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    2023届河北省唐山市高三二模数学试题含解析

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    这是一份2023届河北省唐山市高三二模数学试题含解析,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023届河北省唐山市高三二模数学试题

     

    一、单选题

    1.已知全集,集合,则    

    A B

    C D

    【答案】B

    【分析】根据并集的定义求解.

    【详解】由已知

    故选:B

    2的共轭复数为(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】根据复数乘法运算求出,再求出共轭复数即可.

    【详解】由题意得,所以    

    故选:D

    3.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的第80百分位数是103分,则数学成绩不小于103分的人数至少为(    

    A220 B240 C250 D300

    【答案】B

    【分析】因为第80百分位数是103分,所以小于103分的学生占总数最多为,即成绩不小于103分的人数至少为总数的.

    【详解】人,所以小于103分学生最多有960人,所以大于或等于103分的学生有.

    故选:B

    4.函数的单调递减区间为(    

    A B

    C D

    【答案】A

    【分析】根据整体法即可列不等式求解.

    【详解】,解得

    故单调递增区间为

    故选:A

    5.已知圆,圆,则的位置关系是(    

    A.外切 B.内切 C.相交 D.外离

    【答案】C

    【分析】算出两圆圆心的距离,然后与两圆半径之和、差比较即可.

    【详解】的圆心为

    的圆心为

    所以

    所以圆的位置关系是相交.

    故选: C.

    6.从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务,要求其中至少有一艘驱逐舰,则不同的安排方法种数为(    

    A336 B252 C216 D180

    【答案】C

    【分析】先用排除法,由8艘舰艇选3艘,减去3艘全是护卫舰的选法即得选法,然后安排它们去担任不同的任务.

    【详解】由题意方法数为

    故选:C

    7.椭圆的左、右焦点分别为,直线交于两点,为直角三角形,且成等差数列,则的离心率为(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】根据椭圆定义以及焦点三角形即可中中由求解.

    【详解】为直角三角形,且成等差数列,可知不是最长的边,故为直角边,

    结合椭圆的对称性,不妨设,

    由椭圆的定义可知的周长为,又

    所以,进而可得

    中,,所以

    故选:B

    8.已知函数有三个极值点,则实数的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】利用多次求导的方法,列不等式来求得的取值范围.

    【详解】的定义域是有三个零点,

    ,

    所以在区间单调递增;

    至多有一个零点不合题意,ABC选项错误;

    ,

    ,单调递增

    ,单调递增;

    ,单调递减;

    ,

     

    单调递减;

    ,

    ,

    有三个极值点,

    所以实数a的取值范围.

    故选:D.

     

    二、多选题

    9.如图,直四棱柱的所有棱长均为2,则(    

    A所成角的余弦值为

    B所成角的余弦值为

    C与平面所成角的正弦值为

    D与平面所成角的正弦值为

    【答案】BC

    【分析】证明是异面直线所成角或其补角,求出其余弦值,作,证明与平面所成角,然后求出其正弦值.

    【详解】连接

    直四棱柱,平行且相等得平行四边形,从而是异面直线所成角或其补角,

    又由已知易得

    所以所成角的余弦值为AB正确;

    ,连接

    因为平面平面,平面平面平面

    所以平面,从而可得(因为平面),

    与平面所成角,

    C正确,D错误.

    故选:BC

    10.如图,是边长为2的等边三角形,连接各边中点得到,再连接的各边中点得到,如此继续下去,设的边长为的面积为,则(    

    A B

    C D

    【答案】ABD

    【分析】由中位线性质得是等比数列,公比为,从而由正三角形面积公式得也是等比数列,公比是,再由等比数列的前项和公式计算后可判断各选项.

    【详解】显然是正三角形,因此A正确;

    由中位线性质易得,即是等比数列,公比为,因此B正确;

    C错;

    是等比数列,公比为,则也是等比数列,公比是

    D正确.

    故选:ABD

    11.已知向量,下列命题成立的是(    

    A.若,则

    B.若,则

    C.若,则

    D.设,当取得最大值时,

    【答案】AD

    【分析】,则,结合两角差的正弦公式即可判断A;若,则,再结合二倍角的正弦公式及正弦函数的值域即可判断B;若,则,再结合二倍角的余弦公式即可判断C;求出再结合两角差的余弦公式即可判断D.

    【详解】对于A,若,则

    ,所以,即,故A正确;

    对于B,若,则

    ,即

    因为,所以

    所以

    所以

    所以,故B错误;

    对于C

    ,得

    ,则

    所以,故C错误;

    对于D

    取得最大值时,

    此时,所以,故D正确.

    故选:AD.

    12.已知函数及其导函数的定义域均为,当时,,则(    

    A的图象关于对称

    B为偶函数

    C

    D.不等式的解集为

    【答案】BCD

    【分析】根据可判断A,求导即可根据判断B,由为偶函数以及对称可判断C,根据函数的性质画出大致图象,即可由时,求解D.

    【详解】可得,故可知的图象关于对称,故A错误,

    ,由,故为偶函数,故B正确,

    可得,所以,又为偶函数,所以,即,故C正确,

    为偶函数且可得,所以是周期函数,且周期为8

    又当时,,可知单调递减

    故结合的性质可画出符合条件的的大致图象:

    由性质结合图可知:当时,

    ,故

    时,此时无解,

    时,,解得

    时,由

    综上可得的解集为,故D正确,

    故选:BCD

    【点睛】本题考查了函数性质的综合运用,题目综合性较高,要对函数基本性质比较熟练,可根据性质利用图象求解问题.对于函数的性质综合运用题目可从以下几个方面解题.

    (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;

    (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;

    (3)数形结合法:先对解析式变形,在直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.

     

    三、填空题

    13.某种产品的广告费支出(单位:万元)与销售额(单位:万元)之间有如下对应数据:

    1

    3

    4

    5

    7

    15

    20

    30

    40

    45

     

    根据上表数据得到关于的经验回归方程,则的值为______

    【答案】

    【分析】先求样本中心点,再由,计算可得 .

    【详解】可得样本中心点

    ,可得,所以.

    故答案为: .

    14.已知直线过双曲线的一个焦点,且与的一条渐近线平行,则的实轴长为______

    【答案】2

    【分析】求出直线与轴的交点坐标和斜率,然后列方程组求得得实轴长.

    【详解】直线轴交点为,斜率为

    由题意,解得

    所以双曲线的实轴长为

    故答案为:2.

     

    四、双空题

    15.正方体的棱长为2分别为棱的中点,过做该正方体的截面,则截面形状为______,周长为______

    【答案】     五边形    

    【分析】根据点、线、面的位置关系及平面性质作出截面图形,再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长,即可求出周长.

    【详解】连接EF并延长交DC的延长线于N,连接Q,连接QF

    延长FEDA的延长线于M,连接P,连接EP,顺次连接

    则五边形即为平面截正方体的截面多边形,如图:

    由题意,正方体的棱长为2,则

    为等腰直角三角形,则,根据得,

    ,则

    同理可得,而,则五边形的周长为.

    故答案为:五边形,.

     

    五、填空题

    16,则实数的取值范围是______

    【答案】

    【分析】将不等式变形得到恒成立,利用反函数的性质,将问题进一步转化为恒成立,构造函数,利用导数求解最值即可.

    【详解】,所以恒成立,

    恒成立,

    由于函数与函数互为反函数,则只需要恒成立,

    恒成立,

    ,则,当单调递减,当单调递增,故当时,取到最大值

    故答案为:

    【点睛】本题考查了导数的综合运用.构造新的函数,利用导数研究其单调性,进而可判断原函数的单调性.在求解不等式恒成立问题时,常采用两种思路:求直接求最值和等价转化.无论是那种方式,都要敢于构造函数,构造有效的函数往往是解题的关键.

     

    六、解答题

    17.已知的内角的对边分别为

    (1)的值;

    (2),求面积的最大值.

    【答案】(1)2

    (2)

     

    【分析】1)根据正弦定理角化边得到,再根据正弦定理求解即可.

    2)根据题意得到,再结合基本不等式求解即可.

    【详解】1)因为,由正弦定理得,

    由余弦定理得,

    整理得

    2)因为,因为,由(1)可得,则.

    ,即,当且仅当时等号成立.

    于是

    所以的最大值为.

    18.党的十八大以来,习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示,并在全国卫生与健康大会上强调,推进职业病危害源头治理.东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人,其中有22人从事采桑工作,另外88人没有从事采桑工作.

    (1)为了解职工患皮炎是否与采桑有关,现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25人进行调查,得到以下数据:

     

    采桑

    不采桑

    合计

    患皮炎

    4

     

     

    未患皮炎

     

    18

     

    合计

     

     

    25

     

    请完成上表;

    依据小概率值的独立性检验,分析患皮炎是否与采桑有关?

    (2)为了进一步了解职工职业病的情况,需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查,将其中采桑的人数记作,求的分布列和期望.

    附:,其中

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

     

     

    【答案】(1)① 填表见解析;认为患皮炎与采桑之间有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005

    (2)分布列见解析;期望为

     

    【分析】(1)根据已知条件可以填出表格中的内容,代入公式即可求得,根据表格进行判断即可;

    (2)表示抽取的4人中采桑的工作人员人数,的取值为:234,分别算出概率,列表格即可求出数学期望.

    【详解】1

     

    采桑

    不采桑

    合计

    患皮炎

    4

    2

    6

    未患皮炎

    1

    18

    19

    合计

    5

    20

    25

     

    零假设为:患皮炎与采之间无关联,根据列联表中的数据,经计算得到,

    根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,

    即认为患皮炎与采桑之间有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.

    2)用表示抽取的4人中采桑的工作人员人数,的取值为:234,

    随机变量X的分布列为:

    2

    3

    4

     

    19.已知数列是正项等比数列,其前项和为是等差数列,且

    (1)的通项公式;

    (2)求数列的前项和

    (3)证明:

    【答案】(1)

    (2)

    (3)证明见解析

     

    【分析】1)首先根据题意得到,再解方程组即可.

    2)利用错位相减法求解即可.

    3)首先根据分组求和得到,即可证明结论.

    【详解】1)设等比数列的公比为,等差数列的公差为

    ,解得(舍去).

    .

    2)由(1)知

    所以

    3)由(1)知,,所以

    所以

    .

    20.在四棱锥中,,点是棱上靠近点的三等分点

    (1)证明:平面

    (2)若平面与平面的夹角的余弦值为,求四棱锥的体积.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)

     

    【分析】1)先证平面,得,然后可证明平面

    2)以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图,设,由面面角的向量法求得,再由体积公式求得棱锥体积.

    【详解】1)在中,

    由余弦定理可得,

    从而有,所以

    平面

    平面

    平面

    平面

    平面

    2)以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图,

    由(1)知,平面是平面的一个法向量,

    设平面的一个法向量是

    ,取,则

    因为平面与平面的夹角的余弦值为

    所以,解得

    所以四棱锥的体积

    21.已知抛物线的焦点为上一点,为准线上一点,

    (1)的方程;

    (2)上的三点,若,求点到直线距离的最大值.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)根据已知条件得到,根据得到,再结合焦半径公式即可得到,从而得到.

    2)根据题意得到,设直线的方程为,与抛物线联立得到,根据斜率公式得到,从而得到,即可得到直线过定点,再根据当时,点到直线距离最大求解即可.

    【详解】1)如图所示:

    由题意可知,因为

    可得

    由抛物线的定义可知,,解得

    的方程为.

    2)如图所示:

    在抛物线上,所以

    设直线的方程为

    代入,得

    ,同理

    整理得,

    直线的方程为,所以直线过定点.

    时,点到直线距离最大,

    且最大距离为.

    22.已知函数

    (1)的极值;

    (2),证明:

    【答案】(1)极大值,无极小值

    (2)证明见解析

     

    【分析】1)求导,利用导数的正负即可求解单调性,进而可求极值,

    2)将问题转化成证明当时,,构造函数,导数的正负即可求解单调性即可求证.

    【详解】1)因为,所以

    ,解得,由,解得

    所以单调递增,在单调递减,

    因此,处取得极大值,无极小值.

    2)由(1)可知,单调递减,

    不妨设,要证,只要证

    ,且单调递减,

    所以只要证,即证

    即证

    即证当时,

    因为,所以,所以

    单调递减,

    ,即,所以单调递增,

    所以

    即当时,

    所以,原命题成立.

    【点睛】思路点睛:本题考查了导数的综合运用.利用导数求单调性时,如果求导后的正负不容易辨别,往往可以将导函数的一部分抽离出来,构造新的函数,利用导数研究其单调性,进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时,常采用两种思路:求直接求最值和等价转化.无论是那种方式,都要敢于构造函数,构造有效的函数往往是解题的关键.

     

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