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2023届北京市房山区高三一模数学试题含解析
展开这是一份2023届北京市房山区高三一模数学试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023届北京市房山区高三一模数学试题
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】直接求并集得到答案.
【详解】集合,则.
故选:C
2.在的展开式中,的系数是( )
A. B.8 C. D.4
【答案】A
【分析】直接利用二项式定理计算即可.
【详解】的展开式通项为,
取,则,系数为.
故选:A
3.已知数列对任意满足,且,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由数列递推公式依次计算,,,,即可得答案.
【详解】由题意可得,,,
,.
故选:D
4.“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当时,,满足,充分性,取计算得到不必要性,得到答案.
【详解】当时,,满足,充分性;
取,满足,不满足,不必要性.
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选:A
5.已知抛物线的焦点为,抛物线上一点到点的距离为,则点到原点的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由抛物线的定义,将抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离,列方程求出点的坐标,进而得出点到原点的距离.
【详解】抛物线的准线为,
由题意,设,,,,
则点P到原点的距离为,
故选:D
6.已知直线与圆相交于M,N两点.则的最小值为( )
A. B. C.4 D.6
【答案】C
【分析】先求出圆心和半径,以及直线的定点,利用圆的几何特征可得到当时,最小
【详解】由圆的方程,可知圆心,半径,
直线过定点,
因为,则定点在圆内,
则点和圆心连线的长度为,
当圆心到直线距离最大时,弦长最小,此时,
由圆的弦长公式可得,
故选:C
7.已知函数同时满足以下两个条件:①对任意实数x,都有;②对任意实数,当时,都有.则函数的解析式可能为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】确定函数为奇函数且单调递减,再依次判断每个选项得到答案.
【详解】对任意实数x,都有,故函数为奇函数;
对任意实数,当时,都有,即,即,,故函数单调递减.
对选项A:单调递增,不满足;
对选项B:单调递减,且函数为奇函数,满足;
对选项C:单调递增,不满足;
对选项D:不是奇函数,不满足.
故选:B
8.在中,,为所在平面内的动点,且,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由已知求出点的轨迹为圆,再由平面向量的平行四边形法则得出,的最大值即圆心到定点的距离加上半径,代入化简求值即可.
【详解】由题意,可得,点的轨迹为以为圆心,为半径的圆,
取的中点,则,
所以,
故选:D
9.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是,当血氧饱和度低于时,需要吸氧治疗,在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型:描述血氧饱和度随给氧时间t(单位:时)的变化规律,其中为初始血氧饱和度,K为参数.已知,给氧1小时后,血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到,则至少还需要给氧时间(单位:时)为( )
(精确到0.1,参考数据:)
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9
【答案】B
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程,解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值,给氧时间至少还需要小时,
由题意可得,,两边同时取自然对数并整理,
得,,
则,则给氧时间至少还需要小时
故选: B
10.如图,已知正方体,则下列结论中正确的是( )
A.与三条直线所成的角都相等的直线有且仅有一条
B.与三条直线所成的角都相等的平面有且仅有一个
C.到三条直线的距离都相等的点恰有两个
D.到三条直线的距离都相等的点有无数个
【答案】D
【分析】所成的角都相等的直线有无数条,A错误,成的角相等的平面有无数个,B错误,距离相等的点有无数个,C错误,D正确,得到答案.
【详解】对选项A:根据对称性知与三条直线的夹角相等,则与平行的直线都满足条件,有无数条,错误;
对选项B:根据对称性知平面与三条直线所成的角相等,则与平面平行的平面都满足条件,有无数个,错误;
对选项C:如图所示建立空间直角坐标系,设正方体边长为,,,上一点,则,,,点到直线的距离为
,
同理可得到直线和的距离为,故上的点到三条直线的距离都相等,故有无数个,错误;
对选项D:上的点到三条直线的距离都相等,故有无数个,正确;
故选:D
二、填空题
11.在复平面内复数对应点的坐标为,则_________.
【答案】##
【分析】根据复数的几何意义表示复数,然后利用复数乘法运算法则计算.
【详解】因为复数在复平面内对应点的坐标为,
所以,所以.
故答案为:
12.能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据不等式的性质,讨论的正负和三种情况,得出结论.
【详解】若,当时,;
当时,;
当时,;
“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为,
故答案为:(答案不唯一)
13.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线C的离心率为__________.
【答案】2
【分析】由题意求出双曲线的渐近线方程,则,由代入即可得出答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为,
所以,所以双曲线C的离心率为.
故答案为:2.
三、双空题
14.在中,,则__________;的值为__________.
【答案】 ##
【分析】化简得到,再根据正弦定理得到,得到,计算得到答案.
【详解】,,故,,;
,则,即,,
,则,,.
故答案为:;
四、填空题
15.设函数给出下列四个结论:①函数的值域是;②,方程恰有3个实数根;③,使得;④若实数,且.则的最大值为.其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②③④
【分析】画出函数图象,结合图象对四个结论依次分析,即可求解结论.
【详解】因为函数,其图象如下图所示:
对于①,由图可知,函数的值域不是,故①不正确;
对于②,由图可知,,方程恰有3个实数根,故②正确;
对于③,当时,使得有成立,即与有交点,这显然成立,故③正确;
对于④,不妨设互不相等的实数满足,当满足时,
由图可知,即,
,即,
所以,由图可知,,
而在上单调递减,所以,
所以,
则的最大值为,故④正确.
故答案为:②③④.
五、解答题
16.已知函数的最小正周期为.
(1)求值;
(2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数,求的单调增区间.条件①:是偶函数;条件②:图象过点;条件③:图象的一个对称中心为.注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答给分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)根据周期公式,即可求解;
(2)分别选择条件,根据三角函数的性质,求,再根据三角函数的单调性,代入公式,即可求解.
【详解】(1)由条件可知,,解得:;
(2)由(1)可知,,
若选择条件①:是偶函数,
所以,即,
所以,
,
令,
解得:,
所以函数的递增区间是,
若选择条件②:图象过点,,,
则,即,所以,
所以,
所以
令,
解得:,
所以的单调递增区间是.
如选择条件③:图象的一个对称中心为,
所以,,,,
所以,
所以
令,
解得:,
所以的单调递增区间是.
17.如图,四棱锥的底面是矩形,底面ABCD,,M为BC的中点.
(1)求证:平面PBD;
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值;
(3)求D到平面APM的距离.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】(1)根据线面垂直的性质,结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可;
(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可;
(3)利用空间点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】(1)因为,M为BC的中点,
所以,
因为四棱锥的底面是矩形,
所以,
所以,所以,
而,即,
因为底面ABCD,底面ABCD,
所以,而平面PBD,
所以平面PBD;
(2)因为平面ABCD,平面ABCD,
所以,
因为因为四棱锥的底面是矩形,
所以,建立如下图所示的空间直角坐标系,
,
因为平面ABCD,
所以平面ABCD的法向量为,
设平面APM的法向量为,
,,
于是有,
平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为;
(3)由(2)可知平面APM的法向量为,,
所以D到平面APM的距离为
18.某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民.让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识向卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表:
1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 5号 | 6号 | 7号 | 8号 | 9号 | 10号 | |
讲座前 | ||||||||||
讲座后 |
(1)从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于的概率;
(2)从正确率不低于的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份,记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数.求随机变量X的分布列和数学期望;
(3)判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.
【答案】(1)
(2)分布列见解析,数学期望为
(3)答案见解析
【分析】(1)共10份书卷,准确率低于有份,计算概率即可.
(2)的取值可能是,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.
(3)讲座前的平均准确率为,讲座后的平均准确率为,提升明显,得到答案.
【详解】(1)共10份书卷,准确率低于有份,故概率为;
(2)正确率不低于的垃圾分类知识答卷中,讲座前有2份,讲座后有5份,
的取值可能是,
;;
.
故X的分布列为:
故数学期望为.
(3)此次公益讲座的宣传效果很好,
讲座前的平均准确率为:
;
讲座后的平均准确率为:
;
平均准确率明显提高,故此次公益讲座的宣传效果很好.
19.已知椭圆过点,且离心率为
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若直线l与椭圆E相切,过点作直线l的垂线,垂足为N,O为坐标原点,证明:为定值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用椭圆过点,得到,再由椭圆的离心率为,求出的值,从而求到椭圆的标准方程;
(2)对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论,从而求出,得到结论.
【详解】(1)因为椭圆过点,所以,
又,,所以,得到,
所以椭圆的标准方程为.
(2)当直线斜率存在且不为0时,设直线的方程为,
联立直线和椭圆的方程得,消去并整理,得,
因为直线与椭圆有且只有一个公共点,所以方程有两个相等的根,
,
化简整理得
因为直线与垂直,所以直线的方程为,
联立得,解得, ,
所以
把代入上式得,,所以,为定值;
当直线斜率为0时,直线,过点作直线的垂线,则垂线方程为,
此时或,,为定值;
当直线斜率不存在时,直线,过点作直线的垂线,则垂线方程为,
此时或,,为定值;
综上所述,,为定值.
20.已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若在处取得极值,求的单调区间;
(3)求证:当时,关于x的不等式在区间上无解.
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为和,单调递减区间为
(3)证明见解析
【分析】(1)根据导数的几何意义求得切线斜率,即可求得切线方程;
(2)根据可求出,并对其进行检验即可求解;
(3)分和两种情况,求出函数在区间上的最大值即可作答.
【详解】(1)由可得,
当时,,,
在点处的切线方程为;
(2)因为在处取得极值,所以,解得,
检验如下:
令,解得或,
若或时,则;若,则.
所以的单调递增区间为和,单调递减区间为,
故在处取得极小值,满足题意,
故的单调递增区间为和,单调递减区间为;
(3)由(1)知,由时,得,因,
当时,当时,,即函数在上单调递减,则,
因此不等式不成立,即不等式在区间上无解;
当时,当时,,当时,,即在上递减,在上递增,
于是得在上的最大值为或,而,,
,即,
因此不等式不成立,即不等式在区间上无解,
所以当时,关于的不等式在区间上无解.
21.如果数列对任意的,,则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”?说明理由;
(2)若数列为“速增数列”.且任意项,,求正整数k的最大值;
(3)已知项数为()的数列是“速增数列”,且的所有项的和等于k,若,,证明:.
【答案】(1)是,理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)计算,,,得到答案.
(2)根据题意得到,,计算当时,,当时,,得到答案.
(3)证明,得到,得到,代入计算得到证明.
【详解】(1)因为,则,,
又,故,数列是“速增数列”.
(2),
当时,,
即,,
当时,,当时,,
故正整数k的最大值为.
(3),故,即;
,故,
即,
同理可得:,,,
故,
故,,得证.
【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中根据题意利用累加法的思想确定是解题的关键.
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