2023届陕西省西安市周至县高三下学期一模数学（文）试题含解析

2023届陕西省西安市周至县高三下学期一模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的含义即可得到答案.

【详解】根据交集的含义可得.

故选：C.

2．命题：“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.

【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以命题“，”的否定为：“，”.

故选：B

3．若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算，可得，即得解

【详解】由题意：

可得：

在复平面中对应的点为，在第一象限

故选：A

4．12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.

【详解】设水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦分别为，

则共有：10种情况，

满足条件的有4种情况，则.

故选：D

5．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简，结合正弦函数的性质，令，，对赋值，结合选项即可判断.

【详解】由题，，

令，，

则，，

当时，，

当时，，

因为，所以是一个单调递增的区间，

故选：A

6．已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则（    ）

A．128 B．127 C．126 D．125

【答案】C

【分析】根据等比数列的知识求得数列的首项和公比，从而求得.

【详解】设等比数列的公比为，且，，

，，

所以，即

故选：C

7．设、是两个不同的平面．则“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用平行平面的性质、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】如下图所示：

当、相交时，设，若、、，且，则、到平面的距离相等，

若线段的中点，则、到平面的距离相等，则、、到平面的距离相等，

即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”；

若，则内所有点到平面内的距离都相等，

即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”.

因此，“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

8．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（    ）

A． B．16π C．18π D．

【答案】D

【分析】根据底面圆面积可求底面圆半径，从而可求底面圆周长，即可求扇形半径，再根据勾股定理求圆锥的高，最后即可求出圆锥体积.

【详解】底面积为9π，即，

所以底面圆的半径,

所以底面圆周长为，

即圆锥侧面展开图的弧长，

又因为侧面展开图是圆心角为的扇形，

所以扇形半径，

如图所示：则圆锥的高，

则圆锥的体积.

故选：D

9．设实数，满足约束条件，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出可行域如图所示，表示斜率为的平行直线，平移可得过点时，取最小值，代入计算即可．

【详解】作出可行域如图中阴影部分所示，可化简为，即斜率为的平行直线，由，解得，结合图形可知，当直线过点时，取最小值，.

故选：C

10．甲、乙两旅客坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座位；乙旅客行动不便，希望座位靠过道.已知高铁某车厢的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是（    ）

A．35，47 B．46，29 C．61，45 D．24，40

【答案】A

【分析】根据已知分析可得窗口与过道座位号码的通项，即可对选项一一验证.

【详解】两个窗口对应的分别是①，通项为，，

②，通项为，，

过道对应的分别是①，通项为，，

②，通项为，，

对于选项A：，则；，则；故A正确；

对于选项B：，则；，则，，则；故B错误，

对于选项C：，则；，则，，则；故C错误；

对于选项D：，则，，则；，则，，则；故D错误；

故选：A.

11．对于函数，若对任意的，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据构成三角形的条件，只需研究该函数的最小值与最大值，只要保证，即可保证该函数为“可构成三角形的函数” ，即得答案.

【详解】由题意得，，

当时，，适合题意；

的定义域为R，则，所以是偶函数，

因为为偶函数，故只需考虑在上的范围，

当时，，此时在单调递减，故，

由题意知对任意的，恒成立，

需，此时无最小值，故需，即；.

当，在上单调递增，，

对对任意的，恒成立，

需，但此时无最大值，需，即，

综上：,

故选：B

12．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题设可以得到有两个相异的零点，构建新函数，分和讨论即可.

【详解】，令，

因为函数有两个极值点，

所以有两个不同的解，且在零点的两侧符号异号.

，

当时，，在上单调递增，故不可能有两个零点.

当时，时，，在上单调递增；

时，，在上单调递减，

所以 ，即，.

当时，，故在上有一个零点；

当时，，

所以在上有一个零点，

综上，，

故选：D.

【点睛】函数零点个数的判断，需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，选择怎样的点来计算其函数值且函数值异号是关键，可根据解析式的特点选点，如对于对数，应选等，对于指数，应选等形式的数来计算，也可以选极值点附近的点，通过构建新函数讨论函数值的符号.

二、填空题

13．已知向量，，若，则实数m的值为______.

【答案】－6

【分析】先求得的坐标，再根据求解.

【详解】解：因为向量，，

所以，

又因为，

所以，

解得，

故答案为：－6

14．若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_____．

【答案】

【分析】求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线y2=2x的准线的距离即可．

【详解】设点M ，∵|MO|=

∴∴y2=2或y2=-6（舍去），∴x==1

∴M到抛物线y2=2x的准线x=-的距离d=1-（-）=

∵点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=2x的准线的距离，

∴点M到该抛物线焦点的距离为

故答案为.

【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查转化思想，求得点M的坐标是关键.

15．若定义域为的奇函数在区间上单调递减，且不等式的解集为，则符合题意的一个函数解析式为______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】先化简条件“不等式的解集为”，再结合奇函数和单调性写出解析式.

【详解】因为的解集为，

所以时，的解为；时，的解为；

又因为定义域为的奇函数在区间上单调递减，

所以的解析式可以为答案不是唯一的，符合题意即可.

故答案为：（答案不唯一）

16．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段PQ的垂直平分线恰好过右焦点，则双曲线C的渐近线方程______.

【答案】

【分析】线段PQ的垂直平分线交于，连接，计算得到，，根据勾股定理得到，化简得到答案.

【详解】如图所示：线段PQ的垂直平分线交于，连接，

，，，是中点，

故是中点，，又是中点，故，

，中：，整理得到，

故渐近线方程为：.

故答案为：

三、解答题

17．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.

(1)求B；

(2)若的周长为6，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用正弦定理先边化角，再借助和角正弦公式化简得，从而可解；

(2)利用余弦定理和已知的周长得到，再借助三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）∵，

根据正弦定理可得：，

即.

∴，即.

∵，∴，

∴，

又，∴.

（2）由余弦定理知，

即，

又，，

∴.

∴

18．如图，在直三棱柱中，，为的中点，，.

(1)证明：；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；

（2）由（1）可知平面，可得出，结合体积公式可求得三棱锥的体积.

【详解】（1）证明：在直三棱柱中，

平面，平面，.

又，、平面，且，平面，

又平面，.

（2）解：由（1）知平面，

.

19．偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某同学的某科考试成绩与该科平均成绩的差叫某科偏差（实际成绩－平均成绩＝偏差）.在某次考试成绩统计中，教研人员为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

(1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)若本次考试数学平均成绩为100分，物理平均成绩为70.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为116分的同学的物理成绩.

参考公式：，.

参考数据：，.

【答案】(1)

(2)75分.

【分析】(1)根据线性回归方程的求法直接求解；

(2)利用回归方程以及偏差的定义求解.

【详解】（1）由题意可得，，

，

又，，

∴，，

∴y关于x的线性回归方程为：.

（2）设该同学的物理成绩为W，则物理偏差为W－70.5.

又数学偏差为，

∴，解得.

∴预测这位同学的物理成绩为75分.

20．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程；

（2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（3）由可得，令，分析可知直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：当时，，，

所以，，，故曲线在点处的切线方程为.

（2）解：，则.

当时，，在上单调递增；

当时，由，得，

若，则；若，则.

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的增区间为；

当时，函数的增区间为，减区间为.

（3）解：当时，由可得，令，其中，

则直线与函数在上的图象有两个交点，

，当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减.

所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是.

21．已知椭圆C：的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左焦点为，过点的直线l与椭圆C交于两点，A关于x轴对称的点为M，证明：三点共线.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意求得c，结合离心率求得，即得答案；

（2）判断直线l的斜率存在，设出直线方程，并和椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，表示出，的坐标，利用向量的共线证明三点共线，即得结论.

【详解】（1）∵椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点为,

∴,

又，∴,∴,

∴椭圆C的方程为.

（2）证明：由（1）知椭圆C的左焦点为，

当直线l的斜率不存在时，其方程为：，此时直线l与椭圆C没有交点，不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，

则.

联立，消去y得，

∴，解得,

∴，,

∵，，

又，，

∴

，

∵与共线，而与有公共点,即、、 三点共线.

【点睛】思路点睛：本题涉及到直线和椭圆的位置关系的问题，解答并不困难，要证明三点共线，一般结合向量的共线来证明，利用向量共线的坐标表示，计算即可.

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，设，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t即可得到直线的普通方程；

（2）由直线参数方程中t的几何意义即可求解.

【详解】（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），

∴消去t可得直线l的普通方程为:.

∵曲线C的极坐标方程为，即，

又∵，，

∴曲线C的直角坐标方程为.

（2）将（t为参数）代入，

得，显然，即方程有两个不相等的实根，

设点A，B在直线l的参数方程中对应的参数分别是，，

则，，

∴.

23．已知函数

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论去绝对值求解；（2）根据求的最小值，运算求解.

【详解】（1）当时，由，即

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得，

综上所述：不等式的解集为

（2）∵，当且仅当时等号成立，则的最小值为

因为，所以

所以或

解得或

综上，即的取值范围为.