2023届河北省唐山市高三二模数学试题含解析
展开2023届河北省唐山市高三二模数学试题
一、单选题
1.已知全集,集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据并集的定义求解.
【详解】由已知,
故选:B.
2.的共轭复数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据复数乘法运算求出,再求出共轭复数即可.
【详解】由题意得,所以,
故选:D
3.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的第80百分位数是103分,则数学成绩不小于103分的人数至少为( )
A.220 B.240 C.250 D.300
【答案】B
【分析】因为第80百分位数是103分,所以小于103分的学生占总数最多为,即成绩不小于103分的人数至少为总数的.
【详解】由人,所以小于103分学生最多有960人,所以大于或等于103分的学生有人.
故选:B
4.函数的单调递减区间为( )
A., B.,
C., D.,
【答案】A
【分析】根据整体法即可列不等式求解.
【详解】,解得,
故单调递增区间为,
故选:A
5.已知圆:,圆:,则与的位置关系是( )
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离
【答案】C
【分析】算出两圆圆心的距离,然后与两圆半径之和、差比较即可.
【详解】圆的圆心为,
圆的圆心为,
所以
所以圆与的位置关系是相交.
故选: C.
6.从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务,要求其中至少有一艘驱逐舰,则不同的安排方法种数为( )
A.336 B.252 C.216 D.180
【答案】C
【分析】先用排除法,由8艘舰艇选3艘,减去3艘全是护卫舰的选法即得选法,然后安排它们去担任不同的任务.
【详解】由题意方法数为,
故选:C.
7.椭圆:的左、右焦点分别为,,直线过与交于,两点,为直角三角形,且,,成等差数列,则的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据椭圆定义以及焦点三角形即可中中由求解.
【详解】由为直角三角形,且,,成等差数列,可知不是最长的边,故为直角边,
结合椭圆的对称性,不妨设,
由椭圆的定义可知的周长为,又,
所以,进而可得,
由,
故,,
在中,,所以,
故选:B
8.已知函数有三个极值点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用多次求导的方法,列不等式来求得的取值范围.
【详解】的定义域是,有三个零点,
令,
当时,
所以在区间单调递增;
至多有一个零点不合题意,A,B,C选项错误;
令,
,单调递增
,单调递增;
,单调递减;
,
且
单调递减;
,
,
有三个极值点,
所以实数a的取值范围.
故选:D.
二、多选题
9.如图,直四棱柱的所有棱长均为2,,则( )
A.与所成角的余弦值为
B.与所成角的余弦值为
C.与平面所成角的正弦值为
D.与平面所成角的正弦值为
【答案】BC
【分析】证明是异面直线与所成角或其补角,求出其余弦值,作于,证明是与平面所成角,然后求出其正弦值.
【详解】连接,
直四棱柱中,由与平行且相等得平行四边形,从而,是异面直线与所成角或其补角,
又由已知易得,,
,
所以与所成角的余弦值为,A错B正确;
作于,连接,
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面,从而可得(因为平面),
则是与平面所成角,
由得,,
,
C正确,D错误.
故选:BC.
10.如图,是边长为2的等边三角形,连接各边中点得到,再连接的各边中点得到,…,如此继续下去,设的边长为,的面积为,则( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【分析】由中位线性质得是等比数列,公比为,从而由正三角形面积公式得也是等比数列,公比是,再由等比数列的前项和公式计算后可判断各选项.
【详解】显然是正三角形,因此,A正确;
由中位线性质易得,即是等比数列,公比为,因此,B正确;
,,C错;
,是等比数列,公比为,则也是等比数列,公比是,
,D正确.
故选:ABD.
11.已知向量,,,下列命题成立的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.设,,当取得最大值时,
【答案】AD
【分析】若,则,结合两角差的正弦公式即可判断A;若,则,再结合二倍角的正弦公式及正弦函数的值域即可判断B;若,则,再结合二倍角的余弦公式即可判断C;求出再结合两角差的余弦公式即可判断D.
【详解】对于A,若,则,
即,所以,即,故A正确;
对于B,若,则,
即,即,
因为,所以,
所以,
所以,
所以,故B错误;
对于C,,
由,得,
即,
即,则,
则或,
所以或,故C错误;
对于D,,,
则
,
当取得最大值时,,
此时,所以,故D正确.
故选:AD.
12.已知函数及其导函数的定义域均为.,,当时,,,则( )
A.的图象关于对称
B.为偶函数
C.
D.不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】根据可判断A,求导即可根据判断B,由为偶函数以及对称可判断C,根据函数的性质画出大致图象,即可由时,求解D.
【详解】由可得,故可知的图象关于对称,故A错误,
由得,由得,故为偶函数,故B正确,
由可得,所以,又为偶函数,所以,即,故C正确,
由为偶函数且可得,所以是周期函数,且周期为8,
又当时,,可知在单调递减
故结合的性质可画出符合条件的的大致图象:
由性质结合图可知:当时,,
由得,故 ,
当且时,此时无解,
当时,,解得 ,
当且时,由得
综上可得的解集为,故D正确,
故选:BCD
【点睛】本题考查了函数性质的综合运用,题目综合性较高,要对函数基本性质比较熟练,可根据性质利用图象求解问题.对于函数的性质综合运用题目可从以下几个方面解题.
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
三、填空题
13.某种产品的广告费支出(单位:万元)与销售额(单位:万元)之间有如下对应数据:
1 | 3 | 4 | 5 | 7 | |
15 | 20 | 30 | 40 | 45 |
根据上表数据得到关于的经验回归方程,则的值为______.
【答案】
【分析】先求样本中心点,再由过,计算可得 .
【详解】可得样本中心点
过,可得,所以.
故答案为: .
14.已知直线:过双曲线:的一个焦点,且与的一条渐近线平行,则的实轴长为______.
【答案】2
【分析】求出直线与轴的交点坐标和斜率,然后列方程组求得得实轴长.
【详解】直线与轴交点为,斜率为,
由题意,解得,
所以双曲线的实轴长为.
故答案为:2.
四、双空题
15.正方体的棱长为2,,分别为棱,的中点,过,,做该正方体的截面,则截面形状为______,周长为______.
【答案】 五边形
【分析】根据点、线、面的位置关系及平面性质作出截面图形,再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长,即可求出周长.
【详解】连接EF并延长交DC的延长线于N,连接交于Q,连接QF,
延长FE交DA的延长线于M,连接交于P,连接EP,顺次连接,
则五边形即为平面截正方体的截面多边形,如图:
由题意,正方体的棱长为2,则,,
则为等腰直角三角形,则,根据∽得,,
则,则,,
同理可得,,而,则五边形的周长为.
故答案为:五边形,.
五、填空题
16.,,则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】将不等式变形得到对恒成立,利用反函数的性质,将问题进一步转化为对恒成立,构造函数,利用导数求解最值即可.
【详解】,,所以对恒成立,
即对恒成立,
由于函数与函数互为反函数,则只需要对恒成立,
故对恒成立,
令,则,当单调递减,当单调递增,故当时,取到最大值,
故,
故答案为:
【点睛】本题考查了导数的综合运用.构造新的函数,利用导数研究其单调性,进而可判断原函数的单调性.在求解不等式恒成立问题时,常采用两种思路:求直接求最值和等价转化.无论是那种方式,都要敢于构造函数,构造有效的函数往往是解题的关键.
六、解答题
17.已知的内角的对边分别为,
(1)求的值;
(2)若,求面积的最大值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】(1)根据正弦定理角化边得到,再根据正弦定理求解即可.
(2)根据题意得到,再结合基本不等式求解即可.
【详解】(1)因为,由正弦定理得,
由余弦定理得,,
整理得;
(2)因为,因为,由(1)可得,则.,
又,即,当且仅当时等号成立.
于是
所以的最大值为.
18.党的十八大以来,习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示,并在全国卫生与健康大会上强调,推进职业病危害源头治理.东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人,其中有22人从事采桑工作,另外88人没有从事采桑工作.
(1)为了解职工患皮炎是否与采桑有关,现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25人进行调查,得到以下数据:
| 采桑 | 不采桑 | 合计 |
患皮炎 | 4 |
|
|
未患皮炎 |
| 18 |
|
合计 |
|
| 25 |
①请完成上表;
②依据小概率值的独立性检验,分析患皮炎是否与采桑有关?
(2)为了进一步了解职工职业病的情况,需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查,将其中采桑的人数记作,求的分布列和期望.
附:,其中,
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【答案】(1)① 填表见解析;②认为患皮炎与采桑之间有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005
(2)分布列见解析;期望为
【分析】(1)根据已知条件可以填出表格中的内容,代入公式即可求得,根据表格进行判断即可;
(2)用表示抽取的4人中采桑的工作人员人数,的取值为:2,3,4,分别算出概率,列表格即可求出数学期望.
【详解】(1)①
| 采桑 | 不采桑 | 合计 |
患皮炎 | 4 | 2 | 6 |
未患皮炎 | 1 | 18 | 19 |
合计 | 5 | 20 | 25 |
②零假设为:患皮炎与采之间无关联,根据列联表中的数据,经计算得到,
根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,
即认为患皮炎与采桑之间有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2)用表示抽取的4人中采桑的工作人员人数,的取值为:2,3,4,
,
,
随机变量X的分布列为:
2 | 3 | 4 | |
则.
19.已知数列是正项等比数列,其前项和为,是等差数列,且,,
(1)求和的通项公式;
(2)求数列的前项和
(3)证明:
【答案】(1),
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)首先根据题意得到,再解方程组即可.
(2)利用错位相减法求解即可.
(3)首先根据分组求和得到,即可证明结论.
【详解】(1)设等比数列的公比为,等差数列的公差为,
,解得或(舍去).
故,.
(2)由(1)知,
则,①
则②
由①-②得
所以
(3)由(1)知,,,所以
所以,
即.
20.在四棱锥中,,,,,,,点是棱上靠近点的三等分点
(1)证明:平面;
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为,求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)先证平面,得,然后可证明平面;
(2)以,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图,设,由面面角的向量法求得,再由体积公式求得棱锥体积.
【详解】(1)在中,,,,
由余弦定理可得,,
从而有,所以,
∵,∴,
∵,,平面,
∴平面,
∵平面,∴,
∵,,平面,
∴平面;
(2)以,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图,
设,
则,,,,,
由(1)知,平面,是平面的一个法向量,
设平面的一个法向量是,
,
由,得,取,则,
因为平面与平面的夹角的余弦值为.
所以,解得,
所以四棱锥的体积.
21.已知抛物线:的焦点为,为上一点,为准线上一点,,
(1)求的方程;
(2),,是上的三点,若,求点到直线距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件得到,根据得到,再结合焦半径公式即可得到,从而得到.
(2)根据题意得到,设直线的方程为,,,与抛物线联立得到,,根据斜率公式得到,从而得到,即可得到直线过定点,再根据当时,点到直线距离最大求解即可.
【详解】(1)如图所示:
由题意可知,因为,,
由,,可得,
由抛物线的定义可知,,解得.
则的方程为.
(2)如图所示:
在抛物线上,所以,
设直线的方程为,,,
将代入,得
则,
,同理
整理得,,
直线的方程为,所以直线过定点.
当时,点到直线距离最大,
且最大距离为.
22.已知函数
(1)求的极值;
(2)若,,,,证明:
【答案】(1)极大值,无极小值
(2)证明见解析
【分析】(1)求导,利用导数的正负即可求解单调性,进而可求极值,
(2)将问题转化成证明当时,,构造函数和,导数的正负即可求解单调性即可求证.
【详解】(1)因为,所以,
由,解得,由,解得
所以在单调递增,在单调递减,
因此,在处取得极大值,无极小值.
(2)由(1)可知,在单调递减,
且,,,,
不妨设,要证,只要证
而,,且在单调递减,
所以只要证,即证,
即证.
即证当时,,
令,,
则
令,
则
因为,所以,,所以,
即在单调递减,
则,即,所以在单调递增,
所以,
即当时,,
所以,原命题成立.
【点睛】思路点睛:本题考查了导数的综合运用.利用导数求单调性时,如果求导后的正负不容易辨别,往往可以将导函数的一部分抽离出来,构造新的函数,利用导数研究其单调性,进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时,常采用两种思路:求直接求最值和等价转化.无论是那种方式,都要敢于构造函数,构造有效的函数往往是解题的关键.
2020届高三二模考试数学试题 Word版含解析: 这是一份2020届高三二模考试数学试题 Word版含解析,共21页。试卷主要包含了填空题,选择题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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