2023届吉林省通化市梅河口市第五中学（火箭班）高三二模考试数学试题含解析

2023届吉林省通化市梅河口市第五中学（火箭班）高三二模考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题知图中阴影部分表示的集合为，先求得集合，再根据集合运算求解即可．

【详解】由题知图中阴影部分表示的集合为，

又，得，

又，则，

所以．

故选：B．

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数除法运算法则求，然后根据共轭复数的概念即可得到．

【详解】由题意有，

所以．

故选：C．

3．已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合PD与平面PAC的线面角，可求出PD.

【详解】，，，

由余弦定理得，即，

则有，所以，

又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

设，由，，

得，，，，，

 ， ， ，

设平面PAC的法向量为 ， 则 ，

令，则，，所以 ，

直线PD与平面PAC所成角为，所以  ，

则有，解得， 则.

故选：C.

4．已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（    ）

A． B．9 C． D．

【答案】B

【分析】设，，，，，结合点P为AB的中点求得，，再代入双曲线方程求得，进而即可求解的值．

【详解】设，，，，，

由点P为AB的中点，得，，

将P点代入双曲线方程可得，化简得，

所以，

故选：B．

【点睛】5．某校排球社团的同学为训练动作组织了垫球比赛，如图所示是为排球社团40位同学的一次垫球数所绘制的频率分布直方图，所有同学一次垫球数都在个之间，估计一次垫球数的样本数据的分位数是（    ）

A．27 B．28 C．29 D．30

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图结合百分位数公式计算即可.

【详解】垫球个数在的频率为，

垫球个数在的频率为，

所以分位数位于之间，设百分位数为x，

则，

解得︰.

故选∶C．

6．已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抽象函数关系式和函数奇偶性可推导得到是周期为的周期函数，再结合，可求得所求函数值之和.

【详解】由得：，

又为上的奇函数，，，

，即，是周期为的周期函数，

，，

.

故选：B.

7．如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算出该系统正常工作的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由题意可知，该系统正常工作的概率为，

因此，该系统不能正常工作的概率为.

故选：C.

8．已知，则的大小关系为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】利用不等式(时取等号)和（时取等号）的结论即可求解.

【详解】设，则

令即，解得.

令即，解得

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，函数取的最小值为，即

当时，即，

设，则，

令即，解得.

令即，解得

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，函数取的最小值为，即

所以，即，

所以.

故选：C.

二、多选题

9．已知两组数据：第一组数据；第二组数据．其中，，，，第一组数据不全相同．将这两组数据相比，则下列说法中正确的是（    ）

A．平均数一定相等 B．中位数一定相等

C．极差一定相等 D．第一组数据的方差大于第二组数据的方差

【答案】ABC

【分析】根据已知关系式可推导得到，由此可知两组数据完全相同，进而得到结论.

【详解】对于A，，又，，

，A正确；

对于BCD，由A知：，又，则两组数据完全相同，

两组数据的中位数、极差和方差都一定相等，BC正确，D错误.

故选：ABC.

10．已知函数的部分图像如图所示，则（    ）

A．

B．的图像关于点对称

C．的图像关于直线对称

D．函数为偶函数

【答案】ABC

【分析】首先根据得到，根据得到，根据得到，从而得到，再依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，，，所以.

因为，所以，，.

又因为，所以，，.

因为，所以，即，故A正确.

对选项B，令，解得，，

所以的图像关于点对称，故B正确.

对选项C，令，解得，，

所以的图像关于直线对称，故C正确.

对选项D，，

因为，定义域为，，

所以为奇函数，故D错误.

故选：ABC

11．已知的外接圆的圆心为O，半径为2，，且，下列结论正确的是（    ）

A．在方向上的投影长为

B．

C．在方向上的投影长为

D．

【答案】BCD

【分析】先利用平面向量的线性运算、共线向量判定四边形OBAC是边长为2的菱形，再利用投影的定义、数量积公式进行求解.

【详解】由得，即，

所以四边形OBAC为平行四边形．

又O为外接圆的圆心，所以，

又，

所以为正三角形．因为的外接圆半径为2，

所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以，

对于A、C：在方向上的投影长为，

即选项A错误，选项C正确；

对于B：因为，

，

则，即选项B正确；

对于D：因为，

，

则，即选项D正确．

故选：BCD.

12．已知正方体棱长为，为棱的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（     ）

A．存在点，使得

B．存在唯一点，使得

C．当，此时点的轨迹长度为

D．当为底面的中心时，三棱锥的外接球体积为

【答案】BCD

【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据点关于平面的对称点为，由可知A错误；利用向量垂直的坐标表示可求得时的点坐标，当时点的轨迹方程，可知BC正确；根据垂直关系可知三棱锥外接球球心为中点，半径为，由球的体积公式可求得D正确.

【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，设，

，，

对于A，点关于平面的对称点为，

则（当且仅当三点共线时取等号），A错误；

对于B，由得：，

即，，即存在点，使得，B正确；

对于C，，，

由得：，即，

点轨迹是连接棱中点与棱中点的线段，其长度为线段的一半，

点轨迹长为，C正确；

对于D，平面，平面，，

由B知：，中点到的距离相等，

即三棱锥外接球球心为中点，半径为，

三棱锥外接球体积，D正确.

故选：BCD.

三、双空题

13．给出下列结论：

①当时，单调递增；

②，；

③，．

写出符合上述任意两个结论的一个函数，你的答案是：符合______的函数______．

【答案】     ①②     （答案不唯一）

【分析】根据函数的单调性和对称性，选项符合条件的函数.

【详解】，，则函数图像关于直线对称；

，，则函数图像关于点对称；

符合①②的函数；

符合①③的函数；

符合②③的函数.

故答案为：①②；（答案不唯一）

四、填空题

14．已知抛物线与直线相切，则C的准线方程为______．

【答案】

【分析】联立抛物线方程与直线方程，得到关于的一元二次不等式，根据题意得到，从而解得的值，进而得解．

【详解】联立，消整理得，

则，得，或（舍），

所以抛物线的准线方程为．

故答案为：．

15．已知函数，若存在且，使得成立，则实数的取值范围是____________．

【答案】

【分析】根据已知可得，，由对勾函数的单调性求出的范围，从而可得的取值范围．

【详解】由，得到，

因为，所以，，

于是，所以，即，所以，

于是，所以，

所以，

因为函数在上为减函数，

所以，

由题意，存在，使得成立，

所以．

故答案为：

五、双空题

16．已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为______时，圆锥的体积最大，最大值为______．

【答案】         

【分析】由线面角的定义得出，从而得出，再由导数求解即可.

【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线与底面所成的角为，易知.

圆锥的体积为

令，则，

当时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，

即，此时.

故答案为：；

六、解答题

17．如图，在二面角中，，F是AB的中点，且．

(1)证明：；

(2)若，，，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过证明平面DOF，得到，又，得证．

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决二面角问题.

【详解】（1）证明：如图，取AC的中点O，连接DO，FO，

因为，所以．

又，且，平面DOF，所以平面DOF，

平面DOF，故，又F是AB的中点，所以，所以．

（2）由（1）知，以C为坐标原点，CA，CB为x，y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

在中，因为，，，

由余弦定理，得，过点D作，

故，可得点．

又，，，

所以得向量，，．

设平面ACD的一个法向量，

由得，

同理可得平面FCD的一个法向量，

所以．

设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，

故．

18．已知为等差数列，公差为d，是公比为2的等比数列，且，．

(1)证明：；

(2)求集合的子集个数．

【答案】(1)证明见解析

(2)128个

【分析】（1）根据题意列出方程组即可证明结论；

（2）根据题意化简可得，从而可求出集合中的元素个数，进而可求解其子集个数．

【详解】（1）由题意知，即，消去得，所以原命题得证．

（2）由（1）知，，，

所以，

，，

所以，即，

所以，，故可取，解得，

故集合中共有7个元素，

所以集合的子集个数为个．

19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为直径的三个半圆的面积依次为，，．

(1)若，证明：；

(2)若，且的面积为，，求b．

【答案】(1)证明过程见详解

(2)1

【分析】（1）根据题意可得到，从而可得到，则结论即可证明；

（2）根据余弦定理，三角形的面积公式，结合题意得到，，，再根据余弦的和差公式可得到，再结合正弦定理即可得到，进而即可求解b．

【详解】（1）由题意知，，，．

因为，即，

所以，所以．

（2）因为，即，

由余弦定理，得．

又的面积为，即，

可得，则，，．

又因为，

而，

所以．

由正弦定理，得，

则，

则，．

20．某国家网球队为了预选2024年奥运会的参赛选手，预计在国家队选拔一批队员做特训．选拔过程中，记录了某队员的40局接球成绩，每局发100个球，该队员每接球成功得1分，否则得0分，且每局结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)结合直方图，估算该队员40局接球成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)若该队员的接球训练成绩X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，求的值；

(3)为了营造竞技氛围，队员间相互比赛．一局比赛中发球方连续发100个球，若接球方得分达到80分，则接球方获胜，否则发球方获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y．以频率分布直方图中该队员获胜的频率作为概率，求均值．

参考数据：若随机变量，则，，．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得样本平均数；

（2）由题意可知，，则，，利用参考数据即可求解；

（3）由题意可知，随机变量的可能取值有3，4，5，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值．

【详解】（1）由频率分布直方图可得队员甲的平均分

．

（2）由题意可知，，则，，

所以

．

（3）由频率分布直方图可知，在一局中，某队员得分达到80分的概率为，

由题意可知，随机变量Y的所有可能取值为3，4，5，

，

，

，

所以随机变量Y的分布列为

因此，．

21．已知函数，．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围；

(3)设时，证明：．

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）将代入，对其求导，利用导数与函数的单调性的关系即可得解；

（2）先利用导数求得的最大值，再将问题转化为，从而得到，构造函数，求得即可得解；

（3）结合（2）中结论取特殊值得到恒成立，进而得到，利用累加法即可得证，注意的验证.

【详解】（1）当时，，，则．

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

（2）当时，．

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

所以．

由不等式恒成立，得恒成立，

即在时恒成立，

令，，则．

当时，单调递增；当时，单调递减．

所以的最大值为，

所以，即实数b的取值范围是．

（3）由（2）知，在上恒成立，

当，时，在上恒成立，

取，由得，即，则，

所以，，…，，

上式相加得，，

所以．

又因为当时，，

所以．

【点睛】结论点睛：恒成立问题：

（1）恒成立；恒成立．

（2）恒成立；恒成立．

（3）恒成立；恒成立；

（4），，．

22．已知双曲线的左、右焦点分别为，．

(1)若点，在双曲线C上，求C的方程；

(2)若点P为双曲线C右支上一点，I为的内心，且，过原点O作PI的平行线交于点K，求证：，且点I的横坐标等于PK的长．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）设出双曲线方程，利用待定系数法求解作答.

（2）设出双曲线半焦距及内切圆半径，利用三角形面积计算可得，再利用切线长定理、相似三角形性质推理作答.

【详解】（1）依题意，设双曲线方程为，

将点，的坐标代入得，解得，，

所以双曲线C的标准方程为．

（2）设的内切圆半径为r，双曲线的半焦距为c，有，

，，，

因为，则，所以；

设内切圆与，，的切点分别为M，N，T，得，，，如图，

延长PI交于点H，而，，

，有，即，

因为，则有，因此，

设点，，，

即点T的坐标为，又，因此点I的横坐标为a，

所以点I的横坐标等于PK的长.

【点睛】结论点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．