2023届天津市河东区高三一模数学试题含解析

2023届天津市河东区高三一模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.

【详解】由知：，

当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

当，即或，

若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

若，则，，满足要求.

综上，.

故选：A

2．命题“有一个偶数是素数”的否定是（    ）

A．任意一个奇数是素数 B．存在一个偶数不是素数

C．存在一个奇数不是素数 D．任意一个偶数都不是素数

【答案】D

【分析】根据存在量词命题，否定为，即可解得正确结果.

【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.

故选：D

3．如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】B

【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案.

【详解】解：由指数函数的性质可知：

①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象；

所以只有②不是指数函数的图象.

故选：B.

4．《天津日报》2022年11月24日报道，我市扎实推进实施深入打好污染防治攻坚战“1+3+8”行动方案，生态环境质量持续稳定向好，特别是大气环境质量改善成效显著．记者从市生态环境局获悉，1至10月份，全市PM2.5平均浓度为34微克/立方米、同比改善8.1%，优良天数222天，同比增加3天，重污染天2天，同比减少4天，为10年来最好水平．小明所在的数学兴趣小组根据2022年8月天津市空气质量指数（AQI）趋势图绘制频率分布直方图，下列说法错误的是（    ）

天津2022年08月份空气质量指数趋势

A．该组数据的极差为

B．小明根据极差确定组距为7，共分为6组

C．当分为6组时，小组，的频数分别为5，9

D．当分为6组时，小组对应纵轴值（）约为0.023

【答案】C

【分析】选项A：根据极差的概念求解；

选项B：根据极差确认组距，分组；

选项C：根据对应区间确认频数；

选项D:根据 确定对应纵轴值；

【详解】选项A：根据极差=最大值-最小值，极差为，故A对；

选项B：根据极差41确认组距，分组一般为组，组距为7，刚好分为6组，故B对；

选项C：根据对应区间确认频数，小组，的频数分别为5，10，C错；

选项D：根据纵轴值=，故D对；

故选：C

5．已知函数，下列说法错误的为（    ）

A．最小正周期为 B．为偶函数

C．在单调递减 D．

【答案】B

【分析】根据诱导公式可得，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果；

【详解】因为函数为奇函数，故B错误；

最小正周期为，故A正确；

令，，解得，，

即函数的单调减区间为，

当时，即为，，故C正确；

且，故D正确；

故选:B

6．已知双曲线的实轴为4，抛物线的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，，将代入双曲线和抛物线，求出，，进而求出渐近线方程.

【详解】由题意得，，故双曲线左顶点坐标为，

抛物线的准线为，故，解得，

点为抛物线与双曲线的一个交点，故，，

即，解得，解得，

故双曲线的渐近线方程为.

故选：A

7．已知，，，则，，的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，从而即可得答案.

【详解】解：因为，，

，

所以.

故选：C.

8．在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ）

A．4 B． C．2 D．1

【答案】C

【分析】设扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式将用表示，再根据扇形的弧长和周长公式结合基本不等式即可得解.

【详解】设扇形的半径为，圆心角为，

则，所以，

则扇形的周长为，

当且仅当，即时，取等号，此时，

所以周长最小时半径的值为.

故选：C.

9．定义在上的偶函数满足，当时，，设函数（为自然对数的底数），则与的图象所有交点的横坐标之和为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】根据已知条件求出的周期，利用周期性和偶函数作出在区间的图象，以及的图象，数形结合即可求解.

【详解】因为满足，

所以图象关于直线对称，

因为是上的偶函数，所以图象关于直线对称，

所以的周期为，

的图象关于直线对称，

由时，，作出图象如图和的图象

由图知与的图象在区间有四个交点，设交点横坐标分别为，

且，，

所以，

所以与的图象所有交点的横坐标之和为，

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是得出两个函数图象都关于对称，两个函数图象的交点应关于对称，数形结合判断出交点个数，利用对称性求交点的横坐标之和.

二、填空题

10．是复数单位，化简的结果为________．

【答案】##4i+3

【分析】复数的乘除运算法则计算即可.

【详解】复数的乘除运算法则计算:

故答案为：

11．的展开式中，项的系数为________．（用数字作答）

【答案】90

【分析】求出展开式的通项公式，可得展开式为时的值，代入可得展开式中项的系数.

【详解】展开式的通项公式为，

得，所以项的系数为

故答案为：90

12．已知直线与圆相切，则满足条件的实数的值为________．

【答案】0

【分析】先根据方程表示圆求出的范围，再由圆心到直线的距离等于半径求解即可.

【详解】解：因为方程表示圆，

所以，

解得，

因为圆的圆心为，半径，

又因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离，

所以，

解得，满足.

故答案为：0

三、双空题

13．甲、乙两名射手射中10环的概率分别为、（两人射中10环与否相互独立），已知两人各射击1次．两人都射中10环的概率为________；两人命中10环的总次数为，则随机变量的期望为________．

【答案】         

【分析】两人都射中10环可以看作2个互斥事件乘积计算概率即可；根据独立事件发生结果和对应的概率，求期望即可求解.

【详解】互斥事件同时发生：

由题意可得

,

，

故答案为：；；

四、填空题

14．如图所示，一个由圆锥和圆柱组成的玻璃容器，中间联通（玻璃壁厚度忽略不计），容器中装有一定体积的水，圆柱高为10，底面半径为3，圆锥高为，底面半径大于圆柱，左图中，圆柱体在下面，液面保持水平，高度为，右图中将容器倒置，水恰好充满圆锥，则圆锥底面的半径为________．

【答案】

【分析】根据前后体积一致，列出计算式即可求解.

【详解】,

解得.

故答案为：

五、双空题

15．已知等边三角形的边长为1，射线、上分别有一动点和（点在点与之间），当时，的值为________；当时，的最小值为________．

【答案】     ##    

【分析】确定，，再计算即可，设，则，，，得到最值.

【详解】，，

；

设，

则，，

，

当时，有最小值为.

故答案为：；

六、解答题

16．在三角形中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理边化角求解作答.

（2）利用（1）的结论及余弦定理计算作答.

（3）利用（1）（2）的结论，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦公式求解作答.

【详解】（1）在中，由已知得，由正弦定理得，而，，

所以.

（2）在中，由余弦定理得，即，而，解得，

所以.

（3）在中，，，，有，

则，，

由（2）知，，即，

所以.

17．在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)一束光从玻璃窗面上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）过点作的平行线，结合题意建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，并求出平面的法向量和的方向向量，利用向量法证明线面平行即可；

（2）求出平面的法向量，再结合（1）中平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解；

（3）根据平面镜原理，设入射角为，利用空间向量的夹角公式解求出入射角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】（1）过点作的平行线，由题意可知以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，，．

设平面的法向量为，，，，，令，则，

∵，

∴，平面.

（2）根据图形易知平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，

则.

所以平面与平面夹角的余弦值.

（3），入射角为，

，因为，

所以，.

故这束光在玻璃窗上的入射角的正切值为.

18．设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，．

(1)求数列与的通项公式；

(2)的前项和为，求证：；

(3)求．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式列出方程组，解之即可求解；

（2）结合已知条件可得，则，由（1）可知，进而得证；

（3）利用错位相减法即可求解.

【详解】（1）设，，，

由已知，，

，解为，

，.

（2）由已知

左式，右式，

∴.

（3）由已知，

①

②

为，

.

19．已知椭圆的离心率为，右焦点为．

(1)求椭圆方程；

(2)过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与直线交于点，为等边三角形，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据离心率和焦点坐标可求出，再根据，可求得，即可求解；

（2）讨论直线的斜率存在还是不存在，当斜率存在且时，直线代入椭圆可得，，可求出的中点为，通过弦长公式和两点距离求出,利用即可求解

【详解】（1）由题意可得，，解得，

由，∴，则椭圆的方程为

（2）当直线为轴时，易得线段的垂直平分线与直线没有交点，故不满足题意；

当所在直线的斜率存在且不为轴时，设该直线方程为，，，

，解为，

，

所以，

，

设的中点为，则，设，

由为等边三角形，，，

，

所以，解得，所以，

当所在直线的斜率不存在时，将代入可得，

所以，，不满足题意，

综上所述，直线的方程为或

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

20．已知函数，．

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)，，．

（ⅰ）证明；

（ⅱ）求函数在区间上零点的个数证明．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3个，证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线方程，即可得到结果；

（2）（ⅰ）直接代入计算，即可证明；

（ⅱ）求导可得，得到其极值点，通过对其单调性的研究分分不同区间进行讨论，即可得到其零点个数；

【详解】（1），切线斜率为，，

切线方程为，∴

（2）（ⅰ），；

（ⅱ）即为，

解得，，，

当时，；当时，，

且在区间，上单调递减，在区间上单调递增，

，

∵，∴

在区间上单调递增，，

，令

令，，∵，∴，

在上单调减，，∴

在上单调递增，

，，，在区间单调递减

因此在区间上存在唯一零点

由已知，由（2）（ⅰ）

，，∴

在区间单调递减，在区间上存在唯一零点

综上所述，在区间上存在3个零点．

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.