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2023届江西省万安中学高三一模数学(理)试题含解析
展开2023届江西省万安中学高三一模数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合,,则=( )
A.R B.
C. D.Q
【答案】A
【解析】首先得到,,再求即可.
【详解】,,
故.
故选:A
【点睛】本题主要考查集合的并集运算,同时考查函数的定义域和值域,属于简单题.
2.设复数z满足,且z的实部小于虚部,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】设,根据已知条件列方程,从而求得,也即求得.
【详解】设,
则,
所以.
故选:D
3.已知数列为等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则.
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】试题分析:由题意得,设等比数列的公比为,则,所以,
又,解得,所以,故选C.
【解析】等比数列的通项公式及性质.
4.已知定义在上的奇函数在满足,且区间上单调递增,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据函数为奇函数且,结合函数在单调递增,即可容易判断.
【详解】因为是定义在上的奇函数且满足,
则,
又,又在单调递增,故;
又.
综上所述:.
故选:B.
5.从甲袋中摸出1个白球的概率为,从乙袋内摸出1个白球的概率是,从两个袋内各摸1个球,那么概率为的事件是( )
A.2个球都是白球 B.2个球都不是白球
C.2个球不都是白球 D.2个球恰好有1个白球
【答案】C
【分析】根据相互独立事件概率乘法公式逐项计算判断即可.
【详解】解:设2个球都是白球为事件A,2个球都不是白球为事件B,
2个球不都是白球为事件C,2个球恰好有1个白球为事件D,
∵ 从甲袋中摸球与乙袋中摸球是相互独立事件,
∴,,
∵ 事件C与事件A是对立事件,
∴,
∵ 事件D可划分为从甲袋中摸出白球或乙袋中摸出白球这两个互斥事件,
∴.
故选:C.
6.中,点为上的点,且,若 ,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】选定基向量,根据向量的加减法,用基底表示出向量,结合条件即可求得,可得答案.
【详解】由题意可得
,
又,故,
故,
故选:B
7.已知向量,,且,若,满足不等式,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由得到,再作出不等式表示的平面区域,再利用数形结合分析得解.
【详解】∵,,
又∵,∴,即.
所以. 它表示斜率为纵截距为的平行直线系.
∵满足不等式的平面区域如下图所示:
当直线经过点时,直线的纵截距最大,最大,最大值为.
当直线经过点时,直线的纵截距最小,最小,最小值为.
故的取值范围为.
故选:D.
8.设随机变量的分布列为,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据所有随机变量的概率之和为1,列出方程,求解出的值,要求解的值,即求解,根据概率的定义可得.
【详解】解:∵随机变量的分布列为,
,
解得,
.
故选:D
【点睛】本题考查了离散随机变量的概率性质,解题的关键是熟记性质,熟练运用性质.
9.安排5名学生去3个社区进行志愿服务,且每人只去一个社区,要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务,则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有( )
A.100种 B.60种 C.42种 D.25种
【答案】C
【分析】给三个社区编号分别为1,2,3,则甲可有3种安排方法,剩下的两个再进行分步计数,从而求得所有安排方式的总数.
【详解】甲可有3种安排方法,
若甲先安排第1社区,
则第2社区可安排1个、第3社区安排3个,共;
第2社区2个、第3社区安排2个,共;
第2社区3个,第3社区安排1个,共;
故所有安排总数为.
故选:C.
【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算,考查分类讨论思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.
10.月均温全称月平均气温,气象学术语,指一月所有日气温的平均气温.某城市一年中个月的月均温(单位:)与月份(单位:月)的关系可近似地用函数()来表示,已知月份的月均温为,月份的月均温为,则月份的月均温为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得出关于、的方程组,可得出函数解析式,在函数解析式中令可得结果.
【详解】由题意可得,解得,
所以,函数解析式为,
在函数解析式中,令,可得.
因此,月份的月均温为.
故选:A.
11.若是函数的极值点,数列满足,,设,记表示不超过的最大整数.设,若不等式对恒成立,则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由极值点得数列的递推关系,由递推关系变形得数列是等比数列,求得,由累加法求得,计算出,然后求和,利用增函数定义得此式的最小值,从而得出的最小值,再由不等式恒成立可得的最大值.
【详解】,∴,即有,
∴是以2为首项3为公比的等比数列,∴,
∴,
∴,
又为增函数,当时,,,若恒成立,则的最大值为1010.
故选:D.
【点睛】思路点睛:本题考查函数的极值,等比数列的判断与通项公式,累加法求通项公式,裂项相消法求和,函数新定义,不等式恒成立问题的综合应用.涉及知识点较多,属于中档题.解题方法是按部就班,按照题目提供的知识点顺序求解.由函数极值点得数列的递推公式,由递推公式引入新数列是等比数列,求得通项公式后用累加法求得,由对数的概念求得,用裂项相消法求和新数列的前项和,并利用函数单调性得出最小值,然后由新定义得的最小值,从而根据不等式恒成立得结论.
12.已知函数,函数有三个不同的实数根,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先将条件“函数有三个不同的实数根,且”转化为“函数与有3个不同的交点,且交点的横坐标为,且”,接着作图得到,,,,再用表示,最后构建新函数并利用导函数求的范围.
【详解】解:因为“函数有三个不同的实数根,且”
所以“函数与有3个不同的交点,且交点的横坐标为,且”,
根据题意作函数与的图象,如图:
由图象可得:,,,
所以,是方程的根,所以;
是方程的根,所以,则
所以,令()
则,令,
则,所以在区间上单调递增,
所以
所以,所以在区间上单调递增,
所以,化简整理得
故选:D.
【点睛】本题考查根据方程根的个数求取值范围、利用导数求函数的值域、由解析式画分段函数的图象,还考查了数形结合与转化的数学思想,是偏难题.
二、填空题
13.已知向量,,,,且,则_________.
【答案】
【分析】设,利用向量的模长和坐标运算可得答案.
【详解】设, ∵向量,满足, ,且,
∴,
∴,化为λ2=5,
解得.
故答案为:.
14.已知的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,则展开式中系数最大的项为______.(不用计算,写出表达式即可)
【答案】和
【分析】根据末三项的二项式系数的和求得,然后根据系数最大列不等式组,由此求得正确答案.
【详解】由题意可得,,所以,解得,
的展开式的通项为
令,解得,
由于,所以或12,
时,;时,,
所以展开式中系数最大的项为和.
故答案为:和
15.已知三棱锥中,三点在以为球心的球面上,若,,且三棱锥的体积为,则球的表面积为________.
【答案】
【分析】利用面积公式求出的面积,再利用余弦定理求出的长度,利用正弦定理求出的外接圆半径,根据勾股定理求出球的半径,由球的表面积公式即可求解.
【详解】的面积,
设球心到平面的距离为,
则,解得,
在中,由余弦定理
,
设的外接圆半径为,由正弦定理
则,解得,
设球的半径为,则,
所以球的表面积为.
故答案为:
【点睛】本题考查了球的表面积公式、三棱锥的体积公式、三角形的面积公式以及余弦定理解三角形,正弦定理解三角形的外接圆半径,属于中档题.
16.已知点和圆:,是圆的直径,和是线段的三等分点,(异于)是圆上的动点,于,(),直线与交于,则当__________时,为定值.
【答案】##0.125
【分析】根据题意,设,利用所给的性质,得到,,得到的方程和的方程,进而联立可求得点的轨迹为椭圆方程,最后利用椭圆的定义,得到的定值,即可求出的值
【详解】题意可得,,,,设,则由题意得,,
又由,可得点,
故的方程为,的方程为,
联立方程组,
可得,把代入化简可得,
故点在以为长轴的椭圆上,当为此椭圆的焦点时,为定值,
此时,由可得,求得.
故答案为:
三、解答题
17.已知函数,在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A;
(2)若b=3,c=2,点D为BC边上靠近点C的三等分点,求AD的长度.
【答案】(1).
(2).
【分析】(1)运用三角恒等变换化简函数,再运用特殊角的三角函数值解方程即可.
(2)方法一:在△ABC中运用余弦定理求得BC及,再在中运用余弦定理可求得AD的值.
方法二:运用平面向量基本定理可得,两边同时平方运用数量积求解即可.
【详解】(1)因为
,
所以,所以.
所以,即.
又,所以.
(2)如图所示,
方法一:在△ABC中,由余弦定理可得,
则.又点D为BC边上靠近点C的三等分点,所以.
又在△ABC中,,
在中,由余弦定理可得,
所以.
方法二:因为点D为BC边上靠近点C的三等分点,所以.
等式两边同时平方可得.
所以,即.
18.我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:t),将数据按照,,,,分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)记事件A:“全市家庭月均用水量不低于6t”,求的估计值;
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,求全市家庭月均用水量平均数的估计值(精确到0.01);
(3)求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值(精确到0.01).
【答案】(1)0.3;(2)4.92 t.;(3)
【解析】(1)通过频率分布直方图求得的频率,由此求得的估计值.
(2)根据由频率分布直方图计算平均数的方法,计算出全市家庭月均用水量平均数的估计值.
(3)通过频率分布直方图,计算出累计频率为的位置,从而求得全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值.
【详解】(1)由直方图可知的估计值为.
(2)因为.
因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92 t.
(3)频率分布直方图中,用水量低于2 t的频率为.
用水量低于4 t的频率为.
故全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值为.
【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算频率、平均数、百分位数,属于基础题.
19.如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,点E是棱PB的中点.
(1)证明:;
(2)若,求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【分析】(1)先证,,则有平面PBC,从而可得到本题结论;
(2)先找出所求的二面角的平面角为,然后在中通过解三角形,即可得到本题答案.
【详解】(1)证明:如图,由底面ABCD,得,
又,故为等腰直角三角形,
而点E是棱PB的中点,所以,
由题意知,又AB是PB在面ABCD内的射影,由三垂线定理得,
从而平面PAB,故.
因,,
所以平面PBC.则;
(2)由第1问知平面PAB,又,得平面PAB,故,
在中,,,
从而在中,,
在中,,又,
所以为等边三角形.取CE的中点F,连接DF,则,
因,且,则为等腰直角三角形,
连接BF,则,
所以为所求的二面角的平面角,
连接BD,在中,,,,
所以.
故二面角的平面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查线线垂直的证明以及二面角的求法,找出二面角的平面角是解决此类题目的关键.
20.设抛物线的焦点为,动直线与抛物线交于,两点,且当时,.
(1)求抛物线的方程;
(2)连接,并延长分别交抛物线于两点,,设直线的斜率为,直线的斜率为,求证:是定值,并求出该值.
【答案】(1)
(2)证明见解析,
【分析】(1)根据联立方程,结合韦达定理,利用弦长公式即可求出方程;
(2)通过分别联立直线,与抛物线,用,点的坐标表示出,的坐标,再化简即可得到定值.
【详解】(1)联立,得,
则,设,则,
当时,,
所以,
解得或(舍),
故抛物线的方程为.
(2)由题意知,由(1)得,且,
设直线,
联立,得,
则,所以,所以,
同理可得,,所以,
所以,
又,所以,即是定值,且定值为.
21.已知函数.
(1)求在点,处的切线方程;
(2)若,证明:在,上恒成立;
(3)若方程有两个实数根,,且,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可;
(2)根据题意只需证,构造函数,求导分析函数的单调性根据单调性分析可得只能在处取得最小值,进而求解即可;
(3)根据题意,构造和,利用二次求导讨论和的单调性和最小值,可得、,设方程的根和的根,再根据不等式的性质证明即可.
【详解】(1)函数,由,
由,,
所以切线方程为,
(2)当,时,,所以.
故只需证,
构造,
,
又在,上单调递增,且(1),
知在,上单调递增,
故(1).
因此,得证.
(3)由(1)知在点,处的切线方程为.
构造,,.
当时,;当时,;
所以在上单调递减,在上单调递增.
又,,,所以在上单调递减,在上单调递增.
所以.
设方程的根.又,由在上单调递减,所以.
另一方面,在点处的切线方程为.
构造.
,.
当时,;当时,;
所以在上单调递减,在上单调递增.
又,,(1),
所在上单调递减,在上单调递增.
所以(1).
设方程的根.
又,由在上单调递增,
所以.
,,
,
所以,得证.
【点睛】破解含双参不等式证明题的3个关键点
(1)转化,即由已知条件入手,寻找双参所满足的关系式,并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
(2)巧构造函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.
(3)回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.
22.在平面坐标系中,圆M的参数方程为 (为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求圆M的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)过圆M的圆心作直线l交曲线C于A,B两点,若,求直线l的直角坐标方程.
【答案】(1),
(2)或.
【分析】(1)利用消参法可求得圆M的普通方程,根据极坐标与直角坐标之间的转换公式可求得曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线的参数方程并和联立,得到跟与系数的关系式,结合化简求得,即可求得答案.
【详解】(1)由 ,可得,
所以圆M的普通方程为,
因为,所以,
曲线C的直角坐标方程为.
(2)由(1)知,,设直线l的参数方程为 (t为参数,),
代入得,
,,
,
即 ,①;
,.
又,所以,
即,
,
或,
代入①式验证满足题意,故或,
所以直线l的直角坐标方程为或.
23.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若函数的最小值为,求的最小值.
【答案】(1);(2)6.
【解析】(1)对进行讨论,化简绝对值,进而可求不等式的解集;
(2)由绝对值不等式的性质可求的最小值,进而可求,然后结合基本不等式即可求解.
【详解】(1)①当时,原不等式可化为,得,故有;
②当时,原不等式可化为,得,故有;
③当时,原不等式可化为,解得,故有
综上,不等式的解集为.
(2)因为,
所以.
所以,
当且仅当,即时“”成立,
所以的最小值为6.
【点睛】本题主要考查了含两个绝对值的不等式,解绝对值三角不等式,基本不等式,属于中档题.
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