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    2023届江西省万安中学高三一模数学(理)试题含解析

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    这是一份2023届江西省万安中学高三一模数学(理)试题含解析,共18页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023届江西省万安中学高三一模数学(理)试题

     

    一、单选题

    1.已知集合,则=    

    AR B

    C DQ

    【答案】A

    【解析】首先得到,再求即可.

    【详解】

    .

    故选:A

    【点睛】本题主要考查集合的并集运算,同时考查函数的定义域和值域,属于简单题.

    2.设复数z满足,且z的实部小于虚部,则    

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】,根据已知条件列方程,从而求得,也即求得.

    【详解】

    所以.

    故选:D

    3已知数列为等比数列,是它的前项和,若,且的等差中项为,则

    A B C D

    【答案】C

    【详解】试题分析:由题意得,设等比数列的公比为,则,所以

    ,解得,所以,故选C

    【解析】等比数列的通项公式及性质.

    4.已知定义在上的奇函数在满足,且区间上单调递增,则(    

    A B

    C D

    【答案】B

    【分析】根据函数为奇函数且,结合函数在单调递增,即可容易判断.

    【详解】因为是定义在上的奇函数且满足

    ,又单调递增,故

    .

    综上所述:.

    故选:B.

    5.从甲袋中摸出1个白球的概率为,从乙袋内摸出1个白球的概率是,从两个袋内各摸1个球,那么概率为的事件是(    

    A2个球都是白球 B2个球都不是白球

    C2个球不都是白球 D2个球恰好有1个白球

    【答案】C

    【分析】根据相互独立事件概率乘法公式逐项计算判断即可.

    【详解】解:设2个球都是白球为事件A2个球都不是白球为事件B

    2个球不都是白球为事件C2个球恰好有1个白球为事件D

    从甲袋中摸球与乙袋中摸球是相互独立事件,

    事件C与事件A是对立事件,

    事件D可划分为从甲袋中摸出白球或乙袋中摸出白球这两个互斥事件,

    故选:C

    6中,点上的点,且,若 ,则    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】选定基向量,根据向量的加减法,用基底表示出向量,结合条件即可求得,可得答案.

    【详解】由题意可得

    ,

    ,故

    故选:B

    7.已知向量,且,若满足不等式,则的取值范围为(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】得到,再作出不等式表示的平面区域,再利用数形结合分析得解.

    【详解】

    ,即.

    所以. 它表示斜率为纵截距为的平行直线系.

    满足不等式的平面区域如下图所示:

    当直线经过点时,直线的纵截距最大,最大,最大值为.

    当直线经过点时,直线的纵截距最小,最小,最小值为.

    的取值范围为.

    故选:D.

    8.设随机变量的分布列为,则等于(    

    A B C D

    【答案】D

    【解析】根据所有随机变量的概率之和为1,列出方程,求解出的值,要求解的值,即求解,根据概率的定义可得.

    【详解】解:随机变量的分布列为

    解得

    .

    故选:D

    【点睛】本题考查了离散随机变量的概率性质,解题的关键是熟记性质,熟练运用性质.

    9.安排5名学生去3个社区进行志愿服务,且每人只去一个社区,要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务,则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有(    

    A100 B60 C42 D25

    【答案】C

    【分析】给三个社区编号分别为123,则甲可有3种安排方法,剩下的两个再进行分步计数,从而求得所有安排方式的总数.

    【详解】甲可有3种安排方法,

    若甲先安排第1社区,

    则第2社区可安排1个、第3社区安排3个,共

    2社区2个、第3社区安排2个,共

    2社区3个,第3社区安排1个,共

    故所有安排总数为.

    故选:C.

    【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算,考查分类讨论思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.

    10.月均温全称月平均气温,气象学术语,指一月所有日气温的平均气温.某城市一年中个月的月均温(单位:)与月份(单位:月)的关系可近似地用函数)来表示,已知月份的月均温为月份的月均温为,则月份的月均温为(    

    A B C D

    【答案】A

    【解析】由题意得出关于的方程组,可得出函数解析式,在函数解析式中令可得结果.

    【详解】由题意可得,解得

    所以,函数解析式为

    在函数解析式中,令,可得.

    因此,月份的月均温为.

    故选:A.

    11.若是函数的极值点,数列满足,设,记表示不超过的最大整数.,若不等式恒成立,则实数的最大值为(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】由极值点得数列的递推关系,由递推关系变形得数列是等比数列,求得,由累加法求得,计算出,然后求和,利用增函数定义得此式的最小值,从而得出的最小值,再由不等式恒成立可得的最大值.

    【详解】,即有

    是以2为首项3为公比的等比数列,

    为增函数,当时,,若恒成立,则的最大值为1010.

    故选:D

    【点睛】思路点睛:本题考查函数的极值,等比数列的判断与通项公式,累加法求通项公式,裂项相消法求和,函数新定义,不等式恒成立问题的综合应用.涉及知识点较多,属于中档题.解题方法是按部就班,按照题目提供的知识点顺序求解.由函数极值点得数列的递推公式,由递推公式引入新数列是等比数列,求得通项公式后用累加法求得,由对数的概念求得,用裂项相消法求和新数列的前项和,并利用函数单调性得出最小值,然后由新定义得的最小值,从而根据不等式恒成立得结论.

    12.已知函数,函数有三个不同的实数根,且,则的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】D

    【解析】先将条件函数有三个不同的实数根,且转化为函数3个不同的交点,且交点的横坐标为,且,接着作图得到,再用表示,最后构建新函数并利用导函数求的范围.

    【详解】解:因为函数有三个不同的实数根,且

    所以函数3个不同的交点,且交点的横坐标为,且

    根据题意作函数的图象,如图:

    由图象可得:

    所以是方程的根,所以

    是方程的根,所以,则

    所以,令

    ,令

    ,所以在区间上单调递增,

    所以

    所以,所以在区间上单调递增,

    所以,化简整理得

    故选:D.

    【点睛】本题考查根据方程根的个数求取值范围、利用导数求函数的值域、由解析式画分段函数的图象,还考查了数形结合与转化的数学思想,是偏难题.

     

    二、填空题

    13.已知向量,且,则_________.

    【答案】

    【分析】利用向量的模长和坐标运算可得答案.

    【详解】∵向量满足

    ,化为λ25

    解得

    故答案为:

    14.已知的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,则展开式中系数最大的项为______.(不用计算,写出表达式即可)

    【答案】

    【分析】根据末三项的二项式系数的和求得,然后根据系数最大列不等式组,由此求得正确答案.

    【详解】由题意可得,,所以,解得

    的展开式的通项为

    ,解得

    由于,所以12

    时,时,

    所以展开式中系数最大的项为.

    故答案为:

    15.已知三棱锥中,三点在以为球心的球面上,若,且三棱锥的体积为,则球的表面积为________.

    【答案】

    【分析】利用面积公式求出的面积,再利用余弦定理求出的长度,利用正弦定理求出的外接圆半径,根据勾股定理求出球的半径,由球的表面积公式即可求解.

    【详解】的面积

    设球心到平面的距离为

    ,解得

    中,由余弦定理

    的外接圆半径为,由正弦定理

    ,解得

    设球的半径为,则

    所以球的表面积为.

    故答案为:

    【点睛】本题考查了球的表面积公式、三棱锥的体积公式、三角形的面积公式以及余弦定理解三角形,正弦定理解三角形的外接圆半径,属于中档题.

    16.已知点和圆是圆的直径,是线段的三等分点,(异于)是圆上的动点,),直线交于,则当__________时,为定值.

    【答案】##0.125

    【分析】根据题意,设,利用所给的性质,得到,得到的方程和的方程,进而联立可求得点的轨迹为椭圆方程,最后利用椭圆的定义,得到的定值,即可求出的值

    【详解】题意可得,设,则由题意得,

    又由,可得点

    的方程为的方程为

    联立方程组

    可得,把代入化简可得

    故点在以为长轴的椭圆上,当为此椭圆的焦点时,为定值

    此时,由可得,求得.

    故答案为:

     

    三、解答题

    17.已知函数,在中,内角ABC的对边分别为abc,且

    (1)求角A

    (2)b=3c=2,点DBC边上靠近点C的三等分点,求AD的长度.

    【答案】(1).

    (2).

     

    【分析】1)运用三角恒等变换化简函数,再运用特殊角的三角函数值解方程即可.

    2)方法一:在ABC中运用余弦定理求得BC,再在中运用余弦定理可求得AD的值.

    方法二:运用平面向量基本定理可得,两边同时平方运用数量积求解即可.

    【详解】1)因为

    所以,所以

    所以,即

    ,所以

    2)如图所示,

    方法一:在ABC中,由余弦定理可得

    .又点DBC边上靠近点C的三等分点,所以

    又在ABC中,

    中,由余弦定理可得

    所以

    方法二:因为点DBC边上靠近点C的三等分点,所以

    等式两边同时平方可得

    所以,即

    18.我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:t),将数据按照分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图.

    1)记事件A全市家庭月均用水量不低于6t,求的估计值;

    2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,求全市家庭月均用水量平均数的估计值(精确到0.01);

    3)求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值(精确到0.01.

    【答案】10.3;(24.92 t.;(3

    【解析】1)通过频率分布直方图求得的频率,由此求得的估计值.

    2)根据由频率分布直方图计算平均数的方法,计算出全市家庭月均用水量平均数的估计值.

    3)通过频率分布直方图,计算出累计频率为的位置,从而求得全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值.

    【详解】1)由直方图可知的估计值为.  

    2)因为.

    因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92 t.  

    3)频率分布直方图中,用水量低于2 t的频率为.

    用水量低于4 t的频率为.

    故全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值为.

    【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算频率、平均数、百分位数,属于基础题.

    19.如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,点E是棱PB的中点

    1)证明:

    2)若,求二面角的平面角的余弦值

    【答案】1)见解析;(2.

    【分析】1)先证,则有平面PBC从而可得到本题结论;

    2)先找出所求的二面角的平面角为,然后在中通过解三角形,即可得到本题答案.

    【详解】1)证明:如图,由底面ABCD,得

    ,故为等腰直角三角形,

    而点E是棱PB的中点,所以

    由题意知,又ABPB在面ABCD内的射影,由三垂线定理得

    从而平面PAB,故

    所以平面PBC

    2)由第1问知平面PAB,又,得平面PAB,故

    中,

    从而在中,

    中,,又

    所以为等边三角形CE的中点F,连接DF,则

    ,且,则为等腰直角三角形,

    连接BF,则

    所以为所求的二面角的平面角

    连接BD,在中,

    所以

    故二面角的平面角的余弦值为

    【点睛】本题主要考查线线垂直的证明以及二面角的求法,找出二面角的平面角是解决此类题目的关键.

    20.设抛物线的焦点为,动直线与抛物线交于两点,且当时,.

    (1)求抛物线的方程;

    (2)连接并延长分别交抛物线于两点,设直线的斜率为,直线的斜率为,求证:是定值,并求出该值.

    【答案】(1)

    (2)证明见解析,

     

    【分析】1)根据联立方程,结合韦达定理,利用弦长公式即可求出方程;

    2)通过分别联立直线与抛物线,用点的坐标表示出的坐标,再化简即可得到定值.

    【详解】1)联立,得

    ,设,则

    时,

    所以

    解得()

    故抛物线的方程为.

    2)由题意知,由(1)得,且

    设直线,

    联立,得

    ,所以,所以

    同理可得,,所以,

    所以

    ,所以,是定值,且定值为.

    21.已知函数

    (1)在点处的切线方程;

    (2),证明:上恒成立;

    (3)若方程有两个实数根,且,证明:

    【答案】(1)

    (2)证明见解析

    (3)证明见解析

     

    【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可;

    (2)根据题意只需证,构造函数,求导分析函数的单调性根据单调性分析可得只能在处取得最小值,进而求解即可;

    (3)根据题意,构造,利用二次求导讨论的单调性和最小值,可得,设方程的根的根,再根据不等式的性质证明即可.

    【详解】1)函数,由

    所以切线方程为

    2)当时,,所以

    故只需证

    构造

    上单调递增,且1

    上单调递增,

    1

    因此,得证.

    3)由(1)知在点处的切线方程为

    构造

    时,;当时,

    所以上单调递减,在上单调递增.

    ,所以上单调递减,在上单调递增.

    所以

    设方程的根.又,由上单调递减,所以

    另一方面,在点处的切线方程为

    构造

    时,;当时,

    所以上单调递减,在上单调递增.

    1

    上单调递减,在上单调递增.

    所以1

    设方程的根

    ,由上单调递增,

    所以

    所以,得证.

    【点睛】破解含双参不等式证明题的3个关键点

    1)转化,即由已知条件入手,寻找双参所满足的关系式,并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.

    2)巧构造函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.

    3)回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.

    22.在平面坐标系中,圆M的参数方程为为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为

    (1)求圆M的普通方程与曲线C的直角坐标方程;

    (2)过圆M的圆心作直线l交曲线CAB两点,若,求直线l的直角坐标方程.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)利用消参法可求得圆M的普通方程,根据极坐标与直角坐标之间的转换公式可求得曲线C的直角坐标方程;

    2)设直线的参数方程并和联立,得到跟与系数的关系式,结合化简求得,即可求得答案.

    【详解】1)由 ,可得

    所以圆M的普通方程为

    因为,所以

    曲线C的直角坐标方程为

    2)由(1)知,,设直线l的参数方程为t为参数,),

    代入得,

    ,所以

    代入式验证满足题意,故

    所以直线l的直角坐标方程为

    23.已知函数

    1)求不等式的解集;

    2)若函数的最小值为,求的最小值.

    【答案】1;(26.

    【解析】1)对进行讨论,化简绝对值,进而可求不等式的解集;

    2)由绝对值不等式的性质可求的最小值,进而可求,然后结合基本不等式即可求解.

    【详解】1时,原不等式可化为,得,故有

    时,原不等式可化为,得,故有

    时,原不等式可化为,解得,故有

    综上,不等式的解集为

    2)因为

    所以

    所以

    当且仅当,即成立,

    所以的最小值为6

    【点睛】本题主要考查了含两个绝对值的不等式,解绝对值三角不等式,基本不等式,属于中档题.

     

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