2，S2＝n2，根据完全平方公式变形可得答案．
解：设AC＝m，BC＝n，
则S1＝m2，S2＝n2，
所以S1+S2＝m2+n2＝20，
因为AB＝6，
所以m+n＝6，
所以（m+n）2＝36，
所以m2+n2+2mn＝36，
所以2mn＝36﹣20＝16，
所以mn＝8，
所以S△BCD＝mn＝4．
故图中阴影部分的面积为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，完全平方公式．熟记公式是解题的关键．
16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为 1 ．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ACD的面积，然后根据S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE计算即可得解．
解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝6，
∴S△AEC＝S△ABC＝×6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△ACD＝S△ABC＝4，
∴S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE＝4﹣3＝1，
即S1﹣S2的值为1．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．
三、解答题（本大题共8小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．．）
17．计算或求值：
（1）（﹣3）0﹣（）﹣2．
（2）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+2x（x﹣3），其中x2﹣2x﹣3＝0．
（3）①已知am＝3，an＝4，求a2m+n的值；②已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
【分析】（1）先计算零次幂和负整数指数幂，再计算加减．
（2）直接利用平方差公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而结合已知整体代入得出答案；
（3）①利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可；
②利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可．
解：（1）（﹣3）0﹣（）﹣2
＝1﹣9
＝﹣8；
（2）（x+1）（x﹣1）+2x（x﹣3）
＝x2﹣1+2x2﹣6x
＝3x2﹣6x﹣1，
∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴原式＝3（x2﹣2x）﹣1
＝3×3﹣1
＝9﹣1
＝8；
（3）①a2m+n
＝a2m•an
＝（am）2•an
＝32×4
＝9×4
＝36；
②∵9n+1﹣32n＝72，
∴9n×9﹣9n＝72，
8×9n＝72，
∴n＝1．
【点评】（1）考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法；
（2）考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键；
（3）考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，做题关键是掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则．
18．分解因式：
（1）x2﹣8x+16；
（2）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）；
（3）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24．
【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式（2x﹣y），再利用平方差公式分解因式即可；
（3）直接利用十字相乘法得出答案．
解：（1）x2﹣8x+16＝（x﹣4）2；
（2）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）
＝9a2（2x﹣y）﹣（2x﹣y）
＝（2x﹣y）（9a2﹣1）
＝（2x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）；
（3）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24
＝（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24
＝（y2﹣y﹣2）（y2﹣y﹣12）
＝（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，正确运用十字相乘法分解因式是解题关键．
19．解方程组：．
【分析】利用加减消元法求解即可．
解：，
①×2，得8x﹣6y＝12③，
②﹣③，得﹣y＝6，
解得y＝﹣6，
将y＝﹣6代入①，得4x+18＝6，
解得x＝﹣3，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程的一般步骤．
20．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）再在图中画出△ABC的高CD；
（3）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有 4 个（点P异于A）
【分析】（1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点A'、B'、C'，然后顺次连接；
（2）过点C作CD⊥AB的延长线于点D；
（3）利用平行线的性质过点A作出BC的平行线进而得出符合题意的点．
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示：CD即为所求；
（3）如图所示：能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有4个．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P点位置是解题关键．
21．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足方程2x﹣y＝8，求a的值．
【分析】根据题意得到二元一次方程组，解方程组求出x、y，代入计算，得到答案．
解：由题意得，，
解得，，
则2×3﹣3×（﹣2）＝7a﹣9，
解得，a＝3．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解和解法，掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
22．已知：如图，∠1＝∠C，∠E＝∠B．
（1）判断AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若AB⊥AC于点A，∠1＝36°，求∠E的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定得出AB∥DE，根据平行线的性质得出∠E＝∠EDC，求出∠B＝∠EDC，根据平行线的判定得出即可；
（2）求出∠BAE度数，根据平行线的性质即可求出∠E．
解：（1）AB∥DE，
理由如下：
∵∠1＝∠C，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠EDC，
又∵∠E＝∠B，
∴∠B＝∠EDC，
∴AB∥DE；
（2）∵AB⊥AC，∠1＝36°，
∴∠BAE＝126°，
∵AB∥DE，
∴∠E+∠BAE＝180°，
∴∠E＝54°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
23．你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ a4﹣1 ；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ a100﹣1
（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；
②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果；
（2）利用得出的结果将原式变形，计算即可得到结果．
解：（1）a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
（2）①（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，由于2﹣1＝1，
则2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；
②∵a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，
∴a6＝1．
【点评】此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
24．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM．
（2）若△ABC，△DEF如图2摆放时，求∠PDE的度数．
（3）若图2中△ABC固定．将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点（如图3），求∠GHF的度数．
（4）若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请求出旋转的时间．
【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（4）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为2分钟转半圈，即每秒转1.5°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
解：（1）如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，
∵ED平分∠PEF，
∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，
∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，
∴∠MFD＝∠DFE，
∴FD平分∠EFM；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，
∵∠BAC＝45°，
∴∠KEA＝∠BAC＝45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，
∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，
又∵∠DEF＝60°．
∴∠PDE＝60°−45°＝15°；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，
∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，
∴∠QGF+∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，
∵∠DFE＝30°，
∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，
∴∠HFA＝∠GFA＝75°，
∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，
∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，
∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝（180°−105°）＝37.5°，
∴∠GHF＝∠RHG+∠RHF＝37.5°+30°＝67.5°；
（4）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为2分钟转半圈，即每秒转1.5°，
分三种情况：
①当BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，
∴∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴1.5t＝30，
解得：t＝20；
②当BC∥EF时，如图6，
∵BC∥EF，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE+∠EAM＝45°+45°＝90°，
∴1.5t＝90，
解得：t＝60；
③当BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，
∵PQ//MN，∠PDE＝15°，∠EDF＝90°，
∴∠DRM+（∠PDE+∠EDF）＝180°
∴∠DRM＝75°，
∵BC//DF，
∴∠BKA＝∠DRM＝75°，
∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，
∴∠CAK＝90°−∠BKA＝90°−75°＝15°，
∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，
∴1.5t＝120，
解得：t＝80．
【点评】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．
2022-2023学年江苏省苏州市吴江区梅震平教育集团七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．）
1．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．1+a2＝a3 B．2a2﹣a2＝2
C．（ab2）2＝a2b4 D．（a+b）2＝a2+b2
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、5cm B．1cm、3cm、5cm
C．2cm、3cm、6cm D．5cm、6cm、11cm
4．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．y2﹣x2+2xy B．y2+x2+xy C．25y2+15y+9 D．4x2+9﹣12x
5．已知是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣5 C．﹣3 D．5
6．（﹣8）2018+（﹣8）2017能被下列哪个数整除？（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
7．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝（ ）时，CD∥AB．
A．90° B．120°或60° C．150°或30° D．135°或45°
8．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
则（a+b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048 B．1024 C．512 D．256
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
9．（ ）3＝8m6．
10．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为 m．
11．如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数是 ．
12．＝ ．
13．已知方程组，则x﹣y的值为 ．
14．因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣1），乙看错了b，分解的结果是（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b因式分解正确的结果是 ．
15．如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边在AB的两侧作正方形，设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中阴影部分面积为 ．
16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．．）
17．计算或求值：
（1）（﹣3）0﹣（）﹣2．
（2）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+2x（x﹣3），其中x2﹣2x﹣3＝0．
（3）①已知am＝3，an＝4，求a2m+n的值；②已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
18．分解因式：
（1）x2﹣8x+16；
（2）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）；
（3）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24．
19．解方程组：．
20．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）再在图中画出△ABC的高CD；
（3）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有 个（点P异于A）
21．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足方程2x﹣y＝8，求a的值．
22．已知：如图，∠1＝∠C，∠E＝∠B．
（1）判断AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若AB⊥AC于点A，∠1＝36°，求∠E的度数．
23．你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ ；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝
（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；
②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？
24．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM．
（2）若△ABC，△DEF如图2摆放时，求∠PDE的度数．
（3）若图2中△ABC固定．将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点（如图3），求∠GHF的度数．
（4）若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请求出旋转的时间．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．）
1．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．
解：观察图形可知，B图案不能通过平移图案得到．
故选：B．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
2．下列计算正确的是（ ）
A．1+a2＝a3 B．2a2﹣a2＝2
C．（ab2）2＝a2b4 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】利用合并同类项，积的乘方，完全平方公式计算并判断．
解：A．1+a2不能合并了，选项A不符合题意；
B．2a2﹣a2＝a2，选项B不符合题意；
C．（ab2）2＝a2b4，选项C符合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，积的乘方以及完全平方公式，掌握相关的法则是解题的关键．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、5cm B．1cm、3cm、5cm
C．2cm、3cm、6cm D．5cm、6cm、11cm
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
解：根据三角形的三边关系，得
A、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、1+3＜5，不能组成三角形，故此选项不合题意；
C、2+3＝5＜6，不能组成三角形，故此选项不合题意；
D、6+5＝11，不能组成三角形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．y2﹣x2+2xy B．y2+x2+xy C．25y2+15y+9 D．4x2+9﹣12x
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
解：由完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2
4x2+9﹣12x＝（2x﹣3）2
故选：D．
【点评】本题考查了公式法分解因式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
5．已知是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣5 C．﹣3 D．5
【分析】将代入2x+my＝1，即可转化为关于m的一元一次方程，解答即可．
解：将代入2x+my＝1，
得4﹣m＝1，
解得m＝3．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，对方程解的理解，直接代入方程求值即可．
6．（﹣8）2018+（﹣8）2017能被下列哪个数整除？（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【分析】首先提公因式（﹣8）2017，进而可得答案．
解：（﹣8）2018+（﹣8）2017＝（﹣8）2017×（﹣8+1）＝7×82017；
能被7乘除，
故选：C．
【点评】此题主要考查了因式分解，关键是正确确定公因式．
7．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝（ ）时，CD∥AB．
A．90° B．120°或60° C．150°或30° D．135°或45°
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
8．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
则（a+b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048 B．1024 C．512 D．256
【分析】根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n，求出系数之和即可．
解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，
当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，
当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，
当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23
…
由此可知（a+b）n展开式的各项系数之和为2n，
则（a+b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024，
故选：B．
【点评】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
9．（ 2m2 ）3＝8m6．
【分析】根据积的乘方运算，可得答案．
解：8m6＝23（m2）3＝（2m2）3，
故答案为：2m2．
【点评】本题考查了积的乘方，先化成指数相同的幂的乘法，再进行积的乘方运算．
10．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为 7×10﹣9 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：则7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．
故答案为：7×10﹣9．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
解：多边形的边数是：＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
12．＝ ．
【分析】根据积的乘方公式进行简化运算即可．
解：
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方公式是解题的关键．
13．已知方程组，则x﹣y的值为 ﹣1 ．
【分析】把两式相减，从而可求解．
解：，
①﹣②得：4x﹣4y＝﹣4，
∴x﹣y＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是分析清楚所求的式子与所给的式子的关系．
14．因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣1），乙看错了b，分解的结果是（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b因式分解正确的结果是 （x﹣3）（x+2） ．
【分析】根据x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解特点即可得出答案．甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），而b值不错可求出b的准确值，同理求出a的准确值后再分解因式．
解：因为甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1）＝x2+5x﹣6，
所以b＝﹣6，
又因为乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
所以a＝﹣1，
所以x2+ax+b＝x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）．
故答案为：（x﹣3）（x+2）．
【点评】主要考查了二次三项式的分解因式．解题的关键是掌握此类式子的特点．
15．如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边在AB的两侧作正方形，设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中阴影部分面积为 4 ．
【分析】设AC＝m，BC＝n，根据正方形面积公式表示S1＝m2，S2＝n2，根据完全平方公式变形可得答案．
解：设AC＝m，BC＝n，
则S1＝m2，S2＝n2，
所以S1+S2＝m2+n2＝20，
因为AB＝6，
所以m+n＝6，
所以（m+n）2＝36，
所以m2+n2+2mn＝36，
所以2mn＝36﹣20＝16，
所以mn＝8，
所以S△BCD＝mn＝4．
故图中阴影部分的面积为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，完全平方公式．熟记公式是解题的关键．
16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为 1 ．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ACD的面积，然后根据S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE计算即可得解．
解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝6，
∴S△AEC＝S△ABC＝×6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△ACD＝S△ABC＝4，
∴S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE＝4﹣3＝1，
即S1﹣S2的值为1．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．
三、解答题（本大题共8小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．．）
17．计算或求值：
（1）（﹣3）0﹣（）﹣2．
（2）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+2x（x﹣3），其中x2﹣2x﹣3＝0．
（3）①已知am＝3，an＝4，求a2m+n的值；②已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
【分析】（1）先计算零次幂和负整数指数幂，再计算加减．
（2）直接利用平方差公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而结合已知整体代入得出答案；
（3）①利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可；
②利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可．
解：（1）（﹣3）0﹣（）﹣2
＝1﹣9
＝﹣8；
（2）（x+1）（x﹣1）+2x（x﹣3）
＝x2﹣1+2x2﹣6x
＝3x2﹣6x﹣1，
∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴原式＝3（x2﹣2x）﹣1
＝3×3﹣1
＝9﹣1
＝8；
（3）①a2m+n
＝a2m•an
＝（am）2•an
＝32×4
＝9×4
＝36；
②∵9n+1﹣32n＝72，
∴9n×9﹣9n＝72，
8×9n＝72，
∴n＝1．
【点评】（1）考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法；
（2）考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键；
（3）考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，做题关键是掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则．
18．分解因式：
（1）x2﹣8x+16；
（2）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）；
（3）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24．
【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式（2x﹣y），再利用平方差公式分解因式即可；
（3）直接利用十字相乘法得出答案．
解：（1）x2﹣8x+16＝（x﹣4）2；
（2）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）
＝9a2（2x﹣y）﹣（2x﹣y）
＝（2x﹣y）（9a2﹣1）
＝（2x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）；
（3）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24
＝（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24
＝（y2﹣y﹣2）（y2﹣y﹣12）
＝（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，正确运用十字相乘法分解因式是解题关键．
19．解方程组：．
【分析】利用加减消元法求解即可．
解：，
①×2，得8x﹣6y＝12③，
②﹣③，得﹣y＝6，
解得y＝﹣6，
将y＝﹣6代入①，得4x+18＝6，
解得x＝﹣3，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程的一般步骤．
20．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）再在图中画出△ABC的高CD；
（3）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有 4 个（点P异于A）
【分析】（1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点A'、B'、C'，然后顺次连接；
（2）过点C作CD⊥AB的延长线于点D；
（3）利用平行线的性质过点A作出BC的平行线进而得出符合题意的点．
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示：CD即为所求；
（3）如图所示：能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有4个．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P点位置是解题关键．
21．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足方程2x﹣y＝8，求a的值．
【分析】根据题意得到二元一次方程组，解方程组求出x、y，代入计算，得到答案．
解：由题意得，，
解得，，
则2×3﹣3×（﹣2）＝7a﹣9，
解得，a＝3．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解和解法，掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
22．已知：如图，∠1＝∠C，∠E＝∠B．
（1）判断AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若AB⊥AC于点A，∠1＝36°，求∠E的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定得出AB∥DE，根据平行线的性质得出∠E＝∠EDC，求出∠B＝∠EDC，根据平行线的判定得出即可；
（2）求出∠BAE度数，根据平行线的性质即可求出∠E．
解：（1）AB∥DE，
理由如下：
∵∠1＝∠C，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠EDC，
又∵∠E＝∠B，
∴∠B＝∠EDC，
∴AB∥DE；
（2）∵AB⊥AC，∠1＝36°，
∴∠BAE＝126°，
∵AB∥DE，
∴∠E+∠BAE＝180°，
∴∠E＝54°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
23．你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ a4﹣1 ；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ a100﹣1
（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；
②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果；
（2）利用得出的结果将原式变形，计算即可得到结果．
解：（1）a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
（2）①（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，由于2﹣1＝1，
则2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；
②∵a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，
∴a6＝1．
【点评】此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
24．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM．
（2）若△ABC，△DEF如图2摆放时，求∠PDE的度数．
（3）若图2中△ABC固定．将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点（如图3），求∠GHF的度数．
（4）若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请求出旋转的时间．
【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（4）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为2分钟转半圈，即每秒转1.5°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
解：（1）如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，
∵ED平分∠PEF，
∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，
∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，
∴∠MFD＝∠DFE，
∴FD平分∠EFM；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，
∵∠BAC＝45°，
∴∠KEA＝∠BAC＝45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，
∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，
又∵∠DEF＝60°．
∴∠PDE＝60°−45°＝15°；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，
∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，
∴∠QGF+∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，
∵∠DFE＝30°，
∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，
∴∠HFA＝∠GFA＝75°，
∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，
∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，
∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝（180°−105°）＝37.5°，
∴∠GHF＝∠RHG+∠RHF＝37.5°+30°＝67.5°；
（4）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为2分钟转半圈，即每秒转1.5°，
分三种情况：
①当BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，
∴∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴1.5t＝30，
解得：t＝20；
②当BC∥EF时，如图6，
∵BC∥EF，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE+∠EAM＝45°+45°＝90°，
∴1.5t＝90，
解得：t＝60；
③当BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，
∵PQ//MN，∠PDE＝15°，∠EDF＝90°，
∴∠DRM+（∠PDE+∠EDF）＝180°
∴∠DRM＝75°，
∵BC//DF，
∴∠BKA＝∠DRM＝75°，
∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，
∴∠CAK＝90°−∠BKA＝90°−75°＝15°，
∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，
∴1.5t＝120，
解得：t＝80．
【点评】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．
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