2023届四川省成都市玉林中学高三二诊模拟数学（理）试题（三）试题含解析

2023届四川省成都市玉林中学高三二诊模拟（三）数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算，，再计算补集得到答案.

【详解】，，.

故选：A

2．已知是虚数单位，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义判断.

【详解】如果 ，则 ，如果 ，则 ，所以 是 的必要不充分条件；

故选：B.

3．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表展示了近年来中国光伏市场的发展情况，则下列结论中不正确的是（    ）

A．2013～2020年，年光伏发电量与年份成正相关

B．2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减

C．2013～2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值小于集中式的平均值

D．2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关

【答案】B

【分析】观察图中数据，逐一判断选项，可得结果.

【详解】对于A，由图知，2013～2020年，随着年份的增加，光伏发电量增加，年光伏发电量与年份成正相关，故A正确；

对于B，由图知，2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅不是逐年递减，前几年先递增，再递减，故B不正确；

对于C，由图知，每一年的新增装机规模中，集中式的值都比分布式的值大，所以分布式的平均值小于集中式的平均值，故C正确；

对于D，由图知，2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，所以每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D正确.

故选：B

4．已知角的终边与单位圆的交于点，则(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：首先求出点的坐标，再利用三角函数的定义得出的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．

详解：∵点在单位圆上，，则由三角函数的定义可得得则

点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出的值是解题的关键．

5．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，，交于.若，则抛物线的通径（过焦点垂直于对称轴的弦长）为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义可得，然后在三角形中利用可求出，从而计算出通径长.

【详解】根据抛物线的定义可得，又，

所以，所以，解得，所以通径.

故选：B

6．若不等式在上有解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围．

【详解】因为关于的不等式在区间上有解，

所以在区间上有解，

设，，其中在区间上单调递减，

所以有最小值为，

所以实数的取值范围是．

故选：C．

7．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.

详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，

结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，

所以其表面积为，故选B.

点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.

8．已知，则下列结论不正确的是（    ）

A．的最小正周期 B．是偶函数

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】D

【分析】根据余弦的倍角公式化简，得到最简式后根据三角函数性质进行判断即可.

【详解】

的最小正周期，A正确；

，B正确；

，，C正确，D错误；

故选：D

9．P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．9

【答案】C

【分析】画出图形，将转化为，进而化简，结合图形得到答案.

【详解】如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2，

，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.

此时的最小值为：.

故选：C.

10．设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】在中令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.

【详解】，

，，，，.

点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.

，.

故选：B.

【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.

11．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数图象之间的平移变换及所给奇、偶函数判断A，给出满足条件的特殊函数排除BCD.

【详解】因为为奇函数，

所以的图象经过原点，即，

由的图象向右平移2个单位可得函数的图象知，图象过点，

即，

因为为偶函数，所以，

所以当时，，故A正确；

令，则满足为奇函数，为偶函数，

显然BCD不满足.

故选：A

12．已知双曲线的右支上一点关于原点的对称点为点，为双曲线的右焦点，若以、为直径的圆恰过点.设，且，则双曲线的离心率的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合双曲线的定义，表示出离心率，然后根据辅助角公式化简，由正弦型函数的值域即可得到结果.

【详解】

设双曲线的左焦点为，由已知得点在双曲线的左支上，连接，

根据双曲线的定义，，

因为是的中点，所以四边形为平行四边形，

由以、为直径的圆恰过点，可得，故四边形为矩形，得，

所以，所以，

则离心率，又，

由正弦函数性质可得当时，

即时，且，

取得最大值为

故选:D

二、填空题

13．如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则三棱锥的体积为__________.

【答案】1

【分析】由线面垂直，根据等体积法即可求解.

【详解】在正方体中，平面,所以平面,

,

故,

故答案为：1

14．若过点且互相垂直的两条直线分别与轴、轴交于、两点，则中点的轨迹方程为______.

【答案】

【分析】设，则，连接，，根据计算得到答案.

【详解】设，则，连接，

，，即，化简即得.

故答案为：

15．现有7人排队接种新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙丁相邻，则有______种不同的排队方法.（用数字作答）

【答案】240

【分析】丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列，由此可得结论．

【详解】丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列，方法数为．

故答案为：240．

16．若函数的最小正周期为，且其图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则的图象的对称中心为______.

【答案】

【分析】根据周期与的关系计算出，根据平移规则求出解析式，根据为偶函数可得，最终确定的解析式，最后利用整体带入的方法求出的图象的对称中心.

【详解】由题可知，所以，图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为，又函数为偶函数，所以，解得，又，所以，

所以，由得．

故答案为:

三、解答题

17．数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，的前项和为，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可知当时，有，两式作差可求出数列为等比数列，计算即可求出通项公式.（2）裂项相消法求出前项和，根据数列的单调性以及极限的思想即可求出最值.

【详解】（1）因为，所以，即  

当时，，则，

整理得（），

则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故，

也满足  所以.

（2）由（1）得

所以

；

显然

又因为，单调递增（），所以，

所以的最小值是.

18．已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．

(1)求证：平面；

(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析；

(2)不存在；理由见解析.

【分析】（1）利用线面垂直性质和等腰三角形三线合一可得，，由线面垂直的判定定理可证得结论；

（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用表示出，利用线面角的向量求法可构造方程，由方程无解可知不存在.

【详解】（1）为正三角形，为中点，；

平面，平面，；

平面，，平面；

（2）连接，则，，

则以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

设线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，且，

，，；

设平面的法向量，

则，令，则，，，

，

整理可得：，方程无解，

不存在这样的点.

19．已知函数．

（1）讨论的单调性﹔

（2）若存在，求的取值范围．

【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．

【分析】(1)对函数求导，再按和分别讨论导函数值正负而得解；

(2)构造函数，讨论时在的值的正负，时再分段讨论最小值情况即可得解.

【详解】(1)函数的定义域为(0，+∞)，，

当时，，则在上递增，

当时﹐由得，

由，得，由，得，

于是有在上递增，在上递减；

由，得，

，当时，，满足题意，

当时，令，，在上递增，则不合题意，

当时，由，得，由，得，

于是有在上递减，在上递增，，

则时，，

综上，的取值范围为．

【点睛】结论点睛：对于能成立问题，(1)函数f(x)定义区间为D，，a≥f(x)成立，则有a≥f(x)min；(2)函数f(x)定义区间为D，，a≤f(x)成立，则有a≤f(x)max.

20．已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为.

（1）求该椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，且，求证：直线与某个定圆相切，并求出定圆的方程.

【答案】（1）；（2）证明见解析，.

【分析】（1）由短轴顶点到焦点距离为、离心率和椭圆关系求得，由此可得椭圆方程；

（2）由知；⑴当直线斜率不存在时，设，代入椭圆方程可求得坐标，由构造方程可求得，确定直线与圆相切；⑵当直线斜率存在时，设，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入可整理得到，知原点到直线距离为，由此可知直线与圆相切；综合两种情况可得结论.

【详解】（1）椭圆的短轴顶点到焦点的距离为，，

椭圆的离心率，，，

椭圆的标准方程：；

（2）证明：，，则，

⑴当直线的斜率不存在时，设，

代入椭圆方程得：，不妨令，，

由得：，解得：，

此时，与圆相切；

⑵当直线的斜率存在时，设，，，

联立得：，

则，化简得：…①

由韦达定理得：，，

则，

由，即可得：，

整理得：，满足①式，，即原点到直线距离为，

直线与圆相切；

综上所述：直线与圆相切.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用问题，求解此类问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系；

④根据题目所要求的求解内容进行整理求解.

21．目前，国际上常用身体质量指数（，缩写为）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.临床医学给出中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某公司为了解员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了名员工（编号）的身高和体重数据，并计算得到他们的值（精确到）如下表：

(1)现从这名员工中选取人进行复检，记抽取到值为“正常”员工的人数为，求的分布列及数学期望；

(2)某调查机构分析发现公司员工的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在编号为的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预估一名身高为的员工体重为.计算得到的其他数据如下.

①求的值及表格中名员工体重的平均值；

②在数据处理时，调查员乙发现编号为的员工体重数据有误，应为，身高数据无误.请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为的员工的体重.

（附:对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：）

【答案】(1)分布列见解析，

(2)①，②，

【分析】（1）依题意名员工数值为“正常”的人有人，则的可能取值为、、，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望；

（2）①由预估身高的体重为代入求出，再由求出；

②首先求出，再求出更正后的，，，从而求出、，即可得到回归直线方程，再代入求出预测值.

【详解】（1）解：依题意名员工数值为“正常”的人有人，记抽取到正常的人数为，则的可能取值为、、，

则，，，

所以的分布列为：

所以.

（2）解：①由预估身高的体重为，则，

 故，

②由①的更正前的数据，，

由，

得

更正后的数据，，

所以=，，

所以，

故，

更正后该组数据的线性回归方程为，         

当时，，所以重新预估一名身高为的一个的体重约为.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为，直线C2的方程为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.

【答案】(1)答案见解析；

(2)

【分析】（1）根据曲线C1即可转化为极坐标方程，由直线的倾斜角可得C2的极坐标方程；

（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求.

【详解】（1）（1）曲线C1的方程为，即，

由可得极坐标方程为，

直线C2的方程为，极坐标方程为；

（2）直线C2与曲线C1联立，可得，

设A，B两点对应的极径分别为，

则，

∴=.